第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若f(x)=x2，則f′(?1)=(

)A.?2 B.?1 C.1 D.22.下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是(

)A. B.

C. D.3.甲、乙兩人各拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，已知甲擲出的點(diǎn)數(shù)是3，則甲擲出的點(diǎn)數(shù)大于乙擲出的點(diǎn)數(shù)的概率為(

)A.118 B.16 C.134.函數(shù)f(x)=x3?6xA.(?∞,1) B.(1,3) C.(1,+∞) D.(3,+∞)5.袋中有質(zhì)地、大小均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X，則E(X)=(

)A.1.2 B.1.8 C.2 D.36.在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，且PA=AB，則異面直線(xiàn)AB與PD所成角的余弦值為(

)A.24 B.12 C.7.已知隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，則下列錯(cuò)誤的是(

)A.P(A|B)=P(A|B?)B.P(AB)=P(A?B8.已知函數(shù)f(x)=ax?sinx，若f(x)≥0對(duì)x∈[0,π]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,1] B.(0,π] C.[1,+∞) D.[π,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1A.AC1=AB+AD+AA1 B.A10.已知函數(shù)f(x)=(x?1)lnx，則(

)A.f(12)<f(2) B.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增 D.x11.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，U的4個(gè)不同三元子集(含有三個(gè)元素的子集)組成集合B，且B滿(mǎn)足：

①{1,2,3}∈B；

②B中任意兩個(gè)元素的并集是U的真子集，任意三個(gè)元素的并集是U．

任取一個(gè)集合B，記事件D1=“{1,4,5}∈B”，事件D2=“{2,4,6}∈BA.集合B中任意兩個(gè)元素的交集非空 B.P(D2|D1)=12

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，則P(0<X<2)=______．

(附：若X～N(μ,σ2)13.如圖是一個(gè)機(jī)器人手臂的示意圖，該手臂分為三段，分別可用向量a=(2,3,4)，b=(1,?1,3)，c=(4,?1,?3)代表，用向量d代表整條手臂，則|d14.已知函數(shù)f(x)=3|x|3?5x2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E，F(xiàn)分別為棱AB，AA1的中點(diǎn)．

(1)求證：E，C16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex(a∈R)．

(1)若a=0，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)若x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，求17.(本小題15分)

現(xiàn)有兩種腦機(jī)接口技術(shù)(A和B)，用于完成某項(xiàng)意念控制任務(wù).研究人員從我市隨機(jī)抽取了120名志愿者參與試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：技術(shù)類(lèi)型任務(wù)結(jié)果合計(jì)成功失敗技術(shù)A501060技術(shù)B303060合計(jì)8040120(1)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析任務(wù)結(jié)果是否與技術(shù)類(lèi)型有關(guān)；

(2)已知市民甲使用腦機(jī)接口技術(shù)體驗(yàn)該項(xiàng)意念控制任務(wù)，其使用技術(shù)A和B的概率分別為0.6，0.4.將上述試驗(yàn)中使用技術(shù)A，B時(shí)任務(wù)結(jié)果為成功的頻率視為概率，求甲體驗(yàn)的任務(wù)結(jié)果為成功的概率．

附：χ2P(χ2≥0.050.0100.001x3.8416.63510.82818.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2?x

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x19.(本小題17分)

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，使用圓心為O，直徑為20cm的圓形厚紙張進(jìn)行操作：

①在圓周上均勻取六個(gè)點(diǎn)，剪出正六邊形ABCDEF，如圖1；

②剪出菱形ODEF，將剩余部分折成無(wú)底的正四棱錐O?ABCD，如圖2；

③沿OE將菱形ODEF折成空間四邊形ODEF，如圖3．

(1)在圖1中，從以A，B，C，D，E，F(xiàn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段中任取兩條，求這兩條線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)的概率；

(2)在正四棱錐O?ABCD中，求二面角O?BC?A的余弦值；

(3)重復(fù)操作，得到兩個(gè)相同的正四棱錐和兩個(gè)相同的空間四邊形，再將兩個(gè)空間四邊形的邊粘合，得到一個(gè)正四面體．

現(xiàn)將這兩個(gè)正四棱錐的一個(gè)側(cè)面分別與正四面體的一個(gè)面粘合，兩個(gè)正四棱錐的底面中心分別記為O1，O2，求O1與O2間的距離的所有可能取值(紙板厚度忽略不計(jì))答案解析1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(x)=x2，

所以f′(x)=2x，

令x=?1得，f′(?1)=?2．

故選：A．

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再代值計(jì)算即可．2.【答案】A

【解析】解：由題意可知選項(xiàng)A的散點(diǎn)圖可知，相關(guān)關(guān)系強(qiáng)，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；

所以A的相關(guān)性系數(shù)最大．

故選：A．

利用散點(diǎn)圖，直接判斷相關(guān)性系數(shù)的大小即可．

本題考查散點(diǎn)圖的應(yīng)用，相關(guān)性系數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，乙拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，則Ω={1,2,3,4,5,6}，

若甲擲出的點(diǎn)數(shù)是3，甲擲出的點(diǎn)數(shù)大于乙擲出的點(diǎn)數(shù)，

則滿(mǎn)足要求的乙的情況有{1,2}，

故要求概率P=26=13．

故選：C4.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閒(x)=x3?6x2+9x?1的定義域?yàn)镽，

令f′(x)=3x2?12x+9=3(x?1)(x?3)<0，

解得1<x<3．

即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)．

5.【答案】B

【解析】解：袋中有質(zhì)地、大小均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，

易知X的所有可能取值為1，2，3，

所以P(X=1)=C31C22C53=310，P(X=2)=C32C21C53=36.【答案】A

【解析】解：連接AC，BD交于點(diǎn)E，取PB，BC的中點(diǎn)F，G，連接EF，F(xiàn)G，GE，如圖所示：

則EF/?/PD，EG/?/AB，

所以直線(xiàn)AB，PD的夾角為直線(xiàn)EF，EG的夾角∠FEG或其補(bǔ)角．

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AD，AC?底面ABCD，

所以PA⊥AD，PA⊥AC．

設(shè)PA=AB=1，則PD=2，EG=12AB=12，

所以EF=12PD=22．

因?yàn)榱庑蜛BCD，∠ABC=60°，所以AC=1，所以FG=12PC=22．

所以FE=FG，

所以cos∠FEG=127.【答案】D

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.24．

則P(A|B)=P(AB)P(B)=0.240.4=0.6，P(A|B?)=P(AB?)P(B?)=P(A)?P(AB)1?P(B)=0.360.6=0.6，

所以P(A|B)=P(A|B?)，故A正確；

P(A?B?8.【答案】C

【解析】解：由f(x)≥0對(duì)x∈[0,π]恒成立，

即ax?sinx≥0對(duì)x∈[0,π]恒成立，

當(dāng)x=0時(shí)，不等式為0≥0恒成立，

當(dāng)x∈(0,π]時(shí)，即為a≥sinxx恒成立，

設(shè)g(x)=sinxx，x∈(0,π]，

則g′(x)=xcosx?sinxx2，

設(shè)?(x)=xcosx?sinx，x∈(0,π]，

則?′(x)=cosx?xsinx?cosx=?xsinx≤0，

所以函數(shù)?(x)在(0,π]上單調(diào)遞減，

則?(x)<?(0)=0，

即g′(x)<0，

所以函數(shù)g(x)在(0,π]上單調(diào)遞減，

而x∈(0,π]時(shí)，

令y=sinx?x，則y′=cosx?1<0，

所以y=sinx?x在x∈(0,π]上單調(diào)遞減，

所以y=sinx?x<sin0?0=0，

即sinx>x，且x=0時(shí)，sinx=x，

則x→0時(shí)，g(x)=sinxx→1，

所以x∈(0,π]時(shí)，g(x)<1，則a≥1．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)．

故選：C．

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A：如圖，

根據(jù)向量線(xiàn)性定理可知，AB+AD=AC,AC+AA1=AC1，

所以AC1=AB+AD+AA1，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：因?yàn)锽C1/?/AD1，若AD1⊥BD，則BC1⊥BD，

則C1B2+BD2=C1D2，

設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，正四棱柱的高為b，

所以BD2=2a2,C1B2=C1D2=a2+b2，等式不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，連接AC，BD交于O，連接OA1．

則OC//A1O1，OC=A1O1，

所以四邊形OCO1A1為平行四邊形，

所以CO1//OA1．

因?yàn)镺A1?平面A1BD，O1C?平面A1BD，

所以CO1//平面A1BD，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：如圖：

因?yàn)檎睦庵鵄BCD?A1B1C1D1，

所以B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，10.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=(x?1)lnx，x>0，

那么f(2)=ln2，f(12)=?12ln12=12ln2，

因?yàn)閘n2>ln1=0，則f(12)<f(2)，因此選項(xiàng)A正確；

令函數(shù)f(x)=(x?1)lnx=0，解得x=1，因此函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由于y=x?1和y=lnx在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

且x>1時(shí)，x?1>0，lnx>0，

因此f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，因此選項(xiàng)C正確；

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=lnx+(x?1)?1x=lnx+1?1x，則f′(1)=0，

根據(jù)B知，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)1，即f(1)=0，

所以f(x)在(1,0)處的切線(xiàn)方程為y=0，故D正確．

故選：ACD．11.【答案】ABD

【解析】解：設(shè)集合B={A1,A2,A3,A4}，其中A1={1,2,3}，且{4,5,6}?B，

由題意，滿(mǎn)足題意的集合B所有可能情況為：

{A1,{1,4,5}，{2,4,6}，{3,5,6}}，{A1,{1,4,5}，{2,5,6}，{3,4,6}}

{A1,{1,4,6}，{2,4,5}，{3,5,6}}，{A1,{1,4,6}，{2,5,6}，{3,4,5}}，

{A1,{1,5,6}，{2,4,6}，{3,4,5}}，{A1,{1,5,6}，{2,4,5}，{3,4,6}}，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；12.【答案】0.4772

【解析】解：由題可得：μ=0，σ=1，

則P(0?2×1<X<0+2)=P(?2<X<2)=0.9544．

所以P(0<X<2)=12P(?2<X<2)=0.4772．

故答案為：0.4772．

13.【答案】66【解析】解：向量a=(2,3,4)，b=(1,?1,3)，c=(4,?1,?3)，

由題意可知，d=a+b+c=(2,3,4)+(1,?1,3)+(4,?1,?3)=(7,1,4)．

所以14.【答案】(?25【解析】解：當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)=3x3?5x2?ax+1，

導(dǎo)函數(shù)f′(x)=9x2?10x?a．

令f′(x)=0，那么因?yàn)楹瘮?shù)必過(guò)(0,1)點(diǎn)，因此要使得其經(jīng)過(guò)第一、四象限，

那么根的判別式Δ=100+36a>0，解得a>?259．

當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)=?3x3?5x2?ax+1，

導(dǎo)函數(shù)f′(x)=?9x2?10x?a．

令f′(x)=0，那么因?yàn)楹瘮?shù)必過(guò)(0,1)點(diǎn)，所以要使得其經(jīng)過(guò)第二、三象限，

那么根的判別式15.【答案】證明見(jiàn)解析；

13．【解析】(1)證明：連接EF，EC，F(xiàn)D1，A1B，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱AB，AA1的中點(diǎn)，

所以EF/?/A1B，

在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，D1C/?/A1B，所以EF/?/D1C，

所以E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

(2)以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，

所以AC=(?1,2,0)，AD1=(?1,0,1)，EA=(0,?1,0)，

設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n16.【答案】y=x；

a=?1．

【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=xex，則f′(x)=(x+1)ex，

∴f′(0)=1，又f(0)=0，

∴曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y=x．

(2)f′(x)=(x+a+1)ex，

∵x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，

∴f′(0)=a+1=0，即a=?1，

此時(shí)f′(x)=xex，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，

∴函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，故a=?1．

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

17.【答案】有關(guān)；

710．【解析】(1)零假設(shè)H0：任務(wù)結(jié)果與技術(shù)類(lèi)型無(wú)關(guān)，

因?yàn)棣?=120×(50×30?30×10)280×40×60×60=15>10.828，

所以依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷假設(shè)不成立，

即任務(wù)結(jié)果與技術(shù)類(lèi)型有關(guān)；

(2)設(shè)試驗(yàn)中使用技術(shù)A時(shí)任務(wù)結(jié)果為成功為事件A，試驗(yàn)中使用技術(shù)B時(shí)任務(wù)結(jié)果為成功為事件B，

甲體驗(yàn)的任務(wù)結(jié)果為成功為事件C，

則P(C|A)=5060=56，P(C|B)=3060=118.【答案】(Ⅰ)解：f′(x)=2ax?1+1x=2ax2?x+1x(x>0)，

當(dāng)a≥18時(shí)，Δ=1?8a≤0，f′(x)≥0，

f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<18時(shí)，Δ>0，方程2ax2?x+1=0有兩個(gè)不相等的正根，

x1=1?1?8a4a>0，x2=1+1?8a4a>0，

當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)，f′(x)>0，x∈(x1,x2)，f′(x)<0，

a=0時(shí)，令f′(x)>0，解得：x<1，令f′(x)<0，解得：0<x<1，

故f(x)在(0,1)遞增，在(1,+∞)遞減，

a<0時(shí)，Δ>0，方程2ax2?x+1=0有兩個(gè)不相等的正根，

x1=1?1?8a4a>0，x2=1+1?8a4a<0，

故f(x)在【解析】(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù)，討論判別式Δ=1?8a，△≤0，Δ>0，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)且僅當(dāng)0<a<18時(shí)，f(x