摘要：解題研究是數(shù)學(xué)教師的基本素養(yǎng)與能力，也是教學(xué)研究的重要組成部分。教師在中關(guān)鍵詞：雙減，解法，結(jié)構(gòu)，核心素養(yǎng)12如圖1，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，且BE＝2AE，過點(diǎn)EFM則MN的長為（ 條件分 四邊形ABCD是邊長為3的正方形，且BE＝2AE，則BE=2，AE=1，接著由勾股定理算出DE= MN的長MNBCBM

AE,NCEN 圖2

分析：本題的證明分兩步：第一步將△DCND90°得到△DAK3，從而得AK=CN；第二步證明△DKE≌△DEN，KE=EN4EN=AE+NC.DE、DNK、AK,QCKQAK,QCKQ之間的數(shù)量關(guān)系，現(xiàn)在把△DAC從正方形6，接下來將△DAKD90°得到△DCK′7， QK′=QK.，易知∠QCK'＝90°，所以QC2+CK′2＝QK′2,CQK′=QK

CC 圖18149ABCD 證法一思路：如圖10，取AB的中點(diǎn)G,連接EG.易知AG=GB=BE=EC=AB= ∴△GBEBGE＝45°,∴∠AGE＝135°易證∠1=∠2，ASA△AGE≌△ECF，11GBG=BEGEGCFEAE=EF.tan∠2，F(xiàn)H=BE，接著可以證明△ABE≌△EHF

圖

1：13，ABCD∴，∴，解得BM＝，作FH⊥BG交于點(diǎn)H，作FK⊥BC于點(diǎn)∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90BHFK設(shè)FH＝a，則BH＝a，∴，解得a＝1；

∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2CN＝b∴，解得b＝，即CN＝∴，∴，解得BM＝∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝ P

P2：14FFP⊥BG,BGDCPa， 即tan∠1=

ABCD

，解得a 2∴CH=BP=FP=1,HF=HP-FP=3-又∵CN∥HF，BM

，BM=EB NC=3BM=2，NC=3,BM=2，MN=BC-CN-BM3-3-2=5 3：15FFP⊥BG,∵BF平分∠CBG,且∠CBG＝90°，∴∠FBP=∠BFP=45°，∴FP=BP（a， ∴∠1=∠2，即tan∠1=

∵正方形ABCD的邊長為3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，∴

，解得a∴DE=EF,ABCD∴EN=1+3-x=4-x，Rt△EBN

2∴22+x2=(4-x)2,x=3CN=3，易證△ADE∽△BEMADAE,3=1 ∴BM=2,MN=BC-CN-BM=3-3-2=5 4:16FFH⊥BG,FEDAP1FH=BH=1DP∥FH

AP=AE ∴AP=

AP= 2

∵DP∥FH∥BN

=由平行可得到 3

FNM∽△FDP，MN=FN=1MN=1MN5 H

所以∠HDE=∠BDN,從而得到△HDE=△BDN，

=EH,即

3 3所以BN=，由解法1可得BM==,所 MN所以BN=，由解法1可得BM==,所

-25 6：18，F(xiàn)FH⊥BF,BC BH=2，F(xiàn)HBDFE=45°,BM2+HN2=MN2MN=x，1BM=

，∴NH=2-2

x=4-(，解得=，即MN=∴22+(4-x)2= (，解得=，即MN= 7：19MMH⊥DF,H3知曉∠EDN=45°=∠DFE上述解法求出CN=，再在Rt△DAE、Rt△DEF、Rt△DCN中，利用勾股定理，求 ，DN=35，∴NF=DF- 5 ∵tan∠DNC= NH=x,MH=2x

=3

5x+2xx

2 在Rt△HMN中，由勾股定理解得MN= 8：20AABADxy軸，由（4,1，E（1,0，B（3,0，D(0,3) 所以可求出直線DF的解析式為y=-x+3，直線EF的解析式為y=x- 當(dāng)x=3時(shí)，y=1′3-1=