第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省深圳實驗學校高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，且B?A，則P(AB)=(

)A.0.5 B.0.4 C.0.9 D.0.22.已知向量a=(4,m)，b=(m?2,2)，若a與b共線，則m=(

)A.?4 B.4 C.?2 D.?2或43.在△ABC中，“AB?AC>0”是“△ABC為銳角三角形”的(????)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是(

)A.棱柱

B.棱臺

C.棱柱與棱錐的組合體

D.不能確定5.下列說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)1，8，3，5，6的第60百分位數(shù)是5

B.若一組樣本數(shù)據(jù)4，6，7，8，9，a的平均數(shù)為7，則a=7

C.用分層隨機抽樣時，個體數(shù)最多的層里的個體被抽到的概率最大

D.若x1，x2，?，x10的標準差為4，則?2x1+3，?2x26.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，M是△ABC內的一點，且AM=λAB+μAC，若λ+μ=12A.12 B.?12 C.?7.我國南北朝時期的科學家祖暅，提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：如果兩個等高的幾何體，在等高處的截面積恒等，則這兩個幾何體的體積相等．利用此原理求以下幾何體的體積：曲線y=x2(0≤y≤L)繞y軸旋轉一周得幾何體Z，將Z放在與y軸垂直的水平面α上，用平行于平面α，且與Z的頂點O距離為l的平面截幾何體Z，得截面圓的面積為π(l)2=πl(wèi).由此構造右邊的幾何體Z1：其中AC⊥平面α，AC=L，AA1?α，AA1A.πL2 B.πL3 C.8.如圖，在棱長為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P是△A1BC1A.2π

B.34π

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設z是復數(shù)，z?是其共軛復數(shù)，則下列結論中正確的是(

)A.z2≥0 B.|z|2=z210.△ABC滿足sinA：sinB：sinC=2：7：3，且S△ABC=6A.△ABC三個內角A，B，C滿足關系A+C=2B

B.△ABC的周長為10+27

C.若∠B的角平分線與AC交于D，則BD的長為635

D.若E為11.空間中有一個球體和一個棱長為2的正方體，正方體有且僅有兩個面所在的平面與球體相切，又有且僅有兩個頂點在球面上，則滿足條件的球體的半徑可以是(

)A.1 B.2 C.4?7 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.向量b=(2,4)在向量a=(?1,1)上的投影向量為______．13.某小學對四年級的某個班進行數(shù)學測試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學測試的總體方差為______．14.如圖，在△ABC中，B=π3，AB=2，點M滿足AM=13AC,BM?AC=43，O為BM中點，點

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求證：

(1)直線PA//平面DEF；

(2)平面BDE⊥平面ABC．16.(本小題15分)

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量m?=(sinC,cosC)，n=(2sinA?3cosB,?3sinB)，且m⊥n，且角C是銳角．

(1)求角17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，G為邊AD的中點．

(1)求證：BG⊥平面PAD；

(2)若BG與AC交于點E，設點F是棱AP上一動點，試確定點F的位置，使得EF//平面PBC，并證明你的結論；

(3)求二面角P?AC?B的正切值．18.(本小題17分)

數(shù)據(jù)傳輸包括發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié).在某數(shù)據(jù)傳輸中，數(shù)據(jù)是由數(shù)字0和1組成的數(shù)字串，發(fā)送時按順序每次只發(fā)送一個數(shù)字.發(fā)送數(shù)字1時，收到的數(shù)字是1的概率為α(0<α<1)，收到的數(shù)字是0的概率為1?α；發(fā)送數(shù)字0時，收到的數(shù)字是0的概率為β(0<β<1)，收到的數(shù)字是1的概率為1?β.假設每次數(shù)字的傳輸相互獨立，且α+β=32．

(1)當α=β時，若發(fā)送的數(shù)據(jù)為“10”，求收到的所有數(shù)字都正確的概率；

(2)用X表示收到的數(shù)字串，將X中數(shù)字1的個數(shù)記為n(X)，如X=“1011”，則n(X)=3．

(ⅰ)若發(fā)送的數(shù)據(jù)為：“100”，且P(n(X)=0)：P(n(X)=1)=3：11，求β；

(ⅱ)若發(fā)送的數(shù)據(jù)為“1100”，求P(n(X)=2)的最大值．19.(本小題17分)

如圖1，由射線PA，PB，PC構成的三面角P?ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A?PC?B的大小為θ，類比于三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．

(1)如圖2，在三棱錐P?ABC中，PA=4，∠APC=120°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PC=8．

(i)求平面APC與平面BPC所成的角的正弦值；

(ii)求三棱錐P?ABC體積的最大值；

(2)當α，β，γ∈(0,π2)時，利用圖1

參考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.D

6.C

7.C

8.C

9.CD

10.ABD

11.AC

12.(?1,1)

13.15.8

14.[?2915.證明：(1)∵D、E分別為PC、AC的中點，

∴DE//PA，

又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，

∴PA//平面DEF；

(2)∵D、E分別為PC、AC的中點，

∴DE=12PA=3；

又∵E、F為AC、AB的中點，

∴EF=12BC=4；

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE//PA，PA⊥AC，

∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，AC，EF?平面ABC，

∴DE⊥平面ABC16.(1)∵m=(sinC,cosC)，n=(2sinA?3cosB,?3sinB)，m⊥n，

∴m?n=sinC?(2sinA?3cosB)+cosC?(?3sinB)=0，

∴2sinAsinC?3(sinCcosB+cosCsinB)=0，

∴2sinAsinC?3sin(B+C)=0，

∴2sinAsinC?3sinA=0，∴sinA(2sinC?3)=0，

∵0<A<π，∴sinA≠0，∴sinC=3217.(1)證明：連接BD，因為底面ABCD為菱形，所以AD=AB，

又∠DAB=60°，所以△ABD為正三角形，又AG=DG，所以BG⊥AD，

又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BG?面ABCD．

所以，BG⊥面PAD．

(2)解：當點F是棱AP上靠近點A的三等分點時，EF//面PBC.理由如下：

連接EF，BD.因為底面ABCD為菱形，所以AC與BD互相平分，

又AG=DG，所以E是△ABD重心，即GE：EB=1：2，

又AD//BC，則AE：EC=GE：EB=1：2，

所以AE=13AC，又AF=13AP，所以，EF//PC，又PC?平面PBC，

EF?平面PBC，所以，EF//面PBC，

(3)解：連接PG，過點G作GM⊥AC于M，連接PM，

因為△PAD為正三角形．又AG=DG，所以PG⊥AD，

又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PG?面PAD，

所以，PG⊥面ABCD，所以，GM是PM在面ABCD上的射影，

又GM⊥AC，所以，PM⊥AC．

所以，∠PMG是二面角P?AC?B的平面角的補角．

又Rt△AGM中，GM=AG?sin∠DAC=12a×12=a4，正△PAD中，18.解：(1)記事件A表示“收到的所有數(shù)字都正確”，

則由α+β=32及α=β可得：α=β=34，

所以P(A)=(34)2=916．

(2)(ⅰ)由發(fā)送的數(shù)據(jù)為“100”可知，事件n(X)=0表示1傳輸錯誤且兩個0傳輸都正確，

所以P(n(X)=0)=(1?α)β2，

而事件n(X)=1包含以下兩種情況：

①1傳輸正確且兩個0傳輸都正確，其概率為αβ2；

②1傳輸錯誤且只有一個0傳輸都正確，其概率為2(1?α)β(1?β)=β(2αβ?1)，

所以P(n(X)=1)=αβ2+β(2αβ?1)．

又因為P(n(X)=0)：P(n(X)=1)=3：11，

所以(1?α)β2αβ2+β(2αβ?1)=311，即(1?α)β3αβ?1=311，

所以11β+3=20αβ．

將α=32?β代入上式可得：20β2?19β+3=0，

所以β=34或β=15，

因為α+β=32，且0<α<1，0<β<1，

所以12<α<1，12<β<1，

所以β=34．

(ⅱ)當發(fā)送的數(shù)據(jù)為“1100”，事件n(X)=2包含以下三種情況：

①兩個1傳輸都正確且兩個0傳輸都正確，其概率為α2β2；

②有且僅有19.(1)(i)設平面APC與平面BPC所成的角為θ，

則根據(jù)題意可得cosθ=cosγ?cosα?cosβsinα?sinβ=0+12×2232×22=33，θ∈(0,π)，

所以sinθ=1?(?33)2=63；

所以平面APC與平面BPC所成的角的正弦值為63；

(i