高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州三校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得，，又，所以．故選：D.2.已知點(diǎn)，則與向量共線的單位向量為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】與共線的單位向量為，即或.故選：D.3.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】依題意可知和的夾角為，所以.故選：D.4.如圖，已知的半徑為4，若劣弧長(zhǎng)為，則劣弧所對(duì)圓周角的正弦的平方為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)劣弧所對(duì)的圓周角為，則其所對(duì)圓心角為，由圓心角等于弧長(zhǎng)除以半徑可知，即，又由，可以解得.故選：C.5.已知矩形的長(zhǎng)，寬.點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與兩點(diǎn)重合），則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，點(diǎn)在線段上，設(shè)，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，則，由，故，所以，由于，所以.故選：A.6.已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點(diǎn)，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)內(nèi)切球與相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由?nèi)切球的表面積為，可得球的半徑，在直角中得，則圓錐的高為，在直角中得，即圓錐的底面半徑為3，所以該圓錐的體積．故選：A．7.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且，則角（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，由正弦定理，得，或.又.故選：B.8.我們知道：的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是為奇函數(shù)．若的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，則（）A.8088 B.4044 C.2022 D.1011【答案】B【解析】若函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，則為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，必有且，解得，所以的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，即有，，，，，所以，，.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，得，得，即，故A正確；對(duì)于B，令，可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD10.如圖，在三棱柱中，，下列結(jié)論中正確的有（）A.平面平面B.直線與所成的角的正切值是C.三棱錐的外接球的表面積是D.該三棱柱各側(cè)面的所有面對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于它所有棱長(zhǎng)的平方和的3倍【答案】ABC【解析】對(duì)于A中，因?yàn)?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，則平面平面，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，則直線與所成的角即為直線與所成的角，設(shè)，在平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，等腰直角三角形，，所以，可得，所以，又由，解得，所以B正確；對(duì)于C中，由于兩兩垂直且相等，故可將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，正方體的外接球就是三棱錐的外接球，半徑是，所以外接球的表面積是，所以C正確；對(duì)于D中，在平行四邊形中，可得，可得，所以，同理可得：，，相加得，所以該三棱柱各側(cè)面的所有面對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于它所有棱長(zhǎng)的平方和的2倍，所以D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.已知函數(shù)，且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需滿足，解得，又因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，即由兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，由，可得，又由，所以，所以函數(shù)與的圖象在上僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)與的圖象在上也僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足或與的圖象相切，即有一解，所以或，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C滿足題意.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量方向的投影向量為_(kāi)_______【答案】【解析】由，得，則，又，為單位向量，則，，所以向量在向量方向的投影向量為.故答案為：13.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍______．【答案】．【解析】已知，，則，所以.因?yàn)楹瘮?shù)（）在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn).正弦函數(shù)的零點(diǎn)為，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.要使函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則.解不等式可得：.的取值范圍是.故答案為：.14.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車(chē)的標(biāo)志而來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，又，則，所以，兩式相加可得，化簡(jiǎn)可得，又，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（且）的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（1）若在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮闹?；?）在（1）的條件下，解關(guān)于的不等式.解：（1）由題知，是的反函數(shù)，，故.當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，均在單調(diào)遞減，于是在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，均在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故，此時(shí)成立.綜上可知：（2）由（1）知，，為定義在的增函數(shù)，根據(jù)，定義域滿足：，解得.由單調(diào)性和可得，，整理得，結(jié)合可知，16.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．已知．（1）證明：．（2）若，，求的面積．解：（1）由，根據(jù)正弦定理可得，，，，由，則，解得或（舍去），所以.（2）由正弦定理可得，即，，解得，由余弦定理可得，則，整理可得，分解因式可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，由，解得，，不合題意；當(dāng)時(shí)，的面積.17.如圖，在四棱錐中，底面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線與平面所成角的大小.解：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，由于分別為的中點(diǎn)，故，且，又，可得，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌?，所以，?（3）因?yàn)榈酌娴酌?，又平面，平?又平面.為的中點(diǎn)，，又平面，平面，直線在平面內(nèi)的射影為直線，故為直線與平面所成的角，由底面底面可得，，為等腰直角三角形，且平分，，所以直線與平面所成的角為.18.已知向量，函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知是銳角三角形，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且，求的取值范圍.解：（1）向量，則函數(shù)，因?yàn)椋?，所?（2）由（1）得，，.由，得，因?yàn)槭卿J角三角形，所以或.①當(dāng)時(shí)，，由可得，由正弦定理得，令，因?yàn)椋?在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即.②當(dāng)時(shí)，，則，與已知矛盾.綜上所述，的取值范圍是.19.函數(shù)的凹凸性的定義是由丹麥著名的數(shù)學(xué)家兼工程師JohanJensen在1905年提出來(lái)的．其中對(duì)于凸函數(shù)的定義如下：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)椋ɑ蜷_(kāi)區(qū)間或，或都可以），若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)數(shù)，均有成立，則稱(chēng)為區(qū)間上的凸函數(shù)．容易證明譬如，都是凸函數(shù)．JohanJensen在1906年將上述不等式推廣到了個(gè)變量的情形，即著名的Jensen不等式：若函數(shù)為其定義域上的凸函數(shù)，則對(duì)其定義域內(nèi)任意個(gè)數(shù)，均有成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（1）若函數(shù)為