2025年高考數學模擬檢測卷（立體幾何突破解題思路）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x-y+2z=0的距離為（）A.2√3B.√3C.√6D.√22.已知直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程為（）A.x-y=1B.x+y=1C.x-y=-1D.x+y=-13.若一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為（）A.2π/3B.4π/3C.8π/3D.16π/34.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，則點P到平面ABC的距離為（）A.√3/2B.√2C.1D.√35.已知正四棱錐的底面邊長為2，高為1，則其側面與底面所成的二面角的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.在空間直角坐標系中，點A（1，0，0）到直線l：x=1，y=t，z=t+1的距離為（）A.√2B.√3C.2D.√57.若一個球的表面積為16π，則其體積為（）A.4π/3B.8π/3C.16π/3D.32π/38.已知正方體的棱長為1，則其外接球的表面積為（）A.4πB.8πC.12πD.16π9.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則點P到直線BC的距離為（）A.√5B.√6C.√7D.√810.已知一個圓錐的母線長為4，底面半徑為2，則其側面展開圖的圓心角為（）A.90°B.120°C.180°D.270°二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應位置。）11.在空間直角坐標系中，平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0所成二面角的余弦值為______。12.已知正方體的棱長為2，則其體對角線的長為______。13.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，則點P到△ABC的重心的距離為______。14.若一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的軸截面面積與底面面積之比為______。15.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則點P到平面ABCD的距離為______。（請注意，以上內容僅為試題部分，后續(xù)題目請按照相同格式繼續(xù)補充。）三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。求：（1）異面直線PA與BC所成角的正弦值；（2）三棱錐P-ABC的體積。17.（本小題滿分15分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F是棱BB1的中點。求：（1）異面直線AE與B1D所成角的余弦值；（2）二面角A-EF-B的余弦值。18.（本小題滿分15分）在△ABC中，點A的坐標為（1，0，0），點B的坐標為（0，1，0），點C的坐標為（0，0，1）。求：（1）△ABC的面積；（2）平面ABC的一個法向量的坐標。19.（本小題滿分15分）已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，點P在圓錐的底面上運動，且點P到圓錐軸的距離為1。求：（1）點P到圓錐頂點的距離的最小值；（2）點P到圓錐側面的距離的最大值。20.（本小題滿分15分）在空間直角坐標系中，點A的坐標為（1，1，1），點B的坐標為（1，1，0），點C的坐標為（0，1，0），點D的坐標為（0，0，1）。求：（1）四邊形ABCD的面積；（2）平面ABCD的一個法向量的坐標。四、證明題（本大題共1小題，共15分。證明題應寫出證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=AB。求證：平面PAB⊥平面PBC。（請注意，以上內容僅為試題部分，后續(xù)題目請按照相同格式繼續(xù)補充。）本次試卷答案如下一、選擇題1.A解析：點A（1，2，3）到平面α：x-y+2z=0的距離d可以用公式d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)計算，其中（x1，y1，z1）是點A的坐標，A、B、C、D是平面方程的系數。代入得d=|1-2+2*3|/√(12+(-1)2+22)=|3|/√6=√3/2*3=√3。所以選A。2.A解析：直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，設交點為P（x，y，z），則x=2y-1，代入平面方程得2y-1+y+z=1，即3y+z=2。因為P在直線上，所以z=1-3y。代入x=2y-1得P（2y-1，y，1-3y）。直線l在平面α上的投影是過P點且平行于平面α的法向量（1，1，1）的直線，即x=y-1。所以選A。3.B解析：圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的母線l=2。底面圓的周長是半圓的弧長，即2πr=π*2，得r=1。所以圓錐的體積V=1/3*πr2*h=1/3*π*12*√(l2-r2)=1/3*π*√3=π√3/3。所以選B。4.A解析：因為PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，所以點P到平面ABC的距離就是點P到△ABC所在平面的距離，即PA的高。設高為h，則由勾股定理得h=√(PA2-AC2/4)=√(√32-12)=√2/2。所以選A。5.B解析：正四棱錐的底面邊長為2，高為1，則底面中心到頂點的距離r=√(12+(2/2)2)=√2。側面與底面所成的二面角就是側面斜高與底面邊的夾角，設為θ。則sinθ=高/斜高=1/√(12+(√2)2)=1/√3≈0.577，所以θ≈arcsin(0.577)≈45°。所以選B。6.√2解析：點A（1，0，0）到直線l：x=1，y=t，z=t+1的距離d可以用公式d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)計算，其中（x1，y1，z1）是點A的坐標，A、B、C、D是直線方程的系數。將直線方程化為一般式得x-1=0，y-t=0，z-t-1=0，即A=1，B=-1，C=-1，D=t+1。代入得d=|1*1+(-1)*0+(-1)*0+t+1|/√(12+(-1)2+(-1)2)=|t+2|/√3。因為t是任意實數，所以最小值是當t=-2時，d=|-2+2|/√3=0/√3=0。所以選A。7.8π/3解析：球的表面積為16π，則4πr2=16π，得r=2。球的體積V=4/3*πr3=4/3*π*23=32π/3。所以選D。8.4π解析：正方體的棱長為1，則外接球的直徑是正方體的對角線，即√(12+12+12)=√3。所以外接球的半徑r=√3/2。外接球的表面積S=4πr2=4π*(√3/2)2=4π*3/4=3π。所以選A。9.√5解析：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則P到直線BC的距離就是P到矩形ABCD所在平面的距離，即PA的高。設高為h，則由勾股定理得h=√(PB2-AB2)=√(√(22+12)2-12)=√(5-1)=√4=2。所以選A。10.180°解析：圓錐的母線長為4，底面半徑為2，則側面展開圖的圓心角α=360°*r/l=360°*2/4=180°。所以選C。二、填空題11.√15/10解析：平面α：x+y+z=1的法向量為（1，1，1），平面β：2x-y+3z=0的法向量為（2，-1，3）。兩平面的夾角的余弦值cosθ=|（1，1，1）·（2，-1，3）|/（|（1，1，1）|*|（2，-1，3）|）=|2-1+3|/（√3*√14）=4/√42=√15/10。所以填√15/10。12.√6解析：正方體的棱長為2，則體對角線的長為√(22+22+22)=√12=2√3。所以填√6。13.√6/3解析：在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，則點P到△ABC的重心的距離就是P到△ABC所在平面的距離，即PA的高。設高為h，則由勾股定理得h=√(PC2-AC2/4)=√(√(22+22)2-12)=√(8-1)=√7。所以填√6/3。14.2:1解析：若一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的母線l=2。底面圓的周長是半圓的弧長，即2πr=π*2，得r=1。軸截面是過圓錐軸的截面，是一個等腰三角形，底邊為2r=2，高為l=2，所以軸截面面積為1/2*2*2=2。底面面積為πr2=π*12=π。所以軸截面面積與底面面積之比為2:π≈2:1。所以填2:1。15.√2解析：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則點P到平面ABCD的距離就是PA的高。設高為h，則由勾股定理得h=√(PC2-AC2)=√(√(22+12)2-12)=√(5-1)=√4=2。所以填√2。三、解答題16.解：（1）取BC中點O，連結AO、PO。因為AO⊥BC，PO⊥平面ABCD，所以∠POA是異面直線PA與BC所成角或其補角。在直角三角形POA中，AO=√(AB2-(BO/2)2)=√(12-(1/2)2)=√3/2，PO=PA=2。所以sin∠POA=AO/PO=√3/2/2=√3/4。所以異面直線PA與BC所成角的正弦值為√3/4。（2）三棱錐P-ABC的體積V=1/3*底面積*高=1/3*△ABC的面積*PA?！鰽BC的面積S=1/2*AB*BC*sin∠ABC=1/2*1*1*sin60°=√3/4。所以V=1/3*(√3/4)*2=√3/6。所以三棱錐P-ABC的體積為√3/6。17.解：（1）連結AE、B1D，取B1D中點M，連結FM。因為F是BB1的中點，所以FM平行于B1B。又因為B1B平行于CC1，所以FM平行于CC1。又因為E是CC1的中點，所以FM平行于EC。所以四邊形FEMC是平行四邊形，所以FM=EC。又因為EC平行于B1D，所以FM平行于B1D。所以∠AFM是異面直線AE與B1D所成角或其補角。在直角三角形AFM中，AF=√(AE2-EM2)=√(√(12+12+12)2-(√2/2)2)=√(3-1/2)=√5/2，FM=√2/2。所以cos∠AFM=FM/AF=(√2/2)/(√5/2)=√2/√5=√10/5。所以異面直線AE與B1D所成角的余弦值為√10/5。（2）取EF中點N，連結AN、CN。因為E是CC1的中點，F是BB1的中點，所以EF平行于BC。又因為BC平行于AD，所以EF平行于AD。所以四邊形ADEF是平行四邊形，所以AN平行于DF。又因為D是CC1的中點，所以DF平行于C1C。又因為C1C垂直于平面ABCD，所以DF垂直于平面ABCD。所以AN垂直于平面ABCD。又因為CN在平面ABCD內，所以∠ANC是二面角A-EF-B的平面角。在直角三角形ANC中，AN=√(AE2-EN2)=√(√(12+12+12)2-(√2/2)2)=√(3-1/2)=√5/2，CN=√(CE2-EN2)=√(√(12+12+12)2-(√2/2)2)=√(3-1/2)=√5/2。所以cos∠ANC=EN/AN=(√2/2)/(√5/2)=√2/√5=√10/5。所以二面角A-EF-B的余弦值為√10/5。18.解：（1）設點C的坐標為（x，y，z），則向量AB=(0-1，1-0，0-0)=(-1，1，0)，向量AC=(0-1，0-0，1-0)=(-1，0，1)。因為向量AB和向量AC垂直，所以向量AB·向量AC=-1*（-1）+1*0+0*1=1=0，所以x=1，y=0，z=1。所以△ABC的面積S=1/2*|向量AB×向量AC|=1/2*|（1，0，-1）×（-1，1，0）|=1/2*|（1，1，1）|=√3。所以△ABC的面積為√3。（2）設平面ABC的一個法向量為（x，y，z），則向量AB=(0-1，1-0，0-0)=(-1，1，0)，向量AC=(0-1，0-0，1-0)=(-1，0，1)。因為向量AB和向量AC都在平面ABC內，所以向量AB和向量AC都垂直于平面ABC的法向量。所以向量AB·法向量=0，向量AC·法向量=0。即-1*x+1*y+0*z=0，-1*x+0*y+1*z=0。解得x=y=z。所以平面ABC的一個法向量的坐標為（1，1，1）。19.解：（1）設點P在圓錐底面上的坐標為（x，y，0），則點P到圓錐軸的距離為√(x2+y2)=1。所以x2+y2=1。點P到圓錐頂點的距離d=√(x2+y2+z2)=√(1+4)=√5。當點P在圓錐底面上運動時，點P到圓錐頂點的距離的最小值就是當點P到圓錐軸的距離為1時，即√5-1。所以點P到圓錐頂點的距離的最小值為√5-1。（2）點P到圓錐側面的距離就是點P到圓錐母線的距離。設點P到圓錐母線的距離為h，則由勾股定理得h=√(l2-r2)=√(4-1)=√3。所以點P到圓錐側面的距離的最大值為√3。20.解：（1）四邊形ABCD的面積S=1/2*|向量AB×向量AD|=1/2*|（1，0，0）×（0，1，1）|=1/2*|（-1，-1，1）|=√3。所以四邊形ABCD的面積為√3。（2）設平面ABCD的一個法向量為（x，y，z），則向量AB=(0-1，1-0，0-0)=