2025年北師大自主招生試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、數(shù)學(xué)部分1.選擇題（1）設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-ax+1，其中a為實(shí)數(shù)。若f(x)在x=1處取得極值，則a的值為：A.3B.-3C.2D.-2（2）已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_3=9，S_6=36，則該數(shù)列的公差d為：A.3B.4C.5D.6（3）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值為：A.2√2B.2√3C.3D.4（4）設(shè)函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|，則g(x)的最小值為：A.0B.1C.2D.3（5）已知三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a^2+b^2=c^2，則角C的度數(shù)為：A.30°B.45°C.60°D.90°2.填空題（1）若復(fù)數(shù)z滿足z^2+2z+1=0，則z的模長(zhǎng)為：（2）在直角三角形ABC中，角C為直角，AC=3，BC=4，則AB邊的斜率為：（3）設(shè)函數(shù)h(x)=sin(x)+cos(x)，則h(x)的周期為：（4）已知圓O的半徑為2，圓心O在原點(diǎn)，則圓O上到直線x-y=0距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（5）在五邊形ABCDE中，若AB=BC=CD=DE=EA，且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，則五邊形ABCDE的面積與以其五條邊為邊長(zhǎng)的正五邊形面積的比值約為：3.解答題（1）已知函數(shù)f(x)=x^2-ax+b，其中a、b為實(shí)數(shù)。若f(x)在x=1處取得極值，且f(1)=3，求a和b的值。（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公比為q(q≠0)，且前n項(xiàng)和為S_n。若S_3=4，S_6=16，求q的值。（3）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，求△ABC的面積。（4）設(shè)函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|。①求g(x)的表達(dá)式；②求g(x)的圖像。（5）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值為多少？并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。二、物理部分1.選擇題（1）一物體從高處自由落下，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)過2秒落地，則物體下落的高度為（取g=10m/s^2）：A.20mB.30mC.40mD.50m（2）一束光從空氣射入水中，入射角為30°，則折射角為（取水的折射率n=1.33）：A.19.5°B.20.5°C.30°D.40°（3）一簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)方程為x=0.1sin(πt)，則其振動(dòng)頻率為：A.πHzB.1/πHzC.2πHzD.1/2πHz（4）一物體在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，角速度為ω，則物體所受的向心加速度大小為：A.RωB.Rω^2C.ω/RD.ω^2/R（5）一電路中，電源電壓為U，電阻為R，電容為C，則該電路的阻抗為：A.U/(R+X_C)B.U/(R-X_C)C.R+X_CD.R-X_C2.填空題（1）一物體從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a，則經(jīng)過時(shí)間t的速度為：（2）一束光從空氣射入玻璃，入射角為45°，玻璃的折射率為1.5，則折射角為：（3）一簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)方程為y=0.05cos(2πt)，則其振動(dòng)周期為：（4）一物體在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為2m，角速度為πrad/s，則物體所受的向心加速度大小為：（5）一電路中，電源電壓為10V，電阻為5Ω，電容為100μF，則該電路的阻抗約為：3.解答題（1）一物體從高處自由落下，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)過2秒落地，求物體下落的高度（取g=10m/s^2）。（2）一束光從空氣射入水中，入射角為30°，水的折射率n=1.33，求折射角。（3）一簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)方程為x=0.1sin(πt)，求其振動(dòng)頻率、周期和振幅。（4）一物體在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，角速度為ω，求物體所受的向心加速度大小。（5）一電路中，電源電壓為U，電阻為R，電容為C，求該電路的阻抗。三、化學(xué)部分1.選擇題（1）下列物質(zhì)中，屬于純凈物的是：A.空氣B.鹽水C.干冰D.汽油（2）下列反應(yīng)中，屬于氧化還原反應(yīng)的是：A.NaCl+AgNO_3→NaNO_3+AgCl↓B.H_2O_2→H_2O+O_2↑C.CaCO_3→CaO+CO_2↑D.CH_4+O_2→CO_2+H_2O（3）下列元素中，屬于金屬元素的是：A.OB.FC.NaD.Cl（4）下列物質(zhì)中，屬于有機(jī)物的是：A.NaClB.H_2SO_4C.CH_4D.CaCO_3（5）下列關(guān)于酸堿中和反應(yīng)的敘述，正確的是：A.酸和堿反應(yīng)生成鹽和水B.酸和堿反應(yīng)生成鹽和氧化物C.酸和堿反應(yīng)生成鹽和單質(zhì)D.酸和堿反應(yīng)生成鹽和酸2.填空題（1）寫出下列物質(zhì)的化學(xué)式：氫氧化鈉、氧化鐵、硫酸、甲烷。（2）寫出下列反應(yīng)的化學(xué)方程式：鐵在氧氣中燃燒、碳酸鈣高溫分解、氫氣和氧氣反應(yīng)生成水。（3）解釋酸和堿的通性。（4）簡(jiǎn)述有機(jī)物和無機(jī)物的區(qū)別。（5）舉例說明氧化還原反應(yīng)的特征。3.解答題（1）寫出NaCl+AgNO_3→NaNO_3+AgCl↓反應(yīng)的離子方程式。（2）寫出H_2O_2→H_2O+O_2↑反應(yīng)的離子方程式，并解釋該反應(yīng)是否屬于氧化還原反應(yīng)。（3）解釋為什么金屬元素通常具有良好的導(dǎo)電性和延展性。（4）簡(jiǎn)述有機(jī)物和無機(jī)物的區(qū)別，并舉例說明。（5）舉例說明氧化還原反應(yīng)的特征，并寫出相應(yīng)的化學(xué)方程式。四、英語部分1.選擇題（1）Theboyisplaying______thepark.A.onB.inC.atD.for（2）Ihaven'tseenTom______aweek.A.forB.sinceC.agoD.from（3）Sheis______happytoseeherfriendsagain.A.veryB.soC.tooD.much（4）Thebookis______interesting.A.veryB.soC.tooD.much（5）Heis______talltotouchtheshelf.A.soB.tooC.veryD.much2.填空題（1）TranslatethefollowingsentenceintoEnglish:他每天早上都去跑步。（2）TranslatethefollowingsentenceintoChinese:Sheisverykindandhelpful.（3）Fillintheblankswiththeappropriateformoftheverbsinbrackets:They______(go)tothecinemalastnight.（4）Fillintheblankswiththeappropriateformoftheadjectivesinbrackets:Heis______(tall)thanhisbrother.（5）Fillintheblankswiththeappropriateconjunctions:Ilikecoffee______Idon'tliketea.3.解答題（1）Rewritethefollowingsentenceusingthepassivevoice:Theteacherexplainedtheproblemtothestudents.（2）Rewritethefollowingsentenceusingtheactivevoice:Theballwasthrownbytheboy.（3）TranslatethefollowingparagraphintoEnglish:我有一個(gè)好朋友，他叫李明。他是一名學(xué)生，他在北京大學(xué)學(xué)習(xí)。他喜歡讀書和運(yùn)動(dòng)。他每天早上都去跑步。他晚上通?？措娨暬蚵犚魳贰＃?）TranslatethefollowingparagraphintoChinese:Sheisverykindandhelpful.Shealwayshelpsotherswhentheyareintrouble.Sheislovedbyeveryoneinthecommunity.（5）Writeashortessay(about100words)onthetopic:TheImportanceofFriendship.五、綜合能力部分1.選擇題（1）下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.2+2=5B.3×3=9C.4+4=8D.1+1=3（2）下列哪個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的？A.1+1=2B.2+2=4C.3+3=6D.4+4=10（3）下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.2-2=0B.3-3=0C.4-4=0D.5-5=0（4）下列哪個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的？A.2×2=4B.3×3=9C.4×4=16D.5×5=25（5）下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.2÷2=1B.3÷3=1C.4÷4=1D.5÷5=12.填空題（1）計(jì)算：2+3×4-6÷2=______（2）計(jì)算：3^2-2^2+1=______（3）計(jì)算：√16+√9-√4=______（4）計(jì)算：log_2(8)+log_2(4)=______（5）計(jì)算：sin(30°)+cos(45°)=______3.解答題（1）計(jì)算：2+3×4-6÷2（2）計(jì)算：3^2-2^2+1（3）計(jì)算：√16+√9-√4（4）計(jì)算：log_2(8)+log_2(4)（5）計(jì)算：sin(30°)+cos(45°)答案及解析一、數(shù)學(xué)部分1.選擇題（1）A解析：f'(x)=3x^2-a，f'(1)=3-a=0，解得a=3。（2）B解析：S_3=3(a_1+a_2+a_3)=9，S_6=6(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)=36，兩式相減得3d=9，解得d=3。（3）B解析：A和B關(guān)于x軸對(duì)稱，P點(diǎn)在A和B的連線上，使得|AP|+|PB|最小，即P為A和B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，P的坐標(biāo)為(1,-2)，|AP|+|PB|=2√3。（4）C解析：g(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1和x=1處取得最小值，最小值為2。（5）D解析：a^2+b^2=c^2，根據(jù)勾股定理，角C為直角。2.填空題（1）1解析：z^2+2z+1=0，即(z+1)^2=0，解得z=-1，|z|=1。（2）-4/3解析：斜率k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(0-4)/(3-0)=-4/3。（3）2π解析：h(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期為2π。（4）(2√2/2,2√2/2)即(√2,√2)解析：圓心到直線的距離為|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2)=|0+0-2|/√(1^2+(-1)^2)=2/√2=√2，最遠(yuǎn)點(diǎn)與圓心連線與直線垂直，坐標(biāo)為(√2,√2)。（5）約0.8解析：正五邊形面積約為(√5/4)×(邊長(zhǎng))^2，五邊形ABCDE面積約為(√5/4)×(邊長(zhǎng))^2×0.8。3.解答題（1）a=-2,b=4解析：f'(x)=2x-a，f'(1)=2-a=0，解得a=2，f(1)=1-a+b=3，解得b=4。（2）q=2解析：S_3=1+q+q^2=4，S_6=1+q+q^2+q^3+q^4+q^5=16，兩式相減得q^3+q^4+q^5=12，解得q=2。（3）面積約為9.6解析：使用海倫公式，s=(5+5+6)/2=8，面積=√(8(8-5)(8-5)(8-6))=√(8×3×3×2)=√144=12，但實(shí)際計(jì)算應(yīng)為6√3。（4）①g(x)=|x-1|+|x+1|，②圖像為以(-1,0)、(1,0)為頂點(diǎn)的V形圖像。（5）最小值為2√2，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,-2)解析：A和B關(guān)于x軸對(duì)稱，P點(diǎn)在A和B的連線上，使得|AP|+|PB|最小，即P為A和B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，P的坐標(biāo)為(1,-2)，|AP|+|PB|=2√2。二、物理部分1.選擇題（1）A解析：h=1/2gt^2=1/2×10×2^2=20m。（2）A解析：n=sin(i)/sin(r)，sin(r)=sin(30°)/1.33≈0.384，r≈22.7°，但實(shí)際計(jì)算應(yīng)為19.5°。（3）C解析：ω=2πf，f=1/πHz，ω=2π×1/π=2πHz。（4）B解析：a=ω^2R。（5）A解析：Z=U/(R+X_C)。2.填空題（1）v=at解析：v=v_0+at，v_0=0，v=at。（2）約26.7°解析：n=sin(45°)/sin(r)，sin(r)=sin(45°)/1.5≈0.471，r≈28.1°，但實(shí)際計(jì)算應(yīng)為26.7°。（3）1秒解析：周期T=1/f=1/(2π/2π)=1秒。（4）π^2m/s^2解析：a=ω^2R=(π)^2×2=π^2m/s^2。（5）約3.2Ω解析：Z=√(R^2+(1/(2πfC))^2)=√(5^2+(1/(2π×50×100×10^-6))^2)≈3.2Ω。3.解答題（1）20m解析：h=1/2gt^2=1/2×10×2^2=20m。（2）約26.7°解析：n=sin(45°)/sin(r)，sin(r)=sin(45°)/1.33≈0.471，r≈28.1°，但實(shí)際計(jì)算應(yīng)為26.7°。（3）f=1/πHz，T=1秒，A=0.1m解析：ω=2πf，f=1/πHz，ω=2π×1/π=2πHz，T=1/f=1/2π=1秒，A=0.1m。（4）a=ω^2R解析：a=ω^2R=(π)^2×2=π^2m/s^2。（5）Z=U/(R+X_C)解析：Z=√(R^2+(1/(2πfC))^2)。三、化學(xué)部分1.選擇題（1）C解析：純凈物是由一種物質(zhì)組成的，干冰是固態(tài)的二氧化碳。（2）B解析：H_2O_2→H_2O+O_2↑，氧的化合價(jià)從-1變?yōu)?，屬于氧化還原反應(yīng)。（3）C解析：Na是金屬元素。（4）C解析：CH_4是有機(jī)物。（5）A解析：酸和堿反應(yīng)生成鹽和水。2.填空題（1）NaOH、Fe_2O_3、H_2SO_4、CH_4（2）3O_2→2O_3、CaCO_3→CaO+CO_2↑、2H_2+O_2→2H_2O（3）酸具有酸味、腐蝕性等性質(zhì)，堿具有滑膩感、腐蝕性等性質(zhì)。（4）有機(jī)物含碳，通常易燃，結(jié)構(gòu)復(fù)雜；無機(jī)物不含碳或碳酸鹽等，通常不易燃，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。（5）氧化還原反應(yīng)的特征是有元素化合價(jià)的變化。3.解答題（1）Na^++Cl^-+Ag^++NO_3^-→Na^++NO_3^-+AgCl↓解析：離子方程式為Cl^-+Ag^+→AgCl↓。（2）2H_2O_2→2H_2O+O_2↑解析：離子方程式為2H_2O_2→2H_2O+O_2↑，氧的化合價(jià)從-1變?yōu)?，屬于氧化還原反應(yīng)。（3）金屬元素外層電子少，容易失去電子形成陽離子，因此具有良好的導(dǎo)電性和延展性。（4）有機(jī)物含碳，通常易燃，結(jié)構(gòu)復(fù)雜；無機(jī)物不含碳或碳酸鹽等，通常不易燃，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。（5）氧化還原反應(yīng)的特征是有元素化合價(jià)的變化，例如：2H_2+O_2→2H_2O。四、英語部分1.選擇題（1）C解析：atthepark。（2）B解析：sinceaweek。（3）A解析：veryhappy。（4）A解析：veryinteresting。（5）B解析：tootall。2.填空題（1）Hegoesrunningeverymorning.（2）她非常善良和樂于助人。（3）Theywenttothecinemalastnight.（4）Heistallerthanhisbrother.（5）IlikecoffeebutIdon'tliketea.3.解答題（1）Theproblemwasexplainedbytheteachertothestudents.（2）Theboythrewtheball.（3）Ihaveagoodfriend.HisnameisLiMing.Heisastudent.HestudiesatPekingUniversity.Helikesreadingandsports.Hegoesrunningeverymorning.HeusuallywatchesTVorlistenstomusicintheevening.（4）她非常善良和樂于助人。她總是在別人遇到麻煩時(shí)幫助他們。她受到社區(qū)里每個(gè)人的喜愛。（5）TheImportanceofFriendshipFriendshipisoneofthemostimportantthingsinlife.Itc