八上數(shù)學(xué)RJ第1課時(shí)15.3等腰三角形第十五章

軸對(duì)稱15.3.2等邊三角形1.類比等腰三角形的研究經(jīng)驗(yàn)，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定.2.能夠利用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明，提升推理能力.

1．三角形按邊的相等關(guān)系分類三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形.等邊三角形

等邊三角形是底邊和腰相等的等腰三角形．復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)

2．等腰三角形的性質(zhì)和判定名稱圖形性質(zhì)

判定等腰三角形ABC兩腰相等等邊對(duì)等角三線合一是軸對(duì)稱圖形有兩邊相等等角對(duì)等邊對(duì)于等邊三角形，我們同樣從它的邊、角關(guān)系出發(fā)，研究它的性質(zhì)和判定.探究

把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？一個(gè)三角形滿足什么條件才是等邊三角形？ABC知識(shí)點(diǎn)1 等邊三角形的性質(zhì)ABC問題1

已知AB=AC=BC，你可以得到什么結(jié)論呢？證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等邊對(duì)等角)同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.由等腰三角形的性質(zhì)，可以得到：

等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.ABC符號(hào)語(yǔ)言：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.ABC問題2

等邊三角形也有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對(duì)稱軸？ABC等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)1條對(duì)稱軸3條對(duì)稱軸由等腰三角形的性質(zhì)，可以得到：

等邊三角形每條邊上的中線、高及所對(duì)角的平分線重合，即“三線合一”.ABCD符號(hào)語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，①∵△ABC為等邊三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC且BD=CD.②∵△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC為等邊三角形，BD=CD，∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.等腰三角形等邊三角形邊角“三線合一”

對(duì)稱軸每條邊上的中線、高及這條邊所對(duì)角的平分線重合三個(gè)角都相等，且都是60o3條對(duì)稱軸1條對(duì)稱軸兩個(gè)底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線重合兩條邊相等三條邊都相等等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)歸納總結(jié)

跟蹤訓(xùn)練

如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AC邊上，∠DBC=35°，則∠ADB的度數(shù)為()A.105° B.100°

C.95° D.85°C探究

反過來，三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形嗎？ABC已知：∠A=∠B=∠C，求證：△ABC是等邊三角形.∵∠A=∠B，∴AC=BC.又∠B=∠C，∴AB=AC.∴AB=AC=BC，即△ABC是等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定由等腰三角形的判定，可以得到：

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.ABC符號(hào)語(yǔ)言：如圖，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC為等邊三角形.探究

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？頂角60°；底角60°.ABC60°ABC60°ABC60°已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，求證：△ABC是等邊三角形.

ABC60°已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°，求證：△ABC是等邊三角形.證明：∵AB=AC，∠B=60°，∴∠B=∠C=60°.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-60°-60°=60°.∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC為等邊三角形.可以得到：

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.符號(hào)語(yǔ)言：如圖，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°)，∴△ABC為等邊三角形.ABC例2如圖，△ABC是等邊三角形，DE//BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.ABCDE跟蹤訓(xùn)練

如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求證：△ABD是等邊三角形.

跟蹤訓(xùn)練

如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求證：△ABD是等邊三角形.證明：方法二

∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD.又∠A=60°.∴△ABD

是等邊三角形方法等腰三角形等邊三角形定義法判定定理法1判定定理法2歸納總結(jié)有兩邊相等的三角形是等腰三角形.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（“等角對(duì)等邊”）.三邊都相等的三角形是等邊三角形.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1.如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE＝60°-40°=20°.∵BE=DE，∴∠D=∠EBD=20°，∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.ACBED2.△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于點(diǎn)Q，求∠BQM的度數(shù).解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC.又∵BM=CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN

=∠ABC=60°.3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于點(diǎn)

D，AE⊥AC交BC于點(diǎn)E.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD=∠CAE=90°，∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EAD=180°-∠ADB-∠AEC=60°，∴△ADE是等邊三角形.4.如圖，等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．5.如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，B，P，Q三點(diǎn)共線，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，求證△APQ是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△