2025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（全國(guó)通用）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，則（

）.A． B．C． D．2．在某次全市高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了6名同學(xué)的第一個(gè)解答題的得分情況如下：7，10，5，8，4，2，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和分位數(shù)分別為（

）A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，43．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：，且＝2，那么＝（

）A．2 B．10 C．11 D．565．已知，則（

）A．2 B．1 C． D．6．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)7．工匠們要用一球體雕刻出一正三棱臺(tái)，正三棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在該球體的球面上，且要求雕刻出的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，則所用球體的半徑為（

）A．7 B． C． D．8．已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，則（

）A． B．C． D．10．已知雙曲線的漸近線與圓相切，，為的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的左支上，則（

）A． B．為直角三角形C．周長(zhǎng)的最小值為 D．的最小值為211．在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為弧度）后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（

）A．，函數(shù)都為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B．若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則C．若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D．當(dāng)或時(shí)，函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分．12．將編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球，則至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是.13．若向量與不共線也不垂直，且，則.14．一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為.已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（15分）為測(cè)試甲、乙兩個(gè)AI（人工智能）模型解決數(shù)學(xué)問題的能力，某同學(xué)準(zhǔn)備了5道數(shù)學(xué)題讓甲、乙同時(shí)進(jìn)行解答，每道題甲答對(duì)的概率均為，乙答對(duì)的概率均為，且每次解答是否正確相互獨(dú)立.(1)若已知前兩題中甲至少答對(duì)了1題，求前兩題甲都答對(duì)的概率；(2)設(shè)甲、乙均答對(duì)的題數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.17．（15分）已知四棱錐中，二面角為直二面角，，，M為棱上一點(diǎn).(1)證明：；(2)若M為中點(diǎn)，求二面角的正弦值；(3)若平面，點(diǎn)N在平面上，若直線與平面所成角為，求的最小值.18．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在C上且在第一象限，，的面積為2.(1)求C的方程.(2)A，B是C上異于M的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MA與MB的斜率之積為1，證明：直線AB過定點(diǎn).(3)點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，分別過M，N作C的兩條切線，這兩條切線的交點(diǎn)G恰好在x軸上，，過S作C的切線，切點(diǎn)為R（異于點(diǎn)M），且與線段GN交于點(diǎn)T，求面積的最大值.19．（17分）(1)證明：在上恒成立.(2)若，證明：函數(shù)在上恰有1個(gè)零點(diǎn).(3)試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（全國(guó)通用）數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分參考一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678CDDACBDB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011BDBCBCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分．12．13．14．-2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【詳解】（1）由題意知，（1分）解得或，（3分）當(dāng)時(shí)，，，故，；（4分）當(dāng)時(shí)，，，故，（5分）所以或；（7分）（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，?分）所以，（9分）兩式相減得（11分），（12分）故.（13分）16．（15分）【詳解】（1）設(shè)事件“前兩題中甲至少答對(duì)了1題”為，事件“前兩題甲都答對(duì)”為，依題意，，（2分），（3分）所以.則在前兩題中甲至少答對(duì)了1題的條件下，前兩題甲都答對(duì)的概率為.（5分）（2）依題意，每道題甲、乙均答對(duì)的概率為，（6分）的所有可能值為，（7分），即，，1，2，3，4，5，，，，，，，（13分）所以的分布列為012345（14分）數(shù)學(xué)期望.（15分）17．（15分）【詳解】（1）由，得，二面角為直二面角，即平面平面，而平面平面，平面，故平面.（1分）因?yàn)槠矫?，所以，?分）又，，平面，，故平面，（3分）又平面，故.（4分）（2）過點(diǎn)S作于點(diǎn)O，連接，由，得.又，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋?，即，故，，兩兩垂直，?分）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，故為平面的一個(gè)法向量，（6分）設(shè)平面的法向量的，則令，則，，故為平面的一個(gè)法向量，（7分）則，（8分）二面角的正弦值為.（9分）（3）若平面，平面，平面平面，則，（10分）由（2）知，故M與O點(diǎn)重合，因?yàn)镹在平面上，設(shè)，p，，，則，（10分）因?yàn)椋?，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，故為平面的一個(gè)法向量，（11分）故，整理得，（12分）又，故，（13分）由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最小值為.（15分）18．（17分）【詳解】（1）設(shè)，則的面積為，（1分）所以，（2分）根據(jù)拋物線的定義，得，所以，（3分）所以，解得，即C的方程為.（4分）（2）由（1）知，設(shè)，，直線AB的方程為，則且，聯(lián)立可得，，（5分）由韋達(dá)定理可得，，（6分），同理，（7分）又因?yàn)椋?，?分）整理得，所以，即，（9分）所以，即直線AB過定點(diǎn)；（10分）（3）因?yàn)?，所以，設(shè)直線GM的方程為，由可得，則，解得，（11分）所以直線GM的方程為，且，同理可得直線，（12分）設(shè)，因?yàn)椋约?，由得，設(shè)直線，由可得，由，可得或，（13分）當(dāng)時(shí)，直線，與直線GM的方程一樣，舍去，故，所以直線，即，與直線聯(lián)立求得，（14分）點(diǎn)到直線的距離為，（15分）又，所以的面積為，（16分）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取到最大值為8.（17分）19．（17分）【詳解】（1）證明：令函數(shù)，，則，（1分）所以在上單調(diào)遞增，（2分）則，即在上恒成立.（3分）（2）證明：因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增.（4分）由（1）得在上恒成立，故在上恒成立，（5分）所以，（6分）因?yàn)?，故取，取，則，（7分）而，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有1個(gè)零點(diǎn).（8分）（3）令，即，等價(jià)于.（9分）記，.在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).是的1個(gè)零點(diǎn).（10分）因?yàn)?，所以是奇函?shù)，則在和上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.（11分），因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)