高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省廊坊市部分高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,則的共軛復(fù)數(shù)=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，所以，得，所以，所以.故選：C.2.設(shè)是直線上兩點(diǎn)，則“到平面的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則兩點(diǎn)到平面的距離相等，但反之不成立，因?yàn)楫?dāng)，分別在平面a的兩側(cè)，且滿足，到平面的距離相等時(shí)，直線l與平面相交．故選：B．3.“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多，某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表.借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的第25百分位數(shù)是（）A.5 B.5.5 C.6 D.6.5【答案】C【解析】由,故第25百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第13人,又，故第25百分位數(shù)是6.故選：C.4.已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】∵向量．∴，∵，∴，解得．故選：C．5.某班級從5名同學(xué)中挑出2名同學(xué)進(jìn)行大掃除，若小王和小張?jiān)谶@5名同學(xué)之中，則小王和小張都沒有被挑出的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記另3名同學(xué)分別為，所以基本事件為，，（a，小王），（a，小張），，（b，小王），（b，小張），（c，小王），（c，小張），（小王，小張），共10種．小王和小張都沒有被挑出包括的基本事件為，，，共3種，綜上，小王和小張都沒有挑出的概率為．故選：B.6.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2張卡片都不是紅色 B.2張卡片不都是紅色C.2張卡片至少有一張紅色 D.2張卡片至多有1張紅色【答案】A【解析】不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則選項(xiàng)A事件“2張卡片都不是紅色”與事件“2張卡片都為紅色”是互斥而不對立，所以正確；選項(xiàng)B事件“2張卡片不都是紅色”與事件“2張卡片都為紅色”是對立事件，所以不正確；選項(xiàng)C事件“2張卡片至少有一張紅色”包含事件“2張卡片都為紅色”，所以事件“2張卡片至少有一張紅色”與事件“2張卡片都為紅色”不是互斥事件，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)D事件“2張卡片至多有1張紅色”與事件“2張卡片都為紅色”是對立事件，所以錯(cuò)誤.故選：A.7.已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線長為2，軸截面為，若為底面圓周上異于的一點(diǎn)，且二面角的大小為，則的面積為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】如圖所示，記為的中點(diǎn)，則垂直于底面，所以，又，所以，取的中點(diǎn)，連接，顯然有，即二面角的平面角為，即，又，，，則，的面積為.故選：A.8.袋子中有紅、黃、黑、白共四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到紅、黃兩個(gè)小球都取到才停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個(gè)小球，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下16組隨機(jī)數(shù)：341332341144221132243331342241244342142431233214由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】組隨機(jī)數(shù)中，滿足條件的有221，132，241，142，這4組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計(jì)恰好抽取三次就停止的概率.故選：C.二、多選題9.若，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以，故A正確；由于無法確定、是否相互獨(dú)立，故無法確定的值，但是，故B錯(cuò)誤；又，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC10.在正方體中，下列直線或平面與平面平行的是（）A.直線 B.直線 C.平面 D.平面【答案】AD【解析】如圖由，且平面，平面，故直線與平面平行，故A正確；直線，與平面相交，故直線與平面相交，故B錯(cuò)誤；由圖，顯然平面與平面相交，故C錯(cuò)誤；由，，且，，故平面與平面平行，故D正確；故選：AD11.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)：戊，重大疾病保險(xiǎn)，各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠，該保險(xiǎn)公司對5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）A.30~41周歲參保人數(shù)最多 B.隨著年齡的增長人均參保費(fèi)用越來越少C.30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)20% D.丁險(xiǎn)種最受參保人青睞【答案】AD【解析】對A：由扇形圖可知，31～41周歲的參保人數(shù)最多，故選項(xiàng)正確；對B：由折線圖可知，隨著年齡的增長人均參保費(fèi)用越來越多，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對C：由扇形圖可知，30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的80%，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對D：由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故選項(xiàng)正確.故選：AD.三、填空題12.求值：__________.【答案】【解析】.故答案為：.13.數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為_________．【答案】4【解析】設(shè)的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為，所以的方差為：.故答案為：4.14.若平面有不共線的五點(diǎn)，記，，，，滿足.，，則的最小值為______．【答案】【解析】由,可得，且，即.作，如圖所示，則，，均為正三角形，且，由，得，化簡可得，，所以在直線上.由圖像可知，，所以，可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓E上，所以.如圖過E作MN垂線垂足為C，交圓E于D點(diǎn)，則顯然，此時(shí)的最小值為.四、解答題15.同時(shí)擲紅、藍(lán)兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，用表示結(jié)果，其中表示紅色骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)，表示藍(lán)色骰子向上一面的點(diǎn)數(shù).（1）寫出該試驗(yàn)的樣本空間；（2）指出所表示的事件；（3）寫出“點(diǎn)數(shù)之和不超過5”這一事件的集合表示.解：（1）該試驗(yàn)的樣本空間，，，，，，，，，（2）所表示的事件為“擲紅、藍(lán)兩顆骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)相同”.（3）事件“點(diǎn)數(shù)之和不超過5”就是集合.16.在中，角的對邊分別為，已知．（1）求和的值；（2）求的面積．解：（1）在中，由，可得．又由及，可得．由余弦定理得，得，由，解得．所以．（2）由（1）知，，所以的面積．17.如圖，四棱柱的底面是正方形，．（1）證明：平面∥平面；（2）證明：平面平面．解：（1）由題意可知：∥，，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，又因?yàn)椤?，，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，且，平面，所以平面∥平面.（2）因?yàn)闉檎叫?，則，因?yàn)?，則，可得，設(shè)，可知為的中點(diǎn)，則，且，平面，可得平面，由平面，所以平面平面.18.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定；兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙每人面試合格的概率都是，且三人面試是否合格互不影響．求：（1）恰有一人面試合格的概率；（2）至多一人簽約的概率．解：（1）記事件A：甲面試合格，事件B：乙面試合格事件C：丙面試合格事件D：恰好有一人面試合格依題意，事件A、B、C相互獨(dú)立.（2）至多一人簽約包括甲簽約乙丙沒有簽約、三人都沒有簽約兩種情況，事件F：甲簽約乙丙沒有簽約，事件G：三人都沒有簽約，事件E：至多一人簽約，因?yàn)镕與G互斥，所以，，，，所以至多一人簽約的概率為．19.為了估計(jì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，現(xiàn)對100個(gè)產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評分（滿分100分），并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.（1）求圖中a的值，并求綜合評分的平均數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層隨機(jī)抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品的概率；（3）已知落在的平均綜合評分是54，方差是3，落在的平均綜合評分為63，方差是3，求落在的總平均綜合評分和總方