高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省承德市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，在正方體的所有棱所在的直線中，與直線異面的共有（）A.4條 B.6條 C.8條 D.2條【答案】B【解析】與有公共點(diǎn)的棱所在的直線不異面，有，，，，，共6條，與直線異面的棱所在的直線有，，，，，，共6條．故選：B.2.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】由題意，得，解得，所以，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．故選：D．3.已知函數(shù)的最小正周期為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，得．所以，由，得，解得．故選：A．4.已知是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，若，，則與的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，，，，，，，，則與的夾角為.故選：C.5.如圖，在等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則有關(guān)的值的說(shuō)法正確的是（）A.為定值16 B.不為定值，有最大值16C.為定值32 D.不為定值，有最小值32【答案】C【解析】在等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)．如圖，取的中點(diǎn)，連接，由題意可知，，則，，所以．故選：C．6.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，則一定是（）A.三邊不全相等的銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】在中，，又，故．由余弦定理得，結(jié)合，得，解得，所以一定是等邊三角形．故選：D．7.已知函數(shù)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B.若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.若在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是D.若在上有最大值，沒(méi)有最小值，則的取值范圍是【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，所以，又，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，，由題意得，解得，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，由題意得，解得，故D正確．故選：B．8.函數(shù)的圖象如圖所示，直線經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由的解析式可知，，中，令得，令得，故，，即，．故的周期．即，解得，故，則，得，．因?yàn)椋裕畡t．，，，，，，，，……，因?yàn)椋裕蔬x：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體C.平行六面體是一種特殊的斜四棱柱D.一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫出的它的直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則原平面圖形的面積是【答案】ABC【解析】對(duì)于A，有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，還需要滿足各個(gè)側(cè)面的交線互相平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若四棱柱的底面是非正方形的菱形，側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)等于底面菱形邊長(zhǎng)，則顯然其四個(gè)側(cè)面都是正方形，而此四棱柱不是正方體，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而側(cè)棱不垂直于底面的四棱柱叫做斜四棱柱，因此平行六面體不一定是斜四棱柱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直觀圖面積為，根據(jù)直觀圖與原圖面積關(guān)系可得，故D正確．故選：ABC．10.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】∵，∴，∴，A對(duì)；，B錯(cuò)；，C對(duì)；，D錯(cuò).故選：AC11.設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)是的重心，則B.若，則點(diǎn)是的垂心C.若點(diǎn)是的垂心，則D.若為的外心，為的垂心，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若點(diǎn)是的重心，則，即，A正確；對(duì)于B，由，得，得，所以為的外心，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若點(diǎn)是的垂心，則，所以，C正確；對(duì)于D，如圖，為圓的直徑，則．又因?yàn)闉榈拇剐模?，所以．同理，所以四邊形為平行四邊形，所以，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值是__________．【答案】【解析】∵，∴而故答案為13.當(dāng)時(shí)，不等式成立，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以．由題意得成立，即，即．因?yàn)殛P(guān)于的對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最小值為7，所以，解得，即的取值范圍是．故答案為：14.在棱長(zhǎng)為3的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體，則截面圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】如圖，畫直線交的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交分別于點(diǎn)，連接，則六邊形即為過(guò)點(diǎn)，，的截面，由為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，得，即，由，得點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即，由，得，，由，得，即，由，得，由勾股定理得，，同理得，所以截面圖形的周長(zhǎng)為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，．（1）以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積；（2）求該三棱柱的外接球的表面積．解：（1）因?yàn)榈酌嫒切蔚娜呴L(zhǎng)分別為，，，所以底面三角形為直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為，，又因?yàn)槿庵膫?cè)棱垂直于底面，其高為，所以．設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則，圓柱體積．所以剩余部分幾何體的體積．（2）由（1）可知，直三棱柱可補(bǔ)形為棱長(zhǎng)分別為，，的長(zhǎng)方體，它的外接球的半徑滿足，即．所以，該直三棱柱的外接球的表面積為16.（1）若，，求的值．（2）已知，，，求的值．解：（1）由，，可得，故，即，解得．（2）因?yàn)?，所以．又．所以．因?yàn)椋?，所以．所以?7.如圖，在中，點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線.（1）用、表示；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故.（2）因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，，，所以存在，使得，即，所以，又因?yàn)椋?、不共線，所以，則，所以，故.18.已知函數(shù)，圖象的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和的圖象的對(duì)稱軸方程；（3）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位得的圖象，若關(guān)于的方程在上只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），，，，因?yàn)閳D象的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，得，所以．（2）令．則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，解得，即的圖象的對(duì)稱軸方程為．（3）由（1）知，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，再向左平移個(gè)單位得的圖象．令，，則，所以，因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)解，由的圖象（如圖）可得，或，所以的取值范圍是.19.已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求的大小；（2）