1.2.2極坐標和直角坐標的互化（檢測教師版）時間:50分鐘總分：80分班級：姓名：選擇題（共6小題，每題5分，共30分）1、將點M的極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(π,3)))化為直角坐標是()A．(5,5eq\r(3)) B．(5eq\r(3)，5)C．(5,5) D．(－5，－5)【答案】A【解析】x＝ρcosθ＝10coseq\f(π,3)＝5，y＝ρsinθ＝10sineq\f(π,3)＝5eq\r(3).2、點M的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則點M的極坐標可以為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－\f(π,2)))【答案】C【解析】∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\f(π,2)，且θ＝eq\f(π,2)，∴M的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(π,2))).3、將點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為()A．(π，0) B．(π，2π)C．(－π，0) D．(－2π，0)【答案】A【解析】x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為(π，0)．故選A。4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是()A．關(guān)于極軸所在直線對稱B．關(guān)于極點對稱C．關(guān)于過極點垂直于極軸的直線對稱D．兩點重合【答案】A【解析】因為點(ρ，θ)關(guān)于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)．由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關(guān)于極軸所在直線對稱．【答案】B6、在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－eq\r(3))．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(4π,3)))【答案】A【解析】極徑ρ＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，極角θ滿足tanθ＝eq\f(－\r(3),1)＝－eq\r(3)，∵點(1，－eq\r(3))在第四象限，∴θ＝－eq\f(π,3).故選A。填空題（共4小題，每題5分，共20分）8、平面直角坐標系中，若點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,2)))經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))后的點為Q，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于________．【答案】3【解析】∵點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,2)))經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))后的點為Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(7π,6)))，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于6eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(7π,6)))＝3.9．已知點P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當ρ>0，θ∈[0,2π)時，點P的極坐標為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4)))【解析】∵點P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，∴x＝－2，且y＝－2，∴ρ＝eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(2)，又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝eq\f(5π,4).因此點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4))).10、已知極坐標系中，極點為O,0≤θ＜2π，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4π,3)))【解析】如圖所示，|OM|＝3，∠xOM＝eq\f(π,3)，在直線OM上取點P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝eq\f(π,3)，∠xOQ＝eq\f(4π,3)，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.三、解答題（共3小題，每題10分，共30分）11、(1)已知點的極坐標分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，π))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(π,2)))，求它們的直角坐標．(2)已知點的直角坐標分別為A(3，eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(5),3)))，C(－2，－2eq\r(3))，求它們的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)．【答案】（1）Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，B(－1，eq\r(3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，D(0，－4)．(2)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，\f(3π,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4π,3))).【解析】(1)根據(jù)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，B(－1，eq\r(3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，D(0，－4)．(2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，\f(3π,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4π,3))).12．在極坐標系中，已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，B(2，π)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3))).(1)判斷△ABC的形狀；(2)求△ABC的面積．【答案】(1)等邊三角形．（2）3eq\r(3).【解析】(1)如圖所示，由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，B(2，π)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)))，得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，