2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷-立體幾何突破核心知識點解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到平面π：x-2y+z+1=0的距離等于（）A.2√3B.√3C.√6D.√22.已知正方體ABCDA1-B1C1D1的棱長為1，E是棱CD的中點，F(xiàn)是棱B1C1的中點，則直線AE與直線CF所成角的余弦值為（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.1/23.過點P（1，2，-1）作平面α，使得平面α與點A（1，0，2）、B（2，-1，1）、C（-1，2，0）三點等距離，則平面α的一個法向量為（）A.（1，-1，1）B.（1，1，-1）C.（-1，1，1）D.（1，1，1）4.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，則二面角A-PC-B的余弦值為（）A.1/3B.√2/3C.1/√3D.√3/35.已知球O的半徑為1，點A、B在球面上，且向量OA和向量OB的夾角為60°，則直線AB與球心O所成角的正弦值為（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√2/26.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱AA1=2，則點A1到平面BCC1B1的距離為（）A.√3/2B.1C.√2/2D.1/27.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則側(cè)面SAB與底面ABCD所成二面角的正切值為（）A.1/√3B.√2/2C.1D.√3/38.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）構(gòu)成一個三角形，則該三角形的面積為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.19.已知圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成角為45°，則圓錐的側(cè)面積為（）A.πB.2πC.√2πD.π/210.在正方體ABCDA1-B1C1D1中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱B1C1的中點，則三棱錐A-EBF的體積為（）A.1/24B.1/12C.1/6D.1/411.已知二面角α-BC-β的平面角為60°，點P在二面角的棱BC上，且點P到兩個平面的距離相等，若點P到平面α的距離為1，則點P到平面β的距離為（）A.1B.√3/2C.2D.1/212.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=1，AB=2，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.1/√3D.√3/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知正方體ABCDA1-B1C1D1的棱長為1，點P在棱CD上運動，則點P到直線A1B的距離的最小值為________。14.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，則點A到平面PBC的距離為________。15.已知球O的半徑為1，點A、B在球面上，且向量OA和向量OB的夾角為60°，則球心O到平面ABCD的距離為________。16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱AA1=2，則點A1到平面BCC1B1的距離為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=1，AB=2，求二面角A-PBC的余弦值。18.（本小題滿分12分）在正方體ABCDA1-B1C1D1中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱B1C1的中點，求三棱錐A-EBF的體積。19.（本小題滿分12分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，求二面角A-PC-B的余弦值。20.（本小題滿分14分）已知球O的半徑為1，點A、B在球面上，且向量OA和向量OB的夾角為60°，求球心O到平面ABCD的距離。21.（本小題滿分12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱AA1=2，求點A1到平面BCC1B1的距離。22.（本小題滿分10分）過點P（1，2，-1）作平面α，使得平面α與點A（1，0，2）、B（2，-1，1）、C（-1，2，0）三點等距離，求平面α的一個法向量。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）23.（本小題滿分12分）已知正方體ABCDA1-B1C1D1的棱長為2，點P在棱CD上運動，求點P到直線A1B的距離的最小值。解：首先，我們建立一個空間直角坐標(biāo)系，以點D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DA1為z軸。這樣，各個點的坐標(biāo)可以表示為：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），以及點P在棱CD上運動，可以表示為P（0，y，0），其中0≤y≤2。d=|向量AP×向量AB|/|向量AB|其中，向量AP=P-A1=（-2，y，-2），向量AB=B-A1=（0，2，-2）。計算向量AP×向量AB：向量AP×向量AB=?ijk??-2y-2??02-2???????=i(y*(-2)-(-2)*2)-j((-2)*(-2)-0)+k((-2)*2-0)=i(-2y+4)-j(4)+k(-4)=(-2y+4)i-4j-4k計算|向量AP×向量AB|：|向量AP×向量AB|=√((-2y+4)^2+(-4)^2+(-4)^2)=√(4y^2-16y+16+16+16)=√(4y^2-16y+48)計算|向量AB|：|向量AB|=√(0^2+2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2所以，點P到直線A1B的距離d為：d=√(4y^2-16y+48)/(2√2)=√(y^2-4y+12)/√2=√((y-2)^2+8)/√2為了求出距離的最小值，我們需要找到函數(shù)√((y-2)^2+8)/√2的最小值。由于(y-2)^2總是非負(fù)的，所以當(dāng)y=2時，(y-2)^2取得最小值0。因此，當(dāng)y=2時，點P到直線A1B的距離取得最小值，最小值為√8/√2=2。所以，點P到直線A1B的距離的最小值為2。24.（本小題滿分14分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，求點A到平面PBC的距離。解：首先，我們建立一個空間直角坐標(biāo)系，以點A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸。這樣，各個點的坐標(biāo)可以表示為：A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1）。計算向量PB×向量PC：向量PB×向量PC=?ijk??10-1??01-1???????=i(0*(-1)-(-1)*1)-j(1*(-1)-0)+k(1*1-0)=i(0+1)-j(-1)+k(1)=i+j+k=（1，1，1）所以，平面PBC的一個法向量為（1，1，1）。平面PBC的方程可以表示為：x+y+z=1。根據(jù)點到平面的距離公式，點A到平面PBC的距離d可以表示為：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)其中，點A的坐標(biāo)為（0，0，0），平面PBC的方程為x+y+z=1，即A=1，B=1，C=1，D=-1。代入公式，得到：d=|1*0+1*0+1*0-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|-1|/√3=1/√3=√3/3所以，點A到平面PBC的距離為√3/3。25.（本小題滿分12分）已知球O的半徑為1，點A、B在球面上，且向量OA和向量OB的夾角為60°，求球心O到平面ABCD的距離。解：首先，我們建立一個空間直角坐標(biāo)系，以球心O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OC為z軸。這樣，點A、B的坐標(biāo)可以表示為A（1，0，0），B（0，1，0）。平面ABCD的法向量可以通過向量AB和向量AC的叉積求得。向量AB=B-A=（-1，1，0），向量AC=C-A=（-1，0，1）。計算向量AB×向量AC：向量AB×向量AC=?ijk??-110??-101???????=i(1*1-0*0)-j((-1)*1-0*(-1))+k((-1)*0-(-1)*1)=i(1)-j(-1)+k(1)=i+j+k=（1，1，1）所以，平面ABCD的一個法向量為（1，1，1）。平面ABCD的方程可以表示為：x+y+z=1。根據(jù)點到平面的距離公式，球心O到平面ABCD的距離d可以表示為：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)其中，球心O的坐標(biāo)為（0，0，0），平面ABCD的方程為x+y+z=1，即A=1，B=1，C=1，D=-1。代入公式，得到：d=|1*0+1*0+1*0-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|-1|/√3=1/√3=√3/3所以，球心O到平面ABCD的距離為√3/3。26.（本小題滿分10分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱AA1=2，求三棱錐A-EBF的體積。解：首先，我們建立一個空間直角坐標(biāo)系，以點A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸。這樣，各個點的坐標(biāo)可以表示為：A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），B1（1，0，2），C1（0，1，2），E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱B1C1的中點，可以表示為E（1/2，0，0），F(xiàn)（1/2，1/2，2）。底面EBF是一個三角形，我們可以通過向量EF和向量EB的叉積求得底面EBF的面積。向量EF=F-E=（0，1/2，2），向量EB=B-E=（1/2，0，0）。計算向量EF×向量EB：向量EF×向量EB=?ijk??01/22??1/200???????=i((1/2)*0-2*0)-j(0*0-2*(1/2))+k(0*(1/2)-(1/2)*(1/2))=i(0)-j(-1)+k(-1/4)=j-k/4=（0，1，-1/4）計算|向量EF×向量EB|：|向量EF×向量EB|=√(0^2+1^2+(-1/4)^2)=√(1+1/16)=√(16/16+1/16)=√(17/16)=√17/4所以，底面EBF的面積為√17/4。高為點A到平面EBF的距離。平面EBF的法向量可以通過向量EF和向量EB的叉積求得，已經(jīng)計算為（0，1，-1/4）。平面EBF的方程可以表示為：y-z/4=0。根據(jù)點到平面的距離公式，點A到平面EBF的距離d可以表示為：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)其中，點A的坐標(biāo)為（0，0，0），平面EBF的方程為y-z/4=0，即A=0，B=1，C=-1/4，D=0。代入公式，得到：d=|0*0+1*0+(-1/4)*0+0|/√(0^2+1^2+(-1/4)^2)=|0|/√(1+1/16)=0/√(17/16)=0所以，三棱錐A-EBF的高為0。因此，三棱錐A-EBF的體積為：V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*(√17/4)*0=0所以，三棱錐A-EBF的體積為0。27.（本小題滿分10分）過點P（1，2，-1）作平面α，使得平面α與點A（1，0，2）、B（2，-1，1）、C（-1，2，0）三點等距離，求平面α的一個法向量。解：首先，我們設(shè)平面α的一個法向量為向量n=（a，b，c）。根據(jù)點到平面的距離公式，點A到平面α的距離dA可以表示為：dA=|a*1+b*0+c*2-D|/√(a^2+b^2+c^2)其中，平面α的方程為ax+by+cz=D。同理，點B到平面α的距離dB可以表示為：dB=|a*2+b*(-1)+c*1-D|/√(a^2+b^2+c^2)點C到平面α的距離dC可以表示為：dC=|a*(-1)+b*2+c*0-D|/√(a^2+b^2+c^2)由于點A、B、C到平面α的距離相等，所以有：dA=dB=dC將上述三個距離公式代入，得到：|a+2c-D|/√(a^2+b^2+c^2)=|2a-b+c-D|/√(a^2+b^2+c^2)=|-a+2b-D|/√(a^2+b^2+c^2)由于分母相同，可以去掉分母，得到：|a+2c-D|=|2a-b+c-D|=|-a+2b-D||a+2c-D|=|2a-b+c-D|可以分為兩種情況：1.a+2c-D=2a-b+c-D2.a+2c-D=-(2a-b+c-D)對于第一種情況，化簡得到：a+2c-D=2a-b+c-Da-2a+b-c=0-a+b-c=0a=b-c對于第二種情況，化簡得到：a+2c-D=-2a+b-c+Da+2a-b+c-2D=03a-b+c-2D=03a-b+c=2D|a+2c-D|=|-a+2b-D|可以分為兩種情況：1.a+2c-D=-a+2b-D2.a+2c-D=-(-a+2b-D)對于第一種情況，化簡得到：a+2c-D=-a+2b-Da+a-2b+c=02a-2b+c=02a-2b+c=0a-b+c/2=0a=b-c/2對于第二種情況，化簡得到：a+2c-D=a-2b+D2c+2b=2Dc+b=D|2a-b+c-D|=|-a+2b-D|可以分為兩種情況：1.2a-b+c-D=-a+2b-D2.2a-b+c-D=-(-a+2b-D)對于第一種情況，化簡得到：2a-b+c-D=-a+2b-D2a+a-2b-c=03a-3b-c=0a-b-c/3=0a=b+c/3對于第二種情況，化簡得到：2a-b+c-D=a-2b+D2a-a-2b+c-2D=0a-2b+c-2D=0a-2b+c=2D由于方程組較為復(fù)雜，我們可以通過觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=b=c時，上述方程組均成立。因此，我們可以取a=b=c=1作為平面α的一個法向量。所以，平面α的一個法向量為（1，1，1）。本次試卷答案如下一、選擇題1.C解析：點A（1，2，3）到平面π：x-2y+z+1=0的距離d可以用公式計算：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，代入A、B、C、D和點A的坐標(biāo)，得到d=|1*1+(-2)*2+1*3+1|/√(1^2+(-2)^2+1^2)=|1-4+3+1|/√6=√6。所以選C。2.A解析：正方體ABCDA1-B1C1D1中，E是棱CD的中點，F(xiàn)是棱B1C1的中點，所以E（0，1，0），F(xiàn)（1，1，1）。向量AE=E-A=（-1，1，0），向量CF=F-C=（1，0，1）。向量AE和向量CF所成角的余弦值cosθ=(向量AE·向量CF)/(|向量AE|*|向量CF|)=(-1*1+1*0+0*1)/(√2*√2)=-1/2。所以選A。3.B解析：平面α與點A、B、C三點等距離，設(shè)平面α的方程為ax+by+cz=d。代入A、B、C的坐標(biāo)，得到三個方程：a+2c=d，2a-b+c=d，-a+2b=d。解這個方程組，得到a=b=c，d=a。所以平面α的一個法向量為（1，1，1）。所以選B。4.D解析：二面角A-PC-B的平面角是∠APC，cos∠APC=|向量PA·向量PC|/(|向量PA|*|向量PC|)。向量PA=（1，0，1），向量PC=（-1，1，1）。向量PA·向量PC=1*(-1)+0*1+1*1=0。|向量PA|=√2，|向量PC|=√3。所以cos∠APC=0/(√2*√3)=0。所以選D。5.A解析：球O的半徑為1，點A、B在球面上，向量OA和向量OB的夾角為60°。球心O到平面AB的距離d=|OA|*sin∠AOB=1*sin60°=√3/2。所以選A。6.C解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱AA1=2。點A1到平面BCC1B1的距離就是點A1到BC的距離，也是AA1的長度，即2。所以選C。7.C解析：正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3。側(cè)面SAB與底面ABCD所成二面角的正切值tanθ=|SC|/|AC|。三角形SAC是等腰三角形，SA=SC=√3，AC=2。|SC|=√(SA^2-(AC/2)^2)=√(3-1)=√2。所以tanθ=√2/2。所以選C。8.A解析：點A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）構(gòu)成一個三角形，三角形的面積可以用向量AB和向量AC的叉積的模長除以2計算。向量AB=（-1，1，0），向量AC=（-1，0，1）。向量AB×向量AC=（1，1，1）。|向量AB×向量AC|=√3。所以三角形面積為√3/2。所以選A。9.A解析：圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成角為45°。圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r是底面半徑，l是母線長。母線長l=r/cos45°=1/(√2/2)=√2。所以S=π*1*√2=√2π。所以選A。10.A解析：正方體ABCDA1-B1C1D1中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱B1C1的中點，三棱錐A-EBF的體積V=(1/3)*底面積*高。底面EBF是一個三角形，E（1/2，0，0），F(xiàn)（1/2，1/2，2）。向量EF=（0，1/2，2），向量EB=（0，-1，0）。向量EF×向量EB=（-1，0，0）。|向量EF×向量EB|=1。底面面積為1/2。高為點A到平面EBF的距離，平面EBF的方程為x=1/2，點A到平面的距離為1/2。所以V=(1/3)*(1/2)*(1/2)=1/24。所以選A。11.B解析：二面角α-BC-β的平面角為60°，點P到兩個平面的距離相等，設(shè)點P到平面α的距離為1，則點P到平面β的距離也為1。設(shè)平面α的方程為ax+by+cz=d，平面β的方程為ax+by+cz=d'。點P到平面α的距離為|ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2)=1，點P到平面β的距離為|ax0+by0+cz0+d'|/√(a^2+b^2+c^2)=1。所以|ax0+by0+cz0+d|=|ax0+by0+cz0+d'|。由于二面角為60°，所以d'=d-√3*√(a^2+b^2+c^2)。所以|ax0+by0+cz0+d|=|ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2)|。當(dāng)ax0+by0+cz0+d>0時，|ax0+by0+cz0+d|=ax0+by0+cz0+d，|ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2)|=ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2)。所以ax0+by0+cz0+d=ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2)。所以√3*√(a^2+b^2+c^2)=0。所以a^2+b^2+c^2=0。這是不可能的。所以ax0+by0+cz0+d<0。所以|ax0+by0+cz0+d|=-(ax0+by0+cz0+d)，|ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2)|=-(ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2))。所以-(ax0+by0+cz0+d)=-(ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2))。所以ax0+by0+cz0+d=ax0+by0+cz0+d-√3*√(a^2+b^2+c^2)。所以√3*√(a^2+b^2+c^2)=0。所以a^2+b^2+c^2=0。這是不可能的。所以點P到平面β的距離為√3。所以選B。12.A解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=1，AB=2。直線PC與平面PAB所成角的正弦值sinθ=|向量PC⊥平面PAB|/|向量PC|。向量PC=C-P=（-1，2，0）。平面PAB的法向量為向量PA×向量AB=（1，0，1）×（2，0，0）=（0，-2，0）。所以|向量PC⊥平面PAB|=|向量PC·向量法向量|=|-1*0+2*(-2)+0*0|=4。|向量PC|=√((-1)^2+2^2+0^2)=√5。所以sinθ=4/√5=2√5/5。所以選A。二、填空題13.√2解析：正方體ABCDA1-B1C1D1的棱長為1，點P在棱CD上運動，可以表示為P（0，y，0），其中0≤y≤1。直線A1B的方向向量為向量AB，即（0，1，-1）。點P到直線A1B的距離d可以用公式計算：d=|向量AP×向量AB|/|向量AB|，其中向量AP=P-A1=（-1，y，-1）。計算向量AP×向量AB：向量AP×向量AB=?ijk??-1y-1??01-1???????=i(y*(-1)-(-1)*1)-j((-1)*(-1)-0)+k((-1)*1-0)=i(-y+1)-j(1)+k(-1)=(-y+1)i-j-k=（-y+1，-1，-1）計算|向量AP×向量AB|：|向量AP×向量AB|=√((-y+1)^2+(-1)^2+(-1)^2)=√(y^2-2y+1+1+1)=√(y^2-2y+3)計算|向量AB|：|向量AB|=√(0^2+1^2+(-1)^2)=√(1+1)=√2所以，點P到直線A1B的距離d為：d=√(y^2-2y+3)/√2=√((y-1)^2+2)/√2為了求出距離的最小值，我們需要找到函數(shù)√((y-1)^2+2)/√2的最小值。由于(y-1)^2總是非負(fù)的，所以當(dāng)y=1時，(y-1)^2取得最小值0。因此，當(dāng)y=1時，點P到直線A1B的距離取得最小值，最小值為√2/√2=1。所以，點P到直線A1B的距離的最小值為1。14.√2/3解析：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，則點A到平面PBC的距離可以用體積法計算。三棱錐P-ABC的體積V=(1/3)*底面積*高。底面ABC是等腰直角三角形，底面積為1/2*1*1=1/2。高為PA=1。所以V=(1/3)*(1/2)*1=1/6。三棱錐P-ABC的體積也可以用向量法計算：V=(1/6)*|向量PA×向量AB|*|向量PA×向量AC|。計算向量PA×向量AB：向量PA×向量AB=?ijk??101??100???????=i(0*0-1*0)-j(1*0-1*1)+k(1*0-0*1)=i(0)-j(-1)+k(0)=j=（0，1，0）計算|向量PA×向量AB|：|向量PA×向量AB|=√(0^2+1^2+0^2)=1計算向量PA×向量AC：向量PA×向量AC=?ijk??101??010???????=i(0*0-1*0)-j(1*0-1*1)+k(1*1-0*0)=i(0)-j(-1)+k(1)=j+k=（0，1，1）計算|向量PA×向量AC|：|向量PA×向量AC|=√(0^2+1^2+1^2)=√2所以，三棱錐P-ABC的體積V=(1/6)*1*√2=√2/6。點A到平面PBC的距離h=3V/|向量BC|=3*(√2/6)/√2=1/2。所以，點A到平面PBC的距離為√2/3。15.√2/2解析：球O的半徑為1，點A、B在球面上，且向量OA和向量OB的夾角為60°。球心O到平面ABCD的距離d=|OA|*sin∠AOB=1*sin60°=√3/2。所以選√2/2。16.√2/2解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱AA1=2。點A1到平面BCC1B1的距離就是點A1到BC的距離，也是AA1的長度，即2。所以選√2/2。三、解答題17.解：首先，我們建立一個空間直角坐標(biāo)系，以點A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸。這樣，各個點的坐標(biāo)可以表示為：A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），D（0，0，2）。直線AD的方向向量為向量AD，即（0，0，2）。平面BPC的法向量可以通過向量BP和向量BC的叉積求得。向量BP=P-B=（0，0，1）-（1，0，0）=（-1，0，1），向量BC=C-B=（0，1，0）-（1，0，0）=（-1，1，0）。計算向量BP×向量BC：向量BP×向量BC=?ijk??-101??-110???????=i(0*0-1*1)-j((-1)*0-1*(-1))+k((-1)*1-0*(-1))=i(-1)-j(1)+k(-1)=-i-j-k=（-1，-1，-1）所以，平面BPC的一個法向量為（-1，-1，-1）。平面BPC的方程可以表示為：-x-y-z=-1。根據(jù)點到平面的距離公式，直線AD與平面BPC所成角的余弦值cosθ=|向量AD·向量法向量|/(|向量AD|*|向量法向量|)=(0*1+0*1+2*(-1))/(√0^2+0^2+2^2)=-2/2=-1。所以cosθ=1/√3。所以，二面角A-PBC的余弦值為1/√3。18.解：正方體ABCDA1-B1C1D1中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱B1C1的中點，可以表示為E（1/2，0，0），F(xiàn)（1/2，1/2，2）。三棱錐A-EBF的體積V=(1/3)*底面積*高。底面EBF是一個三角形，我們可以通過向量EF和向量EB的叉積求得底面EBF的面積。向量EF=F-E=（0，1/2，2），向量EB=B-E=（1/2，0，0）。計算向量EF×向量EB：向量EF×向量EB=?ijk??01/22??1/200???????=i(1/2*0-2*0)-j(0*0-2*(1/2))+k(0*(1/2)-1/2*2)=i(0)-j(-1)+k(-1)=j-k=（0，1，-1）計算|向量EF×向量EB|：|向量EF×向量EB|=√(0^2+1^2+(-1)^2)=√2。底面EBF的面積為√2/2。高為點A到平面EBF的距離。平面EBF的法向量可以通過向量EF和向量EB的叉積求得，已經(jīng)計算為（0，1，-1）。平面EBF的方程可以表示為：y-z=1。根據(jù)點到平面的距離公式，點A到平面EBF的距離d可以表示為：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)其中，點A的坐標(biāo)為（0，0，0），平面EBF的方程為y-z=1，即A=0，B=1，C=-1，D=-1。代入公式，得到：d=|0*0+1*0+(-1)*0-1|/√(0^2+1^2+(-1)^2)=|-1|/√2=√2/2。所以，三棱錐A-EBF的高為√2/2。因此，三棱錐A-EBF的體積為：V=(1/3)*(√2/2)*(√2/2)=1/6。所以，三棱錐A-EBF的體積為1/6。19.解：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，則點A到平面PBC的距離可以用體積法計算。三棱錐P-ABC的體積V=(1/3)*底面積*高。底面AB