第3講和角公式、倍角公式和半角公式基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1.(2022·皖南八校聯(lián)考)若tanθ＝,則＝ ()A. B.－C. D.－解析eq\f(sin2θ,1＋cos2θ)＝eq\f(2sinθcosθ,1＋2cos2θ－1)＝tanθ＝eq\r(3).答案A2.(2021·東北三省三校聯(lián)考)已知sinα＋cosα＝,則sin2＝ ()A. B.C. D.解析由sinα＋cosα＝兩邊平方得1＋sin2α＝,解得sin2α＝－,所以sin2＝＝＝＝,故選B．答案B3.(2022·杭州調(diào)研)已知α∈,且cosα＝－,則tan等于 ()A.7 B.C.－ D.－7解析因α∈,且cosα＝－,所以sinα＜0,即sinα＝－,所以tanα＝eq\f(3,4).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).答案B4.已知tan＝,且－<α<0,則等于 ()A.－ B.－C.－ D.解析由tan＝＝,得tanα＝－.又－<α<0,所以sinα＝－.故eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sinα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα)),\f(\r(2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα)))＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).答案A5.已知sinα＝,sin(α－β)＝－,α,β均為銳角,則角β等于 ()A. B.C. D.解析∵α,β均為銳角,∴－<α－β<.又sin(α－β)＝－,∴cos(α－β)＝.又sinα＝,∴cosα＝,∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(\r(2),2).∴β＝eq\f(π,4).答案C二、填空題6.若sin＝,則cos2θ＝________.解析∵sin＝cosθ＝,∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2－1＝－eq\f(7,25).答案－eq\f(7,25)7.函數(shù)f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________.解析∵f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)(1－cos2x)＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－,∴最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.答案π8.已知cos4α－sin4α＝,且α∈,則cos＝________.解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝,又α∈,∴2α∈(0,π),∴sin2α＝＝,∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cos2α－eq\f(\r(3),2)sin2α＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(2－\r(15),6).答案eq\f(2－\r(15),6)三、解答題9.(2022·江蘇卷)已知α∈,sinα＝.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解(1)由于α∈,sinα＝,所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\f(π,4)cosα＋coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(10),10).(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－,cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝,所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).10.已知α∈,且sin＋cos＝.(1)求cosα的值;(2)若sin(α－β)＝－,β∈,求cosβ的值.解(1)由于sin＋cos＝,兩邊同時(shí)平方,得sinα＝.又＜α＜π,所以cosα＝－＝－.(2)由于＜α＜π,＜β＜π,所以－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－,得cos(α－β)＝.cosβ＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α－α－β))＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(4\r(3)＋3,10).力氣提升題組(建議用時(shí):25分鐘)11．在△ABC中,tanA＋tanB＋＝tanA·tanB,則C等于 ()A. B.C. D.解析由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1),∴tan(A＋B)＝＝－,又0＜A＋B＜π,∴A＋B＝π,∴C＝.答案A12.(2022·云南統(tǒng)一檢測(cè))cos·cos·cos＝ ()A.－ B.－C. D.解析coseq\f(π,9)·coseq\f(2π,9)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,9)π))＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－eq\f(sin20°cos20°cos40°cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,2)sin40°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,4)sin80°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin20°,sin20°)＝－eq\f(1,8).答案A13.設(shè)f(x)＝＋sinx＋a2sin的最大值為＋3,則常數(shù)a＝________.解析f(x)＝eq\f(1＋2cos2x－1,2cosx)＋sinx＋a2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝cosx＋sinx＋a2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋a2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝(eq\r(2)＋a2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).依題意有＋a2＝＋3,∴a＝±.答案±eq\r(3)14.(2022·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinxcosx,x∈R.(1)求f的值;(2)若sinα＝,且α∈,求f.解(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝cos2eq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),4).(2)由于f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,24)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)