10.1.1兩角和與差的余弦(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程,知道兩角差的余弦公式的意義.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3.掌握兩角和與差的余弦公式的正用、逆用、變形用,并能進(jìn)行求值、計(jì)算.兩角和與差的余弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α-β)cos(α-β)==________________α,β∈R兩角和的余弦公式C(α+β)cos(α+β)=___________________α,β∈R|微|點(diǎn)|助|解|兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征(1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一個(gè)角,也可以是幾個(gè)角的組合.如cosα+β2-α-β2中的(2)cos(α-β)=cosα-cosβ一般不成立,但在特殊情況下也可能成立.例如:當(dāng)α=0°,β=60°時(shí),cos(0°-60°)=cos0°-cos60°.(3)要掌握公式的逆用,如cos(α+β)cosβ+sin(α+β)·sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)存在角α,β,使cos(α-β)=cosα+cosβ.()(2)對(duì)于任意角α,β,總有cos(α-β)=cosα-cosβ.()(3)對(duì)于任意角α,β,總有cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()(4)存在角α,β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.()2.cos72°cos12°+sin72°sin12°=()A.-12 B.1C.-32 D.3.不滿足sinαsinβ=22-cosαcosβ的一組α,β值的是()A.α=π2,β=π4 B.α=2π3,C.α=2π3,β=π12 D.α=π4,4.化簡(jiǎn)cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.題型(一)給角求值[例1]求下列各式的值:(1)cos63°sin57°+sin117°sin33°;(2)sin245°sin125°+sin155°sin35°;(3)12cos15°+32聽課記錄:|思|維|建|模| 解決給角求值問題的策略(1)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,如果整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進(jìn)行各局部的變形.(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式,化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值,化分子、分母形式進(jìn)行約分.[針對(duì)訓(xùn)練]1.若a=(cos100°,sin100°),b=(cos10°,sin10°),則a·b=()A.cos110° B.sin110°C.1 D.02.(1)cos105°=;

(2)cos5π12cosπ6+cosπ題型(二)給值(式)求值[例2]已知α,β為銳角,且cosα=45,cos(α+β)=-1665,求cosβ的值.聽課記錄:|思|維|建|模|給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,即拆角與湊角.(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的,因此在解題過程中要根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見角的變換:①α=(α-β)+β;②α=α+β2+α-β2;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-[針對(duì)訓(xùn)練]3.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,則cos(α-β)=()A.-3m B.-m3C.m3 D.34.已知cos(2α-β)=-22,sin(α-2β)=22,且π4<α<π2,0<β<π4,求cos(α題型(三)給值求角[例3]已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2,求β的值聽課記錄:[變式拓展]將本例中條件“cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2”換為“cos(α+β)=-1114,且α,β∈0,π2”|思|維|建|模|已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍.(2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.[針對(duì)訓(xùn)練]5.已知0<α<β<π2,cos2α+cos2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β),則()A.α+β=π6 B.α+β=C.β-α=π6 D.β-α=10.1.1兩角和與差的余弦?課前預(yù)知教材cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβ[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.選Bcos72°cos12°+sin72°sin12°=cos(72°-12°)=cos60°=123.選C因?yàn)閟inαsinβ=22-cosαcosβ,所以cos(α-β)=22.對(duì)于A,cos(α-β)=cosπ4=22,符合題意;對(duì)于B,cos(αcosπ4=22,符合題意;對(duì)于C,cos(α-β)=cos7π12=cosπ3+π4=12×22-32×22=2-cos(-π4)=22,4.解析:cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=cos[(α+β)-α]=cosβ.答案:cosβ?課堂題點(diǎn)研究[例1]解:(1)原式=cos63°cos33°+sin63°·sin33°=cos(63°-33°)=cos30°=32(2)原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin35°=-cos25°cos35°+sin25°sin35°=-cos(25°+35°)=-cos60°=-12(3)原式=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=22[針對(duì)訓(xùn)練]1.選Da·b=cos100°cos10°+sin100°sin10°=cos(100°-10°)=cos90°=0.2.解析:(1)原式=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=12×22-32×2(2)原式=cos5π12cosπ=cos5π12-π6答案:(1)2-64([例2]解:∵0<α<π2,0<β<π∴0<α+β<π.由cos(α+β)=-1665得sin(α+β)=1-co=1--1665又∵cosα=45,∴sinα=3∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1665×45+6365×[針對(duì)訓(xùn)練]3.選A法一因?yàn)閏os(α+β)=m,所以cosαcosβ-sinαsinβ=m,而tanαtanβ=2,所以sinαsinβ=2cosαcosβ,故cosαcosβ-2cosαcosβ=m,即cosαcosβ=-m,從而sinαsinβ=-2m,故cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故選A.法二設(shè)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=t,因?yàn)閏os(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=m,所以cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβ4.解:因?yàn)棣?<α<π2,0<β<所以π4<2α-β<π,-π4<α-2β<因?yàn)閏os(2α-β)=-22,所以sin(2α-β)=2因?yàn)閟in(α-2β)=22,所以cos(α-2β)=2所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-22×22+22×[例3]解:由cosα=17,0<α<π得sinα=1-cos2α=1-由0<β<α<π2,得0<α-β<π又∵cos(α-β)=1314∴sin(α-β)=1-co=1-13142由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×∵0<β<π2,∴β=π[變式拓展]解:∵α,β∈0,π2且cosα=17,cos(α+β)=-1114,∴α+β∈π2,π,sin∴sin(α+β)=1-cos2(又∵β=(α+β)-α,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1114×17+5314又∵β∈0,π2,∴β=[針對(duì)訓(xùn)練]5.選D由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),則cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-