第四章2.4積化和差與和差化積公式基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.熟記積化和差與和差化積公式.2.能運(yùn)用積化和差與和差化積公式求解數(shù)學(xué)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)一

三角函數(shù)的積化和差公式

余乘余是余加余的一半,正乘正是余減余的負(fù)一半;正乘余是正加正的一半,余乘正是正減正的一半cosαcosβ=

;

sinαsinβ=

;

sinαcosβ=

;

cosαsinβ=

.

名師點(diǎn)睛積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)的和乘常數(shù)的形式.思考辨析積化和差與和差化積公式中的α,β的取值范圍是什么?提示

α∈R,β∈R.自主診斷判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)sin37.5°cos7.5°=12[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)].(

)

(2)sinxsiny=[cos(x-y)+cos(x+y)].(

)(3)cos(A+B)cos(A-B)=cos2A+cos2B.(

)√××知識點(diǎn)二

三角函數(shù)的和差化積公式

和差化積口訣:正加正,正在前,余加余,余并肩;正減正,余在前,余減余,負(fù)正弦從積化和差的4個(gè)公式可以得出sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ;sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ;cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ;cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ,這樣,上面得出的四個(gè)式子可以寫成sinx+siny=

;

sinx-siny=

;

cosx+cosy=

;

cosx-cosy=

.

名師點(diǎn)睛這四個(gè)公式叫作和差化積公式,利用它們和其他三角函數(shù)關(guān)系式,可以把某些三角函數(shù)的和與差化成積的形式.思考辨析如何把cosx+化為積的形式?自主診斷判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)sin3θ-sin5θ=-cos4θcosθ.(

)(2)cos(A+B)-cos(A-B)=2cosAcosB.(

)(3)sin(A-B)+sin(A+B)=2sinAcosB.(

)××√重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一積化和差公式的運(yùn)用【例1】

把下列各式化成和或差的形式.(1)2sin64°cos10°;(2)sin80°cos132°;(4)sin2sin1.解

(1)2sin

64°cos

10°=sin(64°+10°)+sin(64°-10°)=sin

74°+sin

54°.規(guī)律方法

積化和差公式可以把某些三角函數(shù)的積化為和或差的形式.需要注意三角函數(shù)名稱的變化規(guī)律.D探究點(diǎn)二和差化積公式的運(yùn)用【例2】

把下列各式化成積的形式.(1)cos3x+cosx;(2)cos40°-cos52°;(3)sin15°+sin35°;(4)sin6x-sin2x.變式訓(xùn)練2把下列各式化成積的形式.(1)cos8+cos2;(2)cos100°-cos20°;(3)sin40°+sin150°;(4)sin(x+2)-sinx.探究點(diǎn)三積化和差、和差化積公式的綜合應(yīng)用規(guī)律方法

1.證明三角恒等式的基本思路是根據(jù)等式兩端特征,通過三角恒等變換,應(yīng)用化繁為簡、左右歸一、變更論證等方法,使等式兩端的“異”化為“同”,分式不好證時(shí),可變形為整式來證.2.△ABC中注意隱含條件A+B+C=π的應(yīng)用,常用關(guān)系式有sin(A+B)=sin

C,cos(A+B)=-cos

C等.變式訓(xùn)練3若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足cos2A-cos2B=2sin2C,試判斷△ABC的形狀.解

∵cos

2A-cos

2B=2sin2C,∴-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2[π-(A+B)],∴-sin(A+B)sin(A-B)=sin2(A+B).∵在△ABC中,sin(A+B)≠0,∴sin(A-B)+sin(A+B)=0,即2sin

Acos

B=0.又sin

A≠0,∴cos

B=0,∴B=,∴△ABC為直角三角形.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)積化和差公式;(2)和差化積公式.2.方法歸納:公式法、整體代換.3.常見誤區(qū):(1)公式中符號易混淆;(2)公式中系數(shù)易弄錯(cuò).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.2sin50°cos10°=(

)B解析

2sin

50°cos

10°=sin(50°+10°)+sin(50°-10°)=sin

60°+sin

40°=+sin

40°.12345A.sin15°sin10° B.-sin50°sin10°C.sin50°cos10° D.-sin50°cos10°C123453.有下列關(guān)系式:①sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ;②cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ;③cos5θ+cos3θ=2cos4θcosθ,其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3B解析

sin

5θ+sin

3θ=2sin

4θcos

θ,故①錯(cuò)誤;cos

3θ-cos

5θ=-2sin

4θsin(-θ)=2