第第頁人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《18.2.1矩形》同步測(cè)試題(附答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、矩形的性質(zhì)1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)F是邊AD上的一點(diǎn)，且DF＝3，連接BF，BF的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)P，連接EF交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)H為邊CD的中點(diǎn)，則AF的長(zhǎng)為（）A.8B.7C.4D.32.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若AC＝6，∠AEO＝120°，則FC的長(zhǎng)為（）A.1B.2C.D.3.小明同學(xué)在喝水時(shí)發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象：當(dāng)水杯保持某一靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，水面始終與桌面保持平行．如圖所示，矩形ABCD為靜止?fàn)顟B(tài)的某水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯側(cè)面AB與桌面的夾角為54°時(shí)，則∠CBE的度數(shù)為（）A.46°B.36°C.54°D.56°4.如圖，在矩形ABCD中，CD＝9，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且EC＝4BE，連接DE，過點(diǎn)E作DE的垂線交AB于點(diǎn)F，若AF＝EF，則線段AF的長(zhǎng)為

.5.已知矩形的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AO＝1，那么BD＝________.6.如圖，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分別過點(diǎn)B，D作BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接BF，DE．（1）求證：四邊形BEDF為平行四邊形；（2）分別取DE，BF的中點(diǎn)M，N，連接FM，EN．若AD＝4，求四邊形MFNE的面積．7.如圖，矩形ABCD的邊AB，BC的長(zhǎng)分別為12，5，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，CE＝10，連接AE并取AE的中點(diǎn)F，連接CF，DF，求CF的長(zhǎng)．（提示：延長(zhǎng)DF交BE于點(diǎn)G）二、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，過點(diǎn)C的直線與AB交于點(diǎn)D，且將△ABC的面積分成相等的兩部分，則∠CDA等于()A.30°B.45°C.60°D.75°2.如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，CE⊥AB，BD與CE交于點(diǎn)O，且BE＝CD．下列說法錯(cuò)誤的是（）A.BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)EB.∠BDC＝3∠ABDC.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC是等邊三角形D.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，3.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝DB，CD＝5，AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（）A.8B.6C.4D.24.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別是AC，BD的中點(diǎn)，若∠BEC＝70°，那么∠GHE＝________.5.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，AD，若，則∠B的度數(shù)是

．6.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，BD＝BA，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．(1)求證：EF＝BC；(2)過點(diǎn)C作CG∥EF，交BE的延長(zhǎng)線于G，求證：△BCG是等腰三角形．7.如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的長(zhǎng)．三、矩形的判定1.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＝BD，則下列條件能判定四邊形ABCD為矩形的是()A.AB＝CDB.OA＝OC，OB＝ODC.AC⊥BDD.AB∥CD，AD＝BC2.下列說法不正確的是（）A.有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形B.有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形D.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形3.如圖，建筑公司驗(yàn)收門框時(shí)要求是矩形．在ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，下列驗(yàn)證方法不正確的是（）A.AC＝BDB.AB⊥BCC.OB＝ODD.OA＝OD4.如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使AE＝AB，連接EC，ED，AC，請(qǐng)你添加一個(gè)條件

，使四邊形ACDE是矩形．5.如圖，為了檢查平行四邊形書架ABCD的側(cè)邊是否與上、下邊都垂直，工人師傅用一根繩子比較了其對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)度，若二者長(zhǎng)度相等，則該書架的側(cè)邊與上、下邊都垂直，請(qǐng)你說出其中的數(shù)學(xué)原理__________________________________．6.如圖，已知ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求證：四邊形BECF是矩形．7.在ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．求證：四邊形BFDE是矩形．四、矩形的性質(zhì)和判定的綜合1.如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，連接AC，BD，AC與BD交于點(diǎn)O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，則四邊形ABCD的面積為()A.4B.5C.6D.72.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD＝BC，∠C＝60°，如果△DBC的周長(zhǎng)為m，則AD的長(zhǎng)為（）A.B.C.D.3.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則線段AO的最小值為（）A.5B.3C.2.4D.1.24.如圖，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，則AB與CD之間的距離為__________cm.5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)P為斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，作PF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值為

．6.如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度數(shù).7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從A開始沿折線A－B－C－D以4cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPBC為矩形？

參考答案一、矩形的性質(zhì)1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)F是邊AD上的一點(diǎn)，且DF＝3，連接BF，BF的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)P，連接EF交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)H為邊CD的中點(diǎn)，則AF的長(zhǎng)為（）A.8B.7C.4D.3【答案】C【解析】矩形ABCD中，H是CD的中點(diǎn)，CD=AB＝8，∴CH＝DH＝×8＝4，在△DFH和△CEH中，∠D=∠DCE=90°，∴△DFH≌△CEH（ASA），∴CE＝DF＝3，F(xiàn)H＝EH，在Rt△DFH中，F(xiàn)H＝＝5，∴EF＝2FH＝10，∵EP垂直平分BF，∴BE＝EF＝10，∴BC＝AD＝7．∴AF＝AD﹣DF＝4.2.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若AC＝6，∠AEO＝120°，則FC的長(zhǎng)為（）A.1B.2C.D.【答案】D【解析】∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，∠OBF=30°，BO=12BD=12AC∴BF=2OF，設(shè)OF=x，則BF=2x，由勾股定理，得4x2-x2=32，解得x=3(負(fù)值舍去)，∴CF=3.3.小明同學(xué)在喝水時(shí)發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象：當(dāng)水杯保持某一靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，水面始終與桌面保持平行．如圖所示，矩形ABCD為靜止?fàn)顟B(tài)的某水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯側(cè)面AB與桌面的夾角為54°時(shí)，則∠CBE的度數(shù)為（）A.46°B.36°C.54°D.56°【答案】B【解析】∵BE∥AG，∴∠ABE＝∠BAG＝54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝36°.4.如圖，在矩形ABCD中，CD＝9，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且EC＝4BE，連接DE，過點(diǎn)E作DE的垂線交AB于點(diǎn)F，若AF＝EF，則線段AF的長(zhǎng)為

.【答案】5【解析】如圖，連接DF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝9，AD＝BC，∵AF＝EF，DF＝DF，∴Rt△ADF≌Rt△EDF（HL），∴AD＝DE，∵EC＝4BE，∴設(shè)BE＝x，CE＝4x，∴BC＝5x，∴AD＝DE＝5x，∴CD＝9＝＝＝3x，∴x＝3，∴BE＝3，AD＝BC＝DE＝15，∵EF2＝BE2+BF2，∴AF2＝9+（9﹣AF）2，∴AF＝5．5.已知矩形的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AO＝1，那么BD＝________.【答案】2【解析】在矩形ABCD中，∵對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝1，∴AO＝CO＝BO＝DO＝1，∴BD＝2.6.如圖，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分別過點(diǎn)B，D作BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接BF，DE．（1）求證：四邊形BEDF為平行四邊形；（2）分別取DE，BF的中點(diǎn)M，N，連接FM，EN．若AD＝4，求四邊形MFNE的面積．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥|BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴DF∥BE，∠AFD＝∠BEC＝90°，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四邊形BEDF為平行四邊形．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠DCB＝90°，BC＝DA，∵DF⊥AC，∴∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝2，∴DF＝＝2，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8，∵△ADF≌△CBE（AAS），∴EC＝AF＝2，∴EF＝AC﹣AF﹣EC＝8﹣2﹣2＝4，∴S△DEF＝EF?DF＝×4×2＝4，∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴S△FME＝S△FDE＝×4＝2，同理可得S△FNE＝2，∴四邊形MFNE的面積為S△FME+S△FNE＝4．7.如圖，矩形ABCD的邊AB，BC的長(zhǎng)分別為12，5，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，CE＝10，連接AE并取AE的中點(diǎn)F，連接CF，DF，求CF的長(zhǎng)．（提示：延長(zhǎng)DF交BE于點(diǎn)G）【答案】解：延長(zhǎng)DF交BE于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BE，∠BCD＝90°，AD=BC=5，∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠EGF，∵F是AE中點(diǎn)，∴AF＝EF，∴△ADF≌△EGF（AAS），∴GE＝AD＝5，DF＝FG，∵CE＝10，∴CG＝CE﹣EG＝10﹣5＝5，∵CD＝12，∴DG＝＝13，∵∠DCG＝180°﹣90°＝90°，F(xiàn)D＝FG，∴CF＝DG＝6.5．二、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，過點(diǎn)C的直線與AB交于點(diǎn)D，且將△ABC的面積分成相等的兩部分，則∠CDA等于()A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】C【解析】如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴AC＝AB，又∵過點(diǎn)C的直線與AB交于點(diǎn)D，且將△ABC的面積分成相等的兩部分，∴AD＝BD∴AC＝AD，∵∠A＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴∠CDA＝60°.2.如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，CE⊥AB，BD與CE交于點(diǎn)O，且BE＝CD．下列說法錯(cuò)誤的是（）A.BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)EB.∠BDC＝3∠ABDC.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC是等邊三角形D.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，連接DE，如圖1所示，∵CE⊥AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DE為Rt△AEC斜邊上的中線，∴DE＝AD＝CD＝AC，∵BE＝CD，∴BE＝DE，∴點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，即線段BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)∠ABD＝α，∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠ABD＝α，∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，∵DE＝AD，∴∠A＝∠AED＝2α，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即∠BDC＝3∠ABD，故選B正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，則BE＝12AB∵CE⊥AB，∴CE是線段AB的垂直平分線，∴AC＝BC，∵BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD，∴AB＝AC，∴AC＝BC＝AB，∴△ABC是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，連接AO，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，如圖2所示，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∵當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠OBC=∠OBA＝∠OAB＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBF中，OB＝2OF，∴OA＝OB＝2OF，∴AF＝OA+OF＝3OF，∴S△OBC＝BC?OF，S△ABC＝BC?AF＝BC?OF，∴，故選項(xiàng)D不正確，符合題意．3.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝DB，CD＝5，AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（）A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴，∵CD＝5，∴AB＝10，∵AC＝6，∴．4.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別是AC，BD的中點(diǎn)，若∠BEC＝70°，那么∠GHE＝________.【答案】20°【解析】連接AH和CH，∵H為BD的中點(diǎn)，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴AH＝CH＝BD，∵G為AC的中點(diǎn)，∴HG⊥AC，∴∠HGE＝90°，∵∠GEH＝∠BEC＝70°，∴∠GHE＝180°－90°－70°＝20°，5.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，AD，若，則∠B的度數(shù)是

．【答案】25°【解析】∵∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，∴，∴∵，∴AD＝AE，∵∠D＝50°，∴∠AED＝∠D＝50°，∴．6.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，BD＝BA，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．(1)求證：EF＝BC；(2)過點(diǎn)C作CG∥EF，交BE的延長(zhǎng)線于G，求證：△BCG是等腰三角形．【答案】證明(1)∵BD＝BA，E是AD的中點(diǎn)，∴BE⊥AD，∴△EBC為直角三角形．∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF是直角三角形斜邊上中線，∴EF＝BC；(2)∵CG∥EF，∴∠G＝∠FEB，∵EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠G＝∠CBE，∴GC＝BC，∴△BCG是等腰三角形．7.如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的長(zhǎng)．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，DE＝4，∴AC＝2DE＝8，由勾股定理得CD＝＝＝4，∵AB＝10，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6，∴BC＝＝＝2．三、矩形的判定1.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＝BD，則下列條件能判定四邊形ABCD為矩形的是()A.AB＝CDB.OA＝OC，OB＝ODC.AC⊥BDD.AB∥CD，AD＝BC【答案】B【解析】A.由AB＝DC，AC＝BD無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯(cuò)誤；B．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．故正確；C．由AC⊥BD，AC＝BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯(cuò)誤；D．由AB∥CD，AC＝BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯(cuò)誤．故選B.2.下列說法不正確的是（）A.有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形B.有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形D.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形【答案】D【解析】A，根據(jù)矩形的定義可知：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，正確，故A選項(xiàng)不符合題意；B，根據(jù)矩形的判定可知：有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形，正確，故B選項(xiàng)不符合題意；C，根據(jù)矩形的判定可知：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，正確，故C選項(xiàng)不符合題意；D，根據(jù)菱形的判定可知：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形的說法不正確，故D選項(xiàng)符合題意．3.如圖，建筑公司驗(yàn)收門框時(shí)要求是矩形．在ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，下列驗(yàn)證方法不正確的是（）A.AC＝BDB.AB⊥BCC.OB＝ODD.OA＝OD【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故A不符合題意；∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，且∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故B不符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴OB＝OD，∴由OB＝OD不能驗(yàn)證四邊形ABCD是矩形，故C符合題意；∵OA＝OC，OB＝OD，且OA＝OD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴OA+OC＝OB+OD，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故D不符合題意．4.如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使AE＝AB，連接EC，ED，AC，請(qǐng)你添加一個(gè)條件

，使四邊形ACDE是矩形．【答案】AD＝CE（答案不唯一）．【解析】添加AD＝CE，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∵AE＝AB，∴AE＝CD，∴四邊形ACDE為平行四邊形，又∵AD＝CE，∴平行四邊形ACDE是矩形．5.如圖，為了檢查平行四邊形書架ABCD的側(cè)邊是否與上、下邊都垂直，工人師傅用一根繩子比較了其對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)度，若二者長(zhǎng)度相等，則該書架的側(cè)邊與上、下邊都垂直，請(qǐng)你說出其中的數(shù)學(xué)原理__________________________________．【答案】對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，矩形的四個(gè)角都是直角【解析】這種做法的依據(jù)是對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，故答案為對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，矩形的四個(gè)角都是直角．6.如圖，已知ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求證：四邊形BECF是矩形．【答案】證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣90°＝90°，∴平行四邊形BECF是矩形．7.在ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．求證：四邊形BFDE是矩形．【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴BE∥DF，又∵BE＝DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE是矩形．四、矩形的性質(zhì)和判定的綜合1.如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，連接AC，BD，AC與BD交于點(diǎn)O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，則四邊形ABCD的面積為()A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形，∵AD＝3，AB＝2，∴四邊形ABCD的面積為AD·AB＝2×3＝6，故選C.2.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD＝BC，∠C＝60°，如果△DBC的周長(zhǎng)為m，則AD的長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，如圖所示，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴四邊形ABED是矩形，∴AD＝BE，∵BD＝BC，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝BD＝CD，BE＝BC，∵△DBC的周長(zhǎng)為m，∴BC＝，∴AD＝BE＝．3.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則線段AO的最小值為（）A.5B.3C.2.4D.1.2【答案】D【解析】如圖，連接OD，∵∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，AD與MN互相平分，∵點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，∴A，O，D三點(diǎn)共線，∴AO＝AD，