9.3.1平面向量基本定理

(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))課時(shí)目標(biāo)1.理解平面向量基本定理及其意義,理解基底、正交分解的概念.2.能推導(dǎo)平面向量基本定理和運(yùn)用平面向量基本定理解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題.CONTENTS目錄123課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通課時(shí)跟蹤檢測(cè)課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)1.平面向量基本定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)______________結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=___________基底把____________的向量e1,e2叫作這個(gè)平面的一組基底不共線的向量λ1e1+λ2e2兩個(gè)不共線2.正交分解由平面向量基本定理知,平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式.我們稱__________為向量a的分解.當(dāng)e1,e2所在直線__________時(shí),這種分解也稱為向量a的正交分解.λ1e1+λ2e2互相垂直|微|點(diǎn)|助|解|1.平面向量基本定理的作用平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.2.基底的性質(zhì)(1)不共線性:平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一組基底.由于零向量與任何向量共線,所以零向量不可以作為基底.(2)不唯一性:對(duì)基底的選取不唯一,平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1,e2線性表示.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底. (

)(2)平面向量的基底不是唯一的. (

)(3)零向量不可作為基底中的向量. (

)×√√

√

4e1+3e24.向量e1,e2不共線,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值為

.3課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通題型(一)對(duì)基底的理解[例1]

(多選)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,則下列四組向量中,能作為平面向量的一組基底的是

(

)A.e1+e2和e1-e2B.e1+2e2和e2+2e1C.3e1-2e2和4e2-6e1D.e2和e2+e1√√√解析:e1+e2和e1-e2沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系,二者不共線,可作為平面向量的一組基底;e1+2e2和e2+2e1沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系,二者不共線,可作為平面向量的一組基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共線向量,不能作為平面向量的一組基底;e2和e2+e1不共線,可作為平面向量的一組基底.|思|維|建|模|判斷所給的兩個(gè)向量能否作為一組基底的方法

由基底的定義可知,要判斷兩個(gè)向量a,b能否作為一組基底只需判斷兩向量是否共線,而判斷向量是否共線就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作為一組基底的向量必為非零向量.針對(duì)訓(xùn)練

2.已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若a,b能作為一組基底,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

.

解析:若a,b能作為一組基底,則向量a,b不共線.由題可知,若向量a,b共線,則有λ=4,故當(dāng)向量a,b不共線時(shí),λ≠4,即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-∞,4)∪(4,+∞).(-∞,4)∪(4,+∞)題型(二)用基底表示向量

|思|維|建|模|平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)基底進(jìn)行表示,轉(zhuǎn)化時(shí)一定要看清轉(zhuǎn)化的目標(biāo),要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,同時(shí)結(jié)合實(shí)數(shù)與向量積的定義,牢記轉(zhuǎn)化方向,把未知向量逐步往基底方向進(jìn)行組合或分解.針對(duì)訓(xùn)練

√

√

題型(三)平面向量基本定理的應(yīng)用

|思|維|建|模|用向量解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量為基底;(2)將相關(guān)的向量用基向量表示,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;(3)利用向量知識(shí)進(jìn)行向量運(yùn)算,得向量問(wèn)題的解;(4)再將向量問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解.針對(duì)訓(xùn)練

課時(shí)跟蹤檢測(cè)134567891011121314152

√1567891011121314152342.已知e1,e2是不共線的非零向量,則以下向量可以作為基底的是

(

)A.a=0,b=e1-e2B.a=3e1-3e2,b=e1-e2C.a=e1-2e2,b=e1+2e2D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2√156789101112131415234

156789101112131415342

√156789101112131415342

√156789101112131415342

√156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

解析:如圖所示,平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,F是線段DC上的點(diǎn),且DC=3DF,

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

√√√156789101112131415342

156789101112131415342

√156789101112131415342

15678910111213141