第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河北省秦皇島實驗中學高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列運算結(jié)果為純虛數(shù)的是(

)A.i(1?i) B.i(1+i)2 C.i32.如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△OAB的面積是(

)

A.6 B.32 C.12 3.若i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根，則q=(

)A.1 B.?1 C.2 D.?24.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，對于下列四個命題：

①m?α，n?α，m//β，n//β?α//β②n//m，n?α?m//α

③α//β，m?α，n?β?m//n④m//α，n?α?m//n

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1A.π6

B.π4

C.π3

6.為了調(diào)查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三所中學抽取60名教師進行調(diào)查，已知A，B，C三所學校中分別有180，270，90名教師，則從C學校中應抽取的人數(shù)為(

)A.10 B.12 C.18 D.247.已知圓錐的表面積為27π，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則圓錐底面直徑為(

)A.6 B.3 C.12 D.38.正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為(

)A.20+123 B.282 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若復數(shù)z滿足(1+i)z=3+i(其中i是虛數(shù)單位)，則(

)A.|z|=5

B.z的實部是2

C.z的虛部是?i

D.復數(shù)z的共軛復數(shù)10.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，C1D1A.AC//平面EFG

B.G為BC中點時EF⊥FG

C.G為BC中點時異面直線AB與EG所成的角為60°

D.棱錐G?EFD1的體積為定值

11.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險，各種保險按相關(guān)約定進行參保與理財，該保險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖：

用樣本估計總體，以下四個選項正確的是(

)A.30?41周歲參保人數(shù)最多

B.隨著年齡的增長人均參保費用越來越少

C.丁險種最受參保人青睞

D.30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)20%三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復數(shù)z對應的點的坐標為(2,?1)，則z的虛部為______．13.一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8，7，x，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的54倍，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是______．14.在正三棱錐P?ABC中，AB=23，正三棱錐P?ABC的體積是43，則正三棱錐四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數(shù)z=a?1+ai(a∈R)．

(1)若z是純虛數(shù)，求a；

(2)若|z|=5，求16.(本小題15分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E為CC1的中點．

(1)求證：AC1//平面BDE17.(本小題15分)

如圖，已知點P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求證：

(1)BC⊥平面PAB；

(2)PC⊥EF．18.(本小題17分)

某高校舉行了一次環(huán)保知識競賽，共有900名學生參加，為了解本次競賽成績的情況，從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計.請你根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖，解答下列問題：分組頻數(shù)頻率[50,60)40.08[60,70)0.16[70,80)10[80,90)160.32[90,100]合計50(1)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；

(2)補全頻率分布直方圖；

(3)若成績在[80,100]內(nèi)的學生獲得環(huán)保紀念勛章，請估計該校獲得環(huán)保紀念勛章的學生有多少人．19.(本小題17分)

已知點P是邊長為2的菱形ABCD所在平面外一點，且點P在底面ABCD上的射影是AC與BD的交點O，已知∠BAD=60°，△PDB是等邊三角形．

(1)求證：AC⊥PD；

(2)求點D到平面PBC的距離；

(3)若點E是線段AD上的動點，設直線PE與平面PBC所成的角為θ，求sinθ的取值范圍．

參考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.C

6.A

7.A

8.D

9.ABD

10.ABD

11.AC

12.?1

13.6

14.25π

15.解：(1)若z是純虛數(shù)，

則a?1=0a≠0，

所以a=1．

(2)因為|z|=(a?1)2+a2=5，

所以a2?a?2=0，

所以a=2或a=?1．

當a=2時，16.證明：(1)連接AC，設AC∩BD=O，連接OE，

∵O、E為別為AC、CC1的中點，

∴OE//AC1，

又AC1?平面BDE，OE?平面BDE，

∴AC1//平面BDE．

(2)∵點F為棱DD1中點，E為CC1的中點．

∴DF//C1E且DF=12DD1=12CC1=C1E，

∴四邊形DFC1E為平行四邊形，

∴FC1//DE17.證明：(1)點P為△ABC所在平面外一點，

PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，

∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC，

∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，

∵AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB；

(2)由(1)得BC⊥平面PAB，

∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，

∵AE⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC?平面PBC，

∴AE⊥平面PBC，

∵PC?平面PBC，∴AE⊥PC，

∵AF⊥PC，AE∩AF=A，AE，AF?平面AEF，

∴PC⊥平面AEF，

∵EF?平面AEF，∴PC⊥EF．18.(1)由已知樣本容量為50，故第二組的頻數(shù)為0.16×50=8，

第三組的頻率為1050=0.20，

第四組的頻數(shù)為：50?(4+8+10+16)=12，頻率為1250分組頻數(shù)頻率[50,60)40.08[60.70)80.16[70,80)100.20[80.90)160.32[90,100]120.24合計501(2)因為[90,100]這一組的高為0.2410=0.024，

所以補全的頻率分布直方圖如下所示：

(3)樣本中成績在[80,100]的頻率為0.32+0.24=0.56，

所以估計該校獲得環(huán)保紀念勛章的學生有900×0.56=50419.(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，

因為點P在底面ABCD上的射影是AC與BD的交點O，

所以PO⊥平面ABCD，

又AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，

因為PO∩BD=O，PO，BD?平面PBD，所以AC⊥平面PBD，

因為PD?平面PBD，所以AC⊥PD；

(2)由題意可得△ABD、△BCD與△PBD都是邊長為2的等邊三角形，

所以PO=AO=CO=3，S△BDC=12×2×3=3，

所以PC=PO2+CO2=6，

因為BP=BD=BC=2，

所以S△PBC=12×