高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.6.1直線與直線垂直第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標闡釋思維脈絡(luò)1.理解異面直線垂直的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解異面直線所成角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.會求給定兩條異面直線所成的角.(數(shù)學(xué)運算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AA1垂直的棱有幾條?你是如何判斷它們是相互垂直的?知識點撥知識點、異面直線所成的角(或夾角)異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)異面直線互相垂直如果兩條異面直線所成的角是直角,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直,記作a⊥b范圍空間兩條直線所成的角α的取值范圍是0°≤α≤90°要點筆記由異面直線互相垂直的定義可得如下結(jié)論:一條直線垂直于兩條平行線中的一條,也垂直于另一條.微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為

.答案65°解析∵B1C1∥BC,∴∠AEB為異面直線AE與B1C1所成的角.∵∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究求異面直線所成的角例題如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線平行,最后在三角形中求角.解(方法一)如圖①,連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,A1G,C1G,則OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點,∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.①

∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.②

(方法三)如圖③,在原正方體的右側(cè)補上一個全等的正方體,連接B1Q,則B1Q∥EF.于是∠DB1Q為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.通過計算,不難得到:B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90°.③

反思感悟異面直線所成角的求解策略(1)求兩條異面直線所成角的一般步驟是:①構(gòu)造:恰當?shù)剡x擇一個點(線段的端點或中點),用平移法構(gòu)造異面直線所成的角;②證明:證明①中所作出的角就是所求異面直線所成的角或其補角;③計算:通過解三角形等知識,求出①中所構(gòu)造的角的大小;④結(jié)論:假如所構(gòu)造的角的大小為α,若0°<α≤90°,則α即所求異面直線所成角的大小;若90°<α<180°,則180°-α即所求.(2)作出異面直線所成的角,可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線);②中位線平移法;③補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).延伸探究若把“直線DB1”換為“直線DC1”呢?解如圖,連接A1C1,A1D.在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D為直線DC1與EF所成的角.在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直線DC1與EF所成的角等于60°.素養(yǎng)形成異面直線的判斷典例如圖所示,點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,并且是所在棱的中點,則直線PQ與RS是異面直線的是(

)答案C解析A,B中,PQ與RS互相平行;D中,由于PR平行且等于

SQ,則四邊形SRPQ為梯形,故PQ與RS相交;C中,PQ與RS既不平行,又不相交,故選C.方法點睛利用異面直線的定義和正方體的性質(zhì),逐一分析各個圖形中的2條直線,即可把滿足條件的圖形找出來.當堂檢測1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,與棱AB垂直的棱有(

)A.2條 B.4條 C.6條 D.8條答案D解析在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,與棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8條.故選D.2.(2021全國高一課時練習(xí))設(shè)a,b,c是三條直線,且c⊥a,c⊥b,則a和b(

)A.平行 B.相交C.異面 D.以上都有可能答案D解析如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若DD1=c,D1C1=a,A1D1=b,則a和b相交;若DD1=c,D1C1=a,AD=b,則a和b異面;若DD1=c,D1C1=a,DC=b,則a和b平行.所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面.故選D.3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AC和BC1所成角的大小為(

)答案A解析連接AD1,CD1,∵BC1∥AD1,∴∠D1AC即為異面直線AC與BC1所成的角.又AD1=AC=CD1,4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線B1D1與CD所成角的大小是

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答案45°