第六屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽預(yù)賽及答案

姓名班別學(xué)校準(zhǔn)考證號(hào)

1.(滿分16分)永強(qiáng)加工廠接到一批訂單，為完畢訂單任務(wù)，需用a米長(zhǎng)的材料440根,

b米長(zhǎng)的材料480根，可采購(gòu)到的原料有三種，一根甲種原料可截得a米長(zhǎng)的材料4根、b米長(zhǎng)

的材料6根，b米長(zhǎng)的材料2根，成本為5()元；一根丙種原料可截得a米長(zhǎng)的材料4根，成本

為40元，問如何采購(gòu)，可使材料成本最低？

解設(shè)甲種取x根，乙種取y根，丙種取z根，則已知為x、y、z滿足

4x?協(xié)4Z-440(t)

2y+4z-480(2)

設(shè)總成本為p元,則求p-60x*-50y*-40z-最小值........8分

由和(2),得因?yàn)閤、y林是正數(shù).所以

OWzWIOO又因?yàn)閤j都是非負(fù)整數(shù)?所以令X%則。WIW25于是

T^0x+50y*40z

150(50.2l>50(40.2l)^OX5t

-5000-201,

顯然t-20的，成本最低，即x-lOyOLlOO時(shí)，取霧材料的最低成本4600.

???為了取得譬成本，狗買甲種材料10箱，乙種0根，丙種100根，成

本是4600元.-----16分

2.(滿分16分)中國(guó)青年報(bào)2023年9月19日?qǐng)?bào)道：據(jù)北京市交通管理局的最新記錄,

目前北京機(jī)動(dòng)車總量已突破180萬輛，每100個(gè)家庭擁有超過10輛汽車，城市汽車擁有量已躍

居全國(guó)首位?！?023年左右，北京機(jī)動(dòng)車保有量將達(dá)成300萬輛。

(1)請(qǐng)你按以上電息，計(jì)算北京此后6年的機(jī)動(dòng)車平均年增長(zhǎng)率；

(2)給出一個(gè)適合北京遠(yuǎn)景規(guī)劃的汽車新牌號(hào)設(shè)計(jì)原則和設(shè)計(jì)方案，設(shè)計(jì)

原則中應(yīng)考慮城區(qū)普通車、農(nóng)用車、警用車、外籍車等不同車種的區(qū)分。

解(1)設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x,則據(jù)已知信息，有

1800?-300,

aPx-6^-1-1088-1-1.09-1-9%.

北京今后6年的機(jī)動(dòng)車平均年用長(zhǎng)率約為9%.

...............6分

（2）這個(gè)聞是開放性的,不給參老解答.

-------------16分

（只要原則合理.新牌號(hào)的總重不少與500萬個(gè)即可糊莉分?總堂不是

300萬的屬4分?在300-500的減1分，原則不合理的酊悒充分.）

3.（滿分16分）體育彩票的抽獎(jiǎng)是從寫在36個(gè)球上的36個(gè)號(hào)碼隨機(jī)搖出7個(gè)。有人記錄

了過去中特等獎(jiǎng)的號(hào)碼，聲稱某一號(hào)碼在歷次特等獎(jiǎng)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，它是一個(gè)幸運(yùn)號(hào)碼，

人們應(yīng)當(dāng)買這一號(hào)碼，也有人說，若一個(gè)號(hào)碼在歷次特等獎(jiǎng)中出現(xiàn)的次數(shù)最少，由于每個(gè)號(hào)碼

出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，應(yīng)當(dāng)買這一號(hào)碼，你認(rèn)為他們的說法對(duì)嗎？

解體育彩票應(yīng)木36個(gè)號(hào)碼的36個(gè)球大小、重量等應(yīng)當(dāng)是一致的，嚴(yán)格說，為了保證公

平，每次用的36個(gè)球，應(yīng)當(dāng)只允許用一次，除非能保證用過一次后，球沒有磨損、變形，和沒

有用過的球同樣。

因此，當(dāng)你把這36個(gè)球當(dāng)作每次抽獎(jiǎng)中只用了一次時(shí)，不難看出，以前抽獎(jiǎng)的結(jié)果對(duì)此后

抽獎(jiǎng)的結(jié)果沒有任何影響，上述兩種說法都是錯(cuò)的。.......16分

4、（滿分16分）寶石加工廠經(jīng)常需要將礦石原料內(nèi)已知位直上的一塊精品切SJ

出來，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)方體的庾科石材，具長(zhǎng)X寬X高的尺寸分別為19X14X12Q?）3,

需苛求個(gè)下來的精品都分相應(yīng)的尺寸為5x4x2（G?）3的小長(zhǎng)方體，且二者的左例

ffi,前面和底面相互平行，距離分別為9c用已知切害I的加工費(fèi)用為垂亙

縱向切刑（即行于前面）3而c*,水平方向切割（即切和面平行于底面）

5X/cm2,為了濫少旋轉(zhuǎn)刀具的次數(shù)，要求同向壞卻連續(xù)兩次后再旋特刀具,為操

作方便，每次切割都修把石材切斫，切割時(shí)要求石材的高垂直于水平面，雌出切西

的程序使切割的總^用最少.

解法1建立坐標(biāo)系（TpXj.Xj）,使得/軸、叼軸、G軸分別與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、

寬、高平行，令Z7G=123分別表示原料長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、II和高，％=（I=123）分

劃去元耗品題A“■大體的4、石和點(diǎn).垂直知水平印制的陸田小利為a和bi?.

根據(jù)題意可知.整個(gè)切割的過程可以分為三次,即垂直縱向切和、垂直橫向切翻和水

平方向切田，舟次包括平行的兩刀,這兩刀切卻的面積是一樣的,在我們的坐標(biāo)系下這三

次切割可以記為沿叼號(hào)向MJ向和\叼向的切削，被切割的原料的形狀在野次切卻后部

要發(fā)生變化，即，某一個(gè)方向上的長(zhǎng)度由于切割而誡小，如沿著X/3面切割(垂直橫向

切割)時(shí)，格使得長(zhǎng)方體在勺(即苴)的方向送少為沿著彳|勺面切割(水平方向切

劄)時(shí)將使得長(zhǎng)方體在與(即高)的方向減少為。.因此后面切割的面積會(huì)由于前面的

切3BJ而不同.

在我們的問題中這三次W卻投加工先后次序的不用總共有3-6種情瓦，它們是

①縱橫(平②縱()、平(々勺)、橫(

(XaXj)%X|Xj)%(XjX2)X2X3XJXJ)

③情(X|XS)%姒(X3Xj)%平(XjX2)④橫(X|X3)%平(X|X3)%縱(J3X})

⑤平縱(⑥平(而孫)、播縱(孫

(XjXa)vX2X3)S.(X|X3)(X|X))vF)

根據(jù)上面的分析?，這六個(gè)情況中每一個(gè)的三次切割的切割面積(只記兩個(gè)平行面中的一

個(gè))分別是

也.

①12bhkJ②JbhJ,他,③L\khk,，h

④⑤3g從.⑥L11M貼.

于是，這六種情況的W&I瞥用應(yīng)詼?zhǔn)?/p>

①月-2((心乜⑷。?卅L②一?2(仁24?⑨)//]砧L

③尸3?陽(yáng)￡也+/山)"卬M④5?2((￡也+必)。+，2小】.

⑤用-置0冉+晶)。+WL⑥一，一山+快M+―切

由題目的假設(shè)可知，4-19,。-14.I,-4,/,-2.6-5.

代入上式可反得，

^-2((168+60)x3+20x51-1568

?2((168+10)x3+70x5]?1768.

4=2((228+48)x3+20x5]=1856.

4?2((228+8)x3*76x5]=2176,

--2((28*10)x3*226x5]-2888,

&=2((38+8)x3+266x5]=2936

比較這六種情況的費(fèi)用可知，第一種切割方式，即先縱切，再橫切，最后平切的切割方式

費(fèi)用最低。.......16分

解法2一方面考慮垂直和水平切割費(fèi)用相同的情況，即a=b時(shí)，六種情況的費(fèi)用為

①4?243%?體），②瑪?勿臼4+"3+3/

③及-X-+，山④鳥-勿出一+—十，#】

⑤風(fēng)?明，3。，妨+4JL⑥&=3[，3。+/內(nèi)+。引

由此可以得到耳＜代0Vs+%＜他+hkO4-，3＜A-%O%＜J

這里我們引入了記法01t.它表示當(dāng)切割相應(yīng)的長(zhǎng)度時(shí)的切卻堂,類似

的我們有如下的結(jié)論

K（"O邑＜6],且＜RO&＜a,凡＜4OJ＜片，

4＜居O電＜.,瑪＜&O/＜$1?&《&O$3〈$2

將上述關(guān)系中的＜換成=、＞同樣成立.經(jīng)自這些不等式的關(guān)系,我們可以用利：

當(dāng)叫〉$2＞與時(shí)，有月＜后＜尸5＜a和4＜瑪〈尼，即嵬&琳情況（縱橫平）芾

用品低1

當(dāng)$]＞$3＞與時(shí)，有鳥＜鳥＜居＜總和瑪＜號(hào)＜53,用第②種情況《姒平橫）?

用最底I

當(dāng)J＞片〉s?時(shí)，有居＜R＜尸2＜片和凡＜冗〈或，即第③種情況（橫縱平）費(fèi)

用侵出

當(dāng)6＞%＞51時(shí),有田＜&＜&＜再和巴＜瑪〈月，即第④種情況（恪平縱）S

用偃低1

當(dāng)片》力＞$2時(shí)，有片＜片＜用＜片和用〈居＜為，即第⑤種情況（平縱橫）贊

用最低1

當(dāng)他＞S2＞S]時(shí)，有&＜罵＜瑪〈耳和&〈&＜為，即第⑥抑情充《福平姒）慧

用最低.

由這些結(jié)論可以看出，當(dāng)各方向切割的費(fèi)用相同時(shí)，切割策略的制定只需要選擇切割量大

的方向一方面切割就可以了，我們不妨稱之為大切割量原理?！?0分

當(dāng)b=a時(shí),我們可以通過改變長(zhǎng)方體高度的方法化刈目等費(fèi)用的I可題來解決就可以

7.在我們的間題中，可以通過變換與'=（。/楊&，/；=（。必刈來實(shí)現(xiàn)，這時(shí)在X/3

和X/3方向切割長(zhǎng)方體的有關(guān)系

叫與N從也，和AJ

=。3皿6?〃￡^a（b!a）LkL^=bLkL；

它表明當(dāng)使用原費(fèi)用a在原長(zhǎng)方體上沿上述方向切割時(shí)的費(fèi)用相當(dāng)于用費(fèi)用b在新長(zhǎng)

方悼上切割，這樣就化為等責(zé)用的問題了.

這樣一來,只需要將原向題中的高度之?12和。-2變換為￡f-（375）x12-72

和勺?=（3/5）x2=1.2.然后計(jì)算

s,-Zi-19-5-14,sa-￡a-%-14-4-10,＜-Z,＜-/,*-7.2-1.2-6.

由于力＞附＞與?,根據(jù)大切田堂原理可知應(yīng)采用方窠①，即縱切、橫切在平切的程

序總的切割費(fèi)用景低.16分

5.（滿分18分）北京時(shí)間2023年9月27日14點(diǎn)，國(guó)航CA981航班從首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)時(shí)

起飛，本地時(shí)間9月27日15點(diǎn)30分，該航班正點(diǎn)平穩(wěn)降落在紐約肯尼迪機(jī)場(chǎng)：北京時(shí)間10

月1日19點(diǎn)14分，CA982航班在通過13個(gè)小時(shí)的￡行后，準(zhǔn)點(diǎn)降落在北京首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)，至

此國(guó)航北京一紐約直飛首航成功完畢。這是中國(guó)承運(yùn)人第一次經(jīng)極地經(jīng)營(yíng)北京一紐約直飛航

線。從北京至紐約本來的航線飛經(jīng)上海（北緯31,東經(jīng)122）東京（北緯36,東經(jīng)140）

和舊金山（北緯37,西經(jīng)123）等處，假如飛機(jī)飛行的高度為10千米，并假設(shè)地球是半徑為

6371千米的球體，試分析計(jì)算新航線的空中航程較原航線縮短了多少。

解在地球上，兩地間飛行的最短距離是這兩地所在大圓（其半徑為地球的半徑與飛行高

度之和）的兩地間劣弧長(zhǎng)。

本題應(yīng)計(jì)算以北京、紐約為端點(diǎn)的大圓劣弧長(zhǎng)，再計(jì)算北京到上海、上海到東京、東京到

舊金山、舊金山到紐約各段大圓劣弧長(zhǎng)度和，然后求它們的差。

（1）對(duì)于地球上任意兩點(diǎn)A、B,當(dāng)其經(jīng)緯度三知時(shí)，可用如下方法求出其間

大圓劣弧的長(zhǎng)。

如圖，設(shè)點(diǎn)A的緯度和經(jīng)度分別為4,%，點(diǎn)B的緯度和經(jīng)度分別為尸1,，

A、B所在緯線的圓心吩別為大圓半徑為R過點(diǎn)A作點(diǎn)B所在緯線的平面的

垂線，設(shè)垂足為C.

因?yàn)镴4c=Rsin%-Ksin=O2A=Reos4,

0田=Rcos0i=a2-M，

所以

BC2-。田2+-2OXBtOXCCOS(CJ2-￡?),

1222

AB=AC+BC=2R(1-sin%sin屈-cos%coscos(rz2-RQ)，

/…OB2+OA2-AB2

cosZ.BOA=---------------------------

2OAOB

=（sin%sina+cos%cos0、cos（%-/72））.

設(shè)NBQ4的度數(shù)（弧度）為則A與B之間的大圓劣弧長(zhǎng)為。1。分

(2)計(jì)存原航線的柜離

因?yàn)閟in40"sin3T+cos40"cos31*cos6*?098.

cos'1(sin40*$tn31*+co$40*cos31"cos6'?10-),

所以上海到北京的距離為匚出二”-1H369(M

180

因?yàn)橄?「m36+8$3「8$36?86】才-096.

8「(由3T，m36"+cos31"cot36aco,18"),16,

所以上日到東京的距禹為匚“21工￥->819(切0，

180

因?yàn)橄?6*sn37-?cos36"cos37-cos263--027,

COJ4(sin36-sinP-*cos36cos力?cos26了)-74'.

所以東京到舊金山的距離為匚注?824134(土㈤.

180

因?yàn)橄?7,stn4CT?cos37*COJ40*cos49’-078.

cos-1(stn37*stn4CT?cos37*cos40*cos49*)-38*.

所以舊金師妞約的距落為*衛(wèi)士?423204伏㈤.

180

所以原航笠的距離為l!1369*178L9H824134-h423204-1536898(km).

(3)計(jì)算新航線的距離

因?yàn)閟in40'40'+cos40M0'cos190'=0.17,

cos-1(sin40'sin40'+cos40'cos40'cos190")=100",

所以新航線的距離為江’63；；1°°=11136.95(旅).........16分

(4)新航線比原航線飛行距離縮短了423203(km),縮短為原來的72%.

6.(滿分18分)中國(guó)國(guó)家郵政局2023年1月28日宣布，從2月1日起，使用數(shù)年的民

居、長(zhǎng)城等普通郵票將停止出售，新發(fā)行普通郵票兩套。每套普票面值均暫定為十種：5分、10

分、30分、60分、80分、：元、1.5元、2元、4.2元、E.4元。

下表是目前國(guó)內(nèi)郵件資費(fèi)情況，單位：元。

資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)

編號(hào)種類計(jì)費(fèi)單位外埠

資費(fèi)資費(fèi)

1信函首重10。克內(nèi)，每重20克（不0.600.80

足20克按20克計(jì)算）

續(xù)重101-20。?？耍恐乜?.202.00

（不足100克按100克計(jì)算）

2明信片0.60

說明；

1、本埠以市屬區(qū)（不含市轄縣和飛地）為范圍，本縣以

縣境為范困。

2、國(guó)內(nèi)信函、印刷品郵件計(jì)費(fèi)方式由原遞重等額累進(jìn)計(jì)費(fèi)改為

分首、續(xù)重分別計(jì)費(fèi).

3、取消郵政附加費(fèi)。

根據(jù)以上信息，假如在信封上最多可以貼四張郵票，試回答下面問題：

（1）請(qǐng)你在0.6元、0.8元兩種面值基礎(chǔ)上再?gòu)男掳l(fā)行的郵票中選出兩種面值，形成一套

四周值且能滿足重量不超過500克的所有國(guó)內(nèi)信函（含明信片）付費(fèi)需要的郵票；

（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)九套均為四種面值的郵票，要去含0.6元、0.8元兩種面值，另兩種面值的

郵票隨意擬定，但要滿足重量不超過500克的所有國(guó)內(nèi)信函（含明信片）付費(fèi)需要；

（3）在實(shí)際中，有很多指標(biāo)可以用來衡量一套郵票的合理新。請(qǐng)你試列舉出兩個(gè)指標(biāo)，并

分別用它們衡量你在前兩間中所設(shè)計(jì)出的十套郵票，找出其中你認(rèn)為最合理的一套郵票。

解（1）另兩種面道選2元，5.4元.