2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（立體幾何突破能力培養(yǎng)）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）A.(0,0,0)B.(2,2,2)C.(1,1,1)D.(3,3,3)2.已知直線l1：x=1，直線l2：y=2，直線l3：z=3，那么這三條直線所確定的平面的方程是（）A.x+y+z=6B.x-y+z=4C.x+y-z=2D.x-y-z=-23.設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，那么直線l的參數(shù)方程是（）A.x=1+t，y=2，z=3+tB.x=1-t，y=2，z=3-tC.x=1，y=2+t，z=3+tD.x=1，y=2-t，z=3-t4.已知平面α和平面β相交于直線l，且平面α的法向量為n1=(1,2,3)，平面β的法向量為n2=(2,3,1)，那么直線l的方向向量是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)5.設(shè)點(diǎn)P(1,2,3)在平面α上的投影為P1，平面α的方程為x+y+z=6，那么點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（）A.(1,1,1)B.(2,2,2)C.(3,3,3)D.(4,4,4)6.已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與平面α垂直，平面α的方程為x+y+z=6，那么直線l的方程是（）A.x=1，y=2，z=3B.x+y+z=6C.x-y+z=4D.x-y-z=-27.設(shè)直線l1：x=1，直線l2：y=2，直線l3：z=3，那么這三條直線所確定的平面的法向量是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)8.已知點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(2,3,4)，那么向量AB的坐標(biāo)是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)9.設(shè)平面α的方程為x+y+z=6，那么點(diǎn)P(1,2,3)到平面α的距離是（）A.1B.2C.3D.410.已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，那么直線l的方向向量是（）A.(1,0,1)B.(0,1,0)C.(1,1,1)D.(1,-1,1)11.設(shè)點(diǎn)P(1,2,3)在平面α上的投影為P1，平面α的方程為x+y+z=6，那么向量PP1的坐標(biāo)是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)12.已知平面α和平面β相交于直線l，且平面α的法向量為n1=(1,2,3)，平面β的法向量為n2=(2,3,1)，那么平面α與平面β的夾角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，那么直線l的普通方程是__________。14.已知平面α的方程為x+y+z=6，那么點(diǎn)P(1,2,3)到平面α的法向量的距離是__________。15.設(shè)點(diǎn)P(1,2,3)在平面α上的投影為P1，平面α的方程為x+y+z=6，那么向量PP1的模長(zhǎng)是__________。16.已知平面α和平面β相交于直線l，且平面α的法向量為n1=(1,2,3)，平面β的法向量為n2=(2,3,1)，那么平面α與平面β的夾角的余弦值是__________。三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(2,3,4)，點(diǎn)C(3,4,5)，求過(guò)點(diǎn)A且與向量AB、向量AC垂直的平面方程。18.(本小題滿分12分)已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，求點(diǎn)P(4,5,6)到直線l的距離。19.(本小題滿分12分)已知平面α的方程為x+y+z=6，求點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面α的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)。20.(本小題滿分12分)已知平面α和平面β相交于直線l，且平面α的法向量為n1=(1,2,3)，平面β的法向量為n2=(2,3,1)，求平面α與平面β的夾角。21.(本小題滿分14分)已知直線l1：x=1，直線l2：y=2，直線l3：z=3，求這三條直線所確定的平面的法向量，并求該平面的方程。22.(本小題滿分14分)已知點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(2,3,4)，點(diǎn)C(3,4,5)，求向量AB、向量AC、向量BC的模長(zhǎng)，并判斷向量AB、向量AC、向量BC是否共面。四、證明題（本大題共2小題，共26分。請(qǐng)將證明過(guò)程寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置。）23.(本小題滿分13分)已知平面α的方程為x+y+z=6，證明：點(diǎn)P(1,2,3)到平面α的距離等于點(diǎn)Q(2,3,4)到平面α的距離。24.(本小題滿分13分)已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，證明：直線l與平面α：x+y+z=6相交，并求交點(diǎn)坐標(biāo)。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對(duì)稱點(diǎn)Q，意味著Q在平面x+y+z=1的另一側(cè)，且PQ的中點(diǎn)在平面上。設(shè)Q(x,y,z)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+x)/2,(2+y)/2,(3+z)/2)。將中點(diǎn)坐標(biāo)代入平面方程得(1+x)/2+(2+y)/2+(3+z)/2=1，化簡(jiǎn)得x+y+z=0。又因?yàn)镻和Q關(guān)于平面對(duì)稱，所以向量PQ垂直于平面，即(1-x,2-y,3-z)·(1,1,1)=0，化簡(jiǎn)得1-x+2-y+3-z=0，即x+y+z=6。聯(lián)立兩個(gè)方程得x+y+z=6。將選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有B選項(xiàng)2+2+2=6符合。2.答案：A解析：直線l1：x=1，直線l2：y=2，直線l3：z=3分別代表平行于yoz平面、xoz平面、xy平面的三條直線，它們相交于點(diǎn)(1,2,3)，因此確定的平面方程為x+y+z=6。3.答案：A解析：直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，所以直線的方向向量為(1,0,1)。直線的參數(shù)方程為x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，代入得x=1+t，y=2，z=3+t。4.答案：B解析：平面α的法向量為n1=(1,2,3)，平面β的法向量為n2=(2,3,1)，直線l是兩平面的交線，所以l的方向向量為n1×n2=(1,2,3)×(2,3,1)=(-1,1,1)。5.答案：B解析：點(diǎn)P(1,2,3)在平面α上的投影P1，就是過(guò)點(diǎn)P且垂直于平面α的直線與平面α的交點(diǎn)。平面α的方程為x+y+z=6，過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)的垂線方程為x=1+t，y=2+t，z=3+t，代入平面方程得1+t+2+t+3+t=6，解得t=0，所以P1(1,2,3)。6.答案：C解析：直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與平面α垂直，平面α的方程為x+y+z=6，所以直線l的方向向量為平面α的法向量(1,1,1)。直線方程為x=1，y=2+t，z=3+t。7.答案：A解析：直線l1：x=1，直線l2：y=2，直線l3：z=3所確定的平面的法向量為(1,1,1)。8.答案：A解析：向量AB的坐標(biāo)等于終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo)，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。9.答案：B解析：點(diǎn)P(1,2,3)到平面α：x+y+z=6的距離d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1+2+3-6|/√(1^2+1^2+1^2)=2/√3=2√3/3≈2。10.答案：A解析：直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，所以直線l的方向向量為(1,0,1)。11.答案：A解析：向量PP1是點(diǎn)P到平面α的垂線向量，平面α的方程為x+y+z=6，點(diǎn)P(1,2,3)到平面α的垂線方程為x=1+t，y=2+t，z=3+t，代入平面方程得1+t+2+t+3+t=6，解得t=0，所以P1(1,2,3)。向量PP1=(1-1,2-2,3-3)=(0,0,0)，但這是點(diǎn)P在平面上的情況，投影點(diǎn)P1在平面上的垂線向量應(yīng)該是P到平面的垂線方向，即平面法向量的方向，所以向量PP1=(1,1,1)。12.答案：D解析：平面α的法向量為n1=(1,2,3)，平面β的法向量為n2=(2,3,1)，兩平面的夾角θ滿足cosθ=|n1·n2|/|n1||n2|=|(1,2,3)·(2,3,1)|/√(1^2+2^2+3^2)√(2^2+3^2+1^2)=|11|/√14√14=1/√14≈0.277，θ≈74.05°，但題目要求的是夾角的余弦值，所以答案是cosθ=-1。二、填空題答案及解析13.答案：x-z=2解析：直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且與向量a=(1,0,1)平行，直線的方向向量為(1,0,1)。直線的參數(shù)方程為x=1+t，y=2，z=3+t，消去參數(shù)t得x-z=2。14.答案：√3/3解析：點(diǎn)P(1,2,3)到平面α：x+y+z=6的法向量的距離，就是點(diǎn)P到平面α的距離，d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1+2+3-6|/√3=√3/3。15.答案：√3解析：向量PP1是點(diǎn)P到平面α的垂線向量，平面α的方程為x+y