2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷：立體幾何突破專題試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x+2y+3z=6的距離為（）A.1B.2C.3D.42.已知直線l：x=1和直線m：y=2，則直線l和直線m所成角的余弦值為（）A.0B.1C.√2/2D.√3/23.在正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB′的中點(diǎn)，則直線AE與直線CF所成角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/34.已知點(diǎn)A（1，0，0），點(diǎn)B（0，1，0），點(diǎn)C（0，0，1），則三角形ABC的面積為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/25.在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′=3，則三棱柱的體積為（）A.3√3B.6√3C.9√3D.12√36.已知點(diǎn)P（1，2，3）在平面π：2x+y+3z=6上，則點(diǎn)P到平面π的距離為（）A.1B.2C.3D.47.在正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CC′的中點(diǎn)，則直線AE與直線DF所成角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/38.已知點(diǎn)A（1，0，0），點(diǎn)B（0，1，0），點(diǎn)C（0，0，1），則向量AB與向量AC所成角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/29.在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為3的等邊三角形，AA′=4，則三棱柱的表面積為（）A.18√3B.24√3C.30√3D.36√310.已知點(diǎn)P（1，2，3）在平面π：3x+2y+z=6上，則點(diǎn)P到平面π的距離為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)位置。）11.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2，z=3的的距離為______。12.已知直線l：x=1和直線m：y=2，則直線l和直線m所成角的正弦值為______。13.在正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB′的中點(diǎn)，則直線AE與直線CF所成角的正弦值為______。14.已知點(diǎn)A（1，0，0），點(diǎn)B（0，1，0），點(diǎn)C（0，0，1），則向量AB與向量BC所成角的余弦值為______。15.在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′=3，則三棱柱的側(cè)面積為______。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為3的等邊三角形，AA′=4，點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為棱AC的中點(diǎn)。（1）求證：平面A′DE⊥平面ABC；（2）求三棱錐A′-ADE的體積。17.（本小題滿分15分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，0，2），點(diǎn)C（0，1，3）。（1）求向量AB和向量AC的夾角θ的余弦值；（2）若點(diǎn)D在直線BC上，且向量AD與向量BC垂直，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。18.（本小題滿分15分）在正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB′的中點(diǎn)，點(diǎn)G為棱AA′的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形EFGD是一個(gè)平行四邊形；（2）求三棱錐G-EBF的體積。19.（本小題滿分15分）已知點(diǎn)A（1，0，0），點(diǎn)B（0，1，0），點(diǎn)C（0，0，1），點(diǎn)D（1，1，1）。（1）求平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)D到平面ABC的距離。20.（本小題滿分15分）在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′=3，點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BC的中點(diǎn)。（1）求證：AF⊥DE；（2）求三棱錐A′-DEF的體積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x+2y+3z=6的距離d=|1*1+2*2+3*3-6|/√(1^2+2^2+3^2)=|1+4+9-6|/√14=8/√14=4√14/14=2√14/7≈3。所以選C。2.A解析：直線l：x=1和直線m：y=2是兩條垂直的直線，它們所成角的余弦值為0。所以選A。3.A解析：正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB′的中點(diǎn)，則E（0，0，3/2），F(xiàn)（0，1，3/2）。向量AE=（-1，-2，3/2），向量CF=（0，-1，-3/2）。它們的點(diǎn)積為0，所以余弦值為1/2。所以選A。4.B解析：三角形ABC的面積可以用向量叉積求出，向量AB=（-1，1，0），向量AC=（-1，0，1）。它們的叉積的模長為√2，所以面積為1/2*√2=√2/2。所以選B。5.B解析：直三棱柱ABC-A′B′C′的體積V=底面積*高=√3/4*2^2*3=6√3。所以選B。6.A解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)P（1，2，3）到平面π：2x+y+3z=6的距離d=|2*1+1*2+3*3-6|/√(2^2+1^2+3^2)=|2+2+9-6|/√14=7/√14=√14/2=2√14/7≈1。所以選A。7.A解析：正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CC′的中點(diǎn)，則E（1，0，3/2），F(xiàn)（0，0，3）。向量AE=（0，0，3/2），向量DF=（1，0，-3/2）。它們的點(diǎn)積為0，所以余弦值為1/2。所以選A。8.B解析：向量AB=（-1，1，0），向量AC=（-1，0，1）。它們的點(diǎn)積為-1，模長分別為√2，所以余弦值為-1/√2=√2/2。所以選B。9.B解析：直三棱柱ABC-A′B′C′的表面積V=2*底面積+側(cè)面積=2*√3/4*3^2+3*4*3=24√3。所以選B。10.A解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)P（1，2，3）到平面π：3x+2y+z=6的距離d=|3*1+2*2+1*3-6|/√(3^2+2^2+1^2)=|3+4+3-6|/√14=4/√14=2√14/7≈1。所以選A。二、填空題答案及解析11.√14/2解析：點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2，z=3的的距離可以用點(diǎn)到直線的距離公式求解，即|向量AP×向量l|=|（0，0，3）×（0，0，1）|=|（-3，0，0）|=√14/2。12.√2/2解析：直線l：x=1和直線m：y=2的夾角θ滿足cosθ=向量l1?向量l2/（|向量l1||向量l2|），其中向量l1=(1，0，0)，向量l2=(0，1，0)，所以cosθ=1*0+0*1+0*0/（√1^2+0^2+0^2）*√0^2+1^2+0^2=0，所以θ=π/2，sinθ=√2/2。13.√3/2解析：正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB′的中點(diǎn)，則E（0，0，3/2），F(xiàn)（0，1，3/2）。向量AE=（-1，-2，3/2），向量CF=（0，-1，-3/2）。它們的點(diǎn)積為-3/4，模長分別為√13/2，所以余弦值為-3/4*2/(√13/2*√13/2)=-3/13，所以正弦值為√(1-(-3/13)^2)=√(1-9/169)=√(160/169)=√3/2。14.√3/2解析：向量AB=（-1，1，0），向量BC=（-1，-1，1）。它們的點(diǎn)積為-2，模長分別為√2，所以余弦值為-2/√2=√3/2。15.6√3解析：直三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)面積V=底面周長*高=3*2*3=18，所以側(cè)面積為6√3。三、解答題答案及解析16.（1）證明：在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為3的等邊三角形，AA′=4，點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為棱AC的中點(diǎn)。因?yàn)锳D=DE=1.5，AE=√(1.5^2+1.5^2)=√(4.5)=3/√2。又因?yàn)锳A′⊥平面ABC，所以AA′⊥AD，AA′⊥AE。所以向量AA′與向量AD和向量AE都垂直，所以向量AA′與向量DE垂直。又因?yàn)镈E在平面A′DE中，AA′在平面ABC中，所以平面A′DE⊥平面ABC。（2）解：三棱錐A′-ADE的體積V=1/3*底面積*高=1/3*1/2*AD*AE*AA′=1/3*1/2*1.5*3/√2*4=3√2。17.（1）解：向量AB=（3-1，0-2，2-3）=（2，-2，-1），向量AC=（0-1，1-2，3-3）=（-1，-1，0）。它們的點(diǎn)積為2*(-1)+(-2)*(-1)+(-1)*0=-2+2+0=0，所以余弦值為0。（2）解：設(shè)點(diǎn)D在直線BC上，坐標(biāo)為（x，y，z），則向量BD=（x-3，y，z-2），向量AD=（x-1，y-2，z-3）。因?yàn)橄蛄緼D與向量BC垂直，所以向量AD?向量BC=0，即（x-1）*0+(y-2)*1+(z-3)*(-1)=0，所以y-2-z+3=0，即y+z=1。又因?yàn)辄c(diǎn)D在直線BC上，所以向量BD=λ向量BC，即（x-3，y，z-2）=λ（-3，1，1），所以x-3=-3λ，y=λ，z-2=λ。解得λ=1，所以x=0，y=1，z=3。所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1，3）。18.（1）證明：在正方體ABCDA′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB′的中點(diǎn)，點(diǎn)G為棱AA′的中點(diǎn)。因?yàn)镋（0，0，3/2），F(xiàn)（0，1，3/2），G（1，0，3/2），所以向量EF=（0，1，0），向量GD=（-1，0，-3/2）。它們的點(diǎn)積為0，所以四邊形EFGD是一個(gè)平行四邊形。（2）解：三棱錐G-EBF的體積V=1/3*底面積*高=1/3*1/2*EF*GD*GE=1/3*1/2*1*√(1^2+0^2+(-3/2)^2)*3/2=1/8*√13*3=3√13/8。19.（1）解：平面ABC的一個(gè)法向量為向量AB×向量AC，即（-1，1，0）×（-1，0，1）=（1，1，1）。（2）解：點(diǎn)D到平面ABC的距離d=|向量AD?法向量|/模長法向量=|（0，1，1）?（1，1，1）|/