高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市某校2025屆高三下學(xué)期全真模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知集合A=｛x||x-1|≤1},B={x|x2-x-2<0}A．｛x|0<x<2} B．C．｛x|0≤x<2} D．【答案】C【解析】根據(jù)題意|x-1|≤1?-1≤x-1≤1?0≤x≤2，則A=xx2-x-2=x+1故A∩B=x|0≤x<2故選：C.2．若復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3iA．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【解析】∵(1+2i∴z則z=2+i，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2,1故選：A.3．已知向量a=(1,2),b=(2,x2)，則“(a+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題設(shè)a+b=(3,2+若(a+b)//(a所以“(a+b)//(a-b故選：B4．若(1-x)7=a0+A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【解析】因?yàn)?1-x)7當(dāng)x=0時(shí)，1-07當(dāng)x=1時(shí)，0=a0+當(dāng)x=-1時(shí)，27=a①+②=2a所以a0所以a2故選：C.5．邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，則PM?PN的最大值是（A．-14 B．0 C．14【答案】C【解析】如下圖所示：設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓圓心為O，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，MN為圓O的一條直徑，則PM?當(dāng)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)重合時(shí)，OPmax因此，PM?故選：C6．已知數(shù)列an滿足an+1=an+aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意可得an+1則可得a2a3??a10將以上等式左右兩邊分別相加得，a10-a又a10=130，所以故選：D.7．已知拋物線C:y2=4x，其準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過M(3,0)的直線PQ與l和C從左到右依次相交于A，P，Q三點(diǎn)，且|FQ|=10，則△FAP和△FAQA．14 B．15 C．16【答案】B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)Q在第一象限，如圖所示，由題可知，l:x=-1，F(xiàn)(1,0)，所以|FQ|=xQ+1=10?又yQ>0，所以yQ此時(shí)kPQ=k與拋物線聯(lián)立得y2-4y-12=0，所以yP所以P(1,-2)，易得A(-1,-4)，所以AQ=100+100=10S△FAP故選：B.8．已知曲線S:y=3x-x3，則過點(diǎn)P2,2可向SA．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【解析】設(shè)在曲線S上的切點(diǎn)為t,3t-t3，∵y=3x-x所以，曲線S在點(diǎn)t,3t-t3處的切線方程為將點(diǎn)P2,2的坐標(biāo)代入切線方程得t3-3解得t1=1，t2因此，過點(diǎn)P2,2可向S引切線，有三條故選：C.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．殘差絕對(duì)值越小，模型的擬合效果越好B．若隨機(jī)變量X~B(3,23C．?dāng)?shù)據(jù)2，3，5，8，13，21，34的第80百分位數(shù)是21D．一組數(shù)x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均數(shù)為a【答案】AC【解析】對(duì)于A，由一元線性回歸模型的知識(shí)知，決定系數(shù)R2即模型的擬合效果越好，A正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量X~B(3,23)，得D(X)=3×23對(duì)于C，由7×80%=5.6，得第80百分位數(shù)是21，對(duì)于D，a=x1+x2即平均數(shù)不變，而原來的數(shù)據(jù)的方差為s0新數(shù)據(jù)的方差為s2當(dāng)x1,x2,?,x故選：AC10．已知f(x)=sin2x+πA．f(x)在區(qū)間kπB．將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π3個(gè)單位長度后得到曲線C，則曲線CC．若f(x+φ)是偶函數(shù)，則φ=D．若f(ωx)(ω>0)在區(qū)間[0,π]上恰有3【答案】ACD【解析】對(duì)于A：x∈kπ-5π12,k對(duì)于B：曲線C的解析式為f(x-π3)=對(duì)于C：f(x+φ)=sin則2φ+π3=π2對(duì)于D：f(ωx)=sin2ωx+π3(ω>0)所以f(ωx)(ω>0)在區(qū)間[0,π]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于y=sint在所以3π≤2ωπ+π3故選：ACD.11．已知函數(shù)f(x)（x∈R）是奇函數(shù)，fx+2=f-x且f1=2，A．f2023=2 B．fC．f'x是偶函數(shù) D【答案】BC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，f(x+2)=f(-x)，所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即：f(x+4)=f(x)，故f(x)的周期為4，所以f'(x+4)=f'(x)，故ff(2023)=f(4×505+3)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，所以-f'(-x)=-所以f'(x)為偶函數(shù)，故因?yàn)閒(x+2)=f(-x)，所以f'令x=-1，可得f'(1)=-f'(1)，解得：故選：BC.三、填空題12．設(shè)長均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB【答案】3【解析】如圖：因?yàn)锽B1=2MB1,AN=NB，所以則VM-NBC1=VC1-MNB=VC-MNB所以a=3.故答案為：313．如圖，單位圓被點(diǎn)A1,A2,???,A12分為12等份，其中A1(1,0)，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若sinα=sin【答案】A【解析】由題可知相鄰點(diǎn)的夾角為π6∵sinα=sin(α+π3)又正弦值要相等，即關(guān)于y軸對(duì)稱，故符合的對(duì)稱點(diǎn)有A3所以角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)為A3故答案為A314．設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠【答案】3【解析】由題意得F1由正弦定理得2R=F1F由橢圓定義可知，PF故S△P又S△P由余弦定理得cos∠即4a2-2故a+cr=解得r=3因?yàn)镽=3r，所以2c3=3×3故答案為：3四、解答題15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為3，且滿足43（1）求角B．（2）若AC邊上的中線長為52，求△ABC解：（1）由外接圓半徑為3得b=23由43sinB利用正弦定理得：2sinBcos化簡得sinC=2由C為△ABC的內(nèi)角，得sinC≠0，可得cos又B為△ABC的內(nèi)角，所以B=π（2）由正弦定理得：bsin設(shè)D為AC邊上的中點(diǎn)，則AD=3在△BCD中，cos∠BDC=在△ABD中，cos∠ADB=因?yàn)椤螦DB+∠BDC=π，所以cos∠ADB+cos由余弦定理b2=c2+由三角形面積公式得：S△ABC由9=c2+a2-ac，得16．已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m（1）設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.解：（1）．由x=0是f(x)的極值點(diǎn)得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定義域?yàn)?－1，+∞)，．函數(shù)在(－1，+∞)上單調(diào)遞增，且f'(0)=0，因此當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)m≤2，x∈(－m，+∞)時(shí)，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f(x)>0．當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在(－2，+∞)上單調(diào)遞增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一實(shí)根，且．當(dāng)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)時(shí)，f'(x)>0，從而當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得=，，故．綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0．17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M為線段PD的動(dòng)點(diǎn).（1）若直線PB//平面ACM，求證：M為PD的中點(diǎn)：（2）求證：平面ABM⊥平面PAD（3）若平面PAC與平面MAC夾角的余弦值為33，求PMMD（1）證明：如圖所示，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接MO，因?yàn)橹本€PB//平面ACM，且平面PBD∩平面ACM=MO，PB?平面PBD，所以PB//MO，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，所以M為PD的中點(diǎn).（2）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可得AB⊥AD，又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，因?yàn)锳D∩PA=A，且AD,PA?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又因?yàn)锳B?平面ABM，所以平面ABM⊥平面PAD.（3）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且PA⊥平面ABCD，所以AB,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AB=1，可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，則AC=(1,1,0),設(shè)PM=λPD=(0,λ,-λ)(0≤λ≤1)設(shè)平面MAC的法向量為n=(x,y,z)，則n令y=1-λ，可得x=λ-1,z=-λ，所以n=(λ-1,1-λ,-λ)連接BD，由四邊形ABCD為正方形，可得BD⊥AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，又因?yàn)锳C∩PA=A，且AC,PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以向量BD=(-1,1,0)為平面PAC則cosBD,n=BD所以PMMD18．給定橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為a2+b2的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）若點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l1，l2交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N.證明：l1⊥l2，且線段MN的長為定值．（1）解：∵橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為3.∴c=2∴b=a∴橢圓方程為x2∴“準(zhǔn)圓”方程為x2＋y2＝4.（2）證明：①當(dāng)直線l1，l2中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線l1斜率不存在，則l1：x＝±3，當(dāng)l1：x＝3時(shí)，l1與“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn)(3，1)，(3，－1)，此時(shí)l2為y＝1(或y＝－1)，顯然直線l1，l2垂直；同理可證當(dāng)l1：x＝－3時(shí)，直線l1，l2垂直．②當(dāng)l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，其中x0設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓相切的直線為y＝t(x－x0)＋y0，∴由y=t得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.由Δ＝0化簡整理，得(3－x02)t2＋2x0y0t＋1－y0∵x02+y02=4，∴有(3－x02)t2＋2x0y設(shè)l1，l2的斜率分別為t1，t2，∵l1，l2與橢圓相切，∴t1，t2滿足上述方程(3－x02)t2＋2x0y0t＋(x02－∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．綜合①②知，l1⊥l2.∵l1，l2經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，又分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N，且l1，l2垂直．∴線段MN為“準(zhǔn)圓”x2＋y2＝4的直徑，|MN|＝4，∴線段MN的長為定值．19．近年來，全球數(shù)字化進(jìn)程持續(xù)加速，人工智能（ArtificialIntelligence，簡稱AI）已然成為科技變革的核心驅(qū)動(dòng)力，有媒體稱DeepSeek開啟了我國AI新紀(jì)元，某高校擬與某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)合作組織學(xué)生參加與AI知識(shí)有關(guān)的網(wǎng)絡(luò)答題活動(dòng)，為了解男女學(xué)生參與答題意愿的差異，作比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在全體學(xué)生中抽取100人，設(shè)事件A=“學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)”，B=“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)P(A)=（1）根據(jù)已知條件，完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？性別男生女生合計(jì)報(bào)名參加答題活動(dòng)未報(bào)名參加答題活動(dòng)合計(jì)100（2）網(wǎng)絡(luò)答題規(guī)則：答題活動(dòng)不限時(shí)間，不限輪次，答多少輪由選手自行確定；每輪均設(shè)置m(m≥3)道題，選手參與該輪答題，則至少答一道題，一旦答對(duì)一題，則其本輪答題結(jié)束，答錯(cuò)則繼續(xù)答題，直到第m道題答完，本輪答題結(jié)束．已知甲同學(xué)報(bào)名參加答題活動(dòng)，假設(shè)甲每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對(duì)的概率均為1①求甲在一輪答題過程中答題數(shù)量ξ的數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)甲同學(xué)每輪答題對(duì)前兩題中的一道，本輪答題得2分，否則得1分．記甲答題累計(jì)得分為n的概率為Pn(n∈N參考公式與數(shù)據(jù)：χα0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)已知條件得，報(bào)名人數(shù)為100×920=45報(bào)名參加答題活動(dòng)的男生人數(shù)為45×23=30設(shè)男