高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省三門峽市澠池縣2025屆高三下學期三模數學試卷一、單選題1．已知集合A={x|x≤1},B=x∣2A．-12,1 B．[-1,1] C．[-1,-【答案】C【解析】由A=x-1≤x≤1，B=x所以A∩B=-1,-故選：C.2．若復數z滿足|z+i|+|z-i|=2，那么A．1 B．2 C．2 D．5【答案】B【解析】設復數i、-i在復平面內對應的點分別為A(0,1),B(0,-1)復數z=a+bi(a,b∈R由|z+i|+|z-i|=2可知：復數z在復平面內對應的點到兩點而AB=2，所以點Z(a,b)在線段AB上，故a=0,b∈則|z-1|=|bi當b=±1時，|z-1|的最大值為2.故選：B.3．已知某圓臺的側面展開圖是如圖所示的扇環(huán)AB-A1B1，且A1B1，AB的弧長分別為2A．723π B．733π【答案】C【解析】由題設，圓臺上下底面半徑分別為r=1,R=2，高h=A所以圓臺的體積V=1故選：C4．在銳角△ABC中，AB=AC，M是AB的中點，CM=54，過點C做AB的垂線，垂足是H，CH=12，則A．106 B．56 C．22【答案】B【解析】令b=AC,c=AB，則b=c，由題設，有HM=CM2所以AM=AH-HM?c2=所以12b2-4b-5=(6b-5)(2b+1)=0，可得故選：B5．若單位向量a，b滿足a-b=3，則A．-1 B．-12 C．1 D【答案】B【解析】因為a，b是單位向量，則a=1，b又a-b=解得a?故選：B.6．對于任意的x∈R，不等式ex+x-a-lnaA．1e B．12 C．1 D【答案】C【解析】令fx=ex+x-a-lna所以當x∈-∞,lna時，f令gx=x2-因為不等式ex所以當x∈-∞,lna時，g由零點存在性定理可知glna=令ha=ln當0<a<1時，h'a>0，h當a>1時，h'a<0，h所以hamax=h所以lna=0，解得a=1故選：C7．已知數列an的前n項和是Sn，若Sn=(-1)n+1aA．-1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】數列an的前n項和是Sn，若Sn則當n≥2時，Sn-1兩式相減可得an當n=2027時，a2027=a當n=2026時，a2026=-故選：D.8．設l，m是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若l//α，m//α，則l//m B．若lC．若l⊥α，m⊥α，則l//m D．若α⊥γ，β⊥γ，則α//β【答案】C【解析】對選項A，若l//α，m//α，則l與m對選項B，若l//α，l//β，則α與β對選項C，若l⊥α，m⊥α，則根據線面垂直的性質得l與m的位置關系是平行，故C正確.對選項D，若α⊥γ，β⊥γ，則α與β的位置關系是平行和相交，故D錯誤.故選：C二、多選題9．如果存在正實數a，使得f(x+a)為奇函數，f(x-a)為偶函數，我們稱函數f(x)為“和諧函數”，則下列四個函數，是“和諧函數”的是（

）A．f(x)=sinx BC．f(x)=sinx-cos【答案】CD【解析】因為f(x+a)為奇函數，故f(-x+a)+f(x+a)=0，故fx圖象的對稱中心為a,0因為f(x-a)為偶函數，故f(-x-a)=f(x-a)，故fx圖象的對稱軸為x=-a對于A，f(x)=sinx的對稱軸為a=kπ而f(-a)=±1≠0，故-a,0不是對稱中心，故A錯誤；對于B，f(x)=cosx的對稱中心的橫坐標為a=kπ而f(-a)=0≠±1，故x=-a不是對稱軸，故B錯誤；對于C，f(x)=2sinx-π4而f(-π4)=-2，故對于D，因為f(3π8)=0而f(-3π8)=-1，故函數圖象有一個對稱軸x=3π故選：CD.10．平面上到兩個定點的距離的積為定值的動點軌跡一般稱為卡西尼卵形線，已知曲線E為到定點F1(-3,0),F2(3,0)A．曲線E關于原點對稱 B．△PF1C．其中x的取值范圍為[-7,7] D【答案】ABC【解析】對于A，依題意得x+32+將-x,-y代入上式，方程不變，所以曲線E關于原點對稱，故A正確；對于C，由x2+y由y2≥0，得12x2+16解得-7≤x≤7對于D，令t=12x2所以y2=t-t2-1612-3=-所以y2≤43，故對于B，由以上可知y的最大值為233，又△PF所以△PF1F2的面積的最大值為1故選：ABC.11．已知隨機事件A，B滿足PA=12，PBA．PB=1C．PA+B=19【答案】AC【解析】由題設PB=1-P(B)=1PA+BPA|所以A、C對，B、D錯.故選：AC三、填空題12．已知O為坐標原點，已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2，點P在C上，點Q滿足PQ=4QF【答案】1【解析】由題意得拋物線y2=2px的焦點為FP因為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離為且該拋物線焦點到準線的距離為p2所以該拋物線的方程為y2如圖，設Qx0,所以P5x0-4,5y即x0=25y0當y0=0時，kOQ=0；當當y0>0時，當且僅當25y0=綜上，直線OQ的斜率的最大值為12故答案為：1213．若1x-2xn的展開式的二項式系數之和為64【答案】60【解析】由題可得2n=64，解得所以展開式的通項為Tr+1令32r-3=0，解得所以常數項為T3故答案為：60.14．如圖，某香包掛件是正三棱錐形狀，其底面邊長和側棱長均為4cm，若將此棱錐放在一球形容器內可任意轉動，則該球形容器表面積的最小值為．【答案】24【解析】如圖，設該香包掛件的直觀圖為正三棱錐P-ABC，其底面的中心為H，則PH為正三棱錐P-ABC的高，由題可知在正三角形ABC中，AB=AC=BC=4，所以CD=42-因為PC=4，所以PH=P由題可知正三棱錐P-ABC的外接球即為所求，易知正三棱錐P-ABC外接球的球心Q在直線PH上，設其外接球的半徑為r，則PQ=CQ=r，QH=4在直角△QCH中，由勾股定理，得QH即463-r故外接球的表面積為S=4π該球形容器表面積的最小值為24π故答案為：24π四、解答題15．已知a,b,c分別為△ABC的內角A,B,C的對邊，且ca（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面積為2，求b+c.解：（1）在△ABC中，由余弦定理得，cosB=代入ca則ca?即a2即sinA=因為A∈0,π，所以tan（2）因為△ABC的面積為2，所以12bcsin又因為a2=b2+c2則b+c2=16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PAB為正三角形，且側面PAB⊥底面ABCD，M為PD的中點．（1）求點P到直線BM的距離；（2）求平面PAC與平面PAD的夾角的余弦值．解：（1）取AB的中點O，連接PO，如圖，在正三角形PAB中，則PO⊥AB，因為側面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，在平面ABCD內過點O作Oy⊥AB，則射線OB,Oy,OP兩兩垂直，以點O為坐標原點，射線OB,Oy,OP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則B1,0,0所以AD=設直線BM與BP所成角為θ，則cosθ=BP?所以點P到直線BM的距離為BP?（2）設平面PAD的法向量為m=則m?AD=2y1設平面CAP的法向量為n=則n?AC=2x2所以cosm所以平面CAP與平面PAD的夾角的余弦值為2717．已知函數fx=xx-a2在（1）求a的值；（2）求b的取值范圍．解：（1）首先對f(x)=x(x-a)f'因為f(x)在x=1處有極大值，所以f'(1)=0，即(1-a)(3-a)=0，解得a=1或當a=1時，f'令f'(x)=0，可得x=1或當x<13時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；當13<x<1所以x=1是極小值點，不符合題意，舍去.當a=3時，f'令f'(x)=0，可得x=1或當x<1時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；當1<x<3時，f所以x=1是極大值點，符合題意.綜上，a=3.（2）由（1）可知f(x)=x(x-3)2，則g(x)=x(x-3)對g(x)求導可得：g'因為g(x)在定義域內單調遞增，所以g'(x)≥0在(0,4)上恒成立，即(x-3)(3x-3)+4bx(4-x)化簡不等式可得：3(x-1)(x-3)+4bx(4-x)≥0，3(令h(x)=3x2-12x+9，對其進行配方可得h(x)=3(x-2)2-3，其對稱軸為x=2，在則-3+4bx(4-x)≥0在(0,4)上恒成立，即4bx(4-x)因為x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2當且僅當x=2時取得最值，與前面h(x)=3x2那么4b≥3x(4-x)在(0,4)上恒成立，即4b≥[3x(4-x)]因為3x(4-x)=-3x2+12x=-3(x-2)2+12，所以18．某無人機公司新研發(fā)了一款無人機，在大型活動中使用時需要提前進行演練.該公司從生產的一批無人機中抽取了kk≥5,k∈N*個，分別編號為1、2、3、?、k，不同的編號可以組成不同的演練模型.現從中選取nn=2,3,???,k個無人機組合為一種演練模型，則一共可以組合成m（1）當k為何值時，模型最佳？并求出此時fk（2）若k=7，求n≥4時的概率；（3）現任意抽取一個無人機試飛，每次成功的概率是p0<p<1.若試驗成功，則試驗結束；若不成功，則繼續(xù)試驗，直至第n次（無論成功與否都結束試驗）.設X為試驗結束時，進行試驗的次數，X的數學期望為EX，證明：（1）解：依題意有m=C所以fk又k≥5，所以fk+1-fk所以函數fk在5,+于是當k=5時，fk取最大值，且fk（2）解：當k=7時，m=2所以當n≥4時，其概率Pn≥4所以n≥4時的概率為815（3）證明：由題知，X的分布列為X123???n-1nPp(1-p)p(1-p)2p???(1-p)n-2p1-p故EX=p+2p又因為1-pEX=p1-p由①-②得pEX=p+p=p?因為0<p<1，所以EX=1-19．已知數列an，記集合T=（1）對于有限數列3，7，2，9，寫出集合T；（2）若an=2n，是否存在i,j∈N*，使得S(i,j)=2024？若存在，求出一組（3）若an=2n-2，把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數列為b1,b解：（1）由題，設a1a1+a2=10a1+a2+所以T=9,10,11,12,18,21（2）假設存在i,j∈N*，使得則2024=a因為i+j+j-i=2j為偶數，所以i+j與j-i奇偶性相同，則i+j又因為i+j≥3，j-i+1≥2，所以2024必等于奇數因子（大于等于3）和偶數因子（大于等于3）的乘積，又2024=8×253=11×184=23×88，i+j-j-i+1即i+j=253j-i+1=8，解得i=123或i+j=184j-i+1=11，解得i=87或i+j=88j-i+1=23，解得i=33所以存在i,j∈N*，使得（3）Si,j先證明正整數中所有的奇數與2tt∈N因為i+j-2+所以Si,j而奇數沒有偶數因子，2tt∈N其次證明除奇數與2tt∈N若正偶數h=2t2k+1，其中t,k∈N*則i+j-2=2tj-i+1=2k+1，解得i=t-k+1或i+j-2=2k+1j-i+1=2t，解得i=k-t+2故存在i,j∈N*，使得由前面可知正整數2,4,8,16,32,64,128,256,512以及奇數不是集合