北京市大興區(qū)2023?2024學(xué)年高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C． D．2．若集合，，則（

）A． B．C． D．3．已知平面向量，，則下列結(jié)論一定錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線與直線交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．6．在的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（

）A．9 B．15 C． D．7．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（

）．A．是最小正周期為的偶函數(shù) B．點(diǎn)是的對(duì)稱中心C．在區(qū)間上的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減8．已知直線與圓，則“，直線與圓有公共點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．連接空間幾何體上的某兩點(diǎn)的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸.則正方體的旋轉(zhuǎn)軸共有（

）A．7條 B．9條C．13條 D．14條10．已知函數(shù)，則下列命題不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有唯一極小值 B．存在定直線始終與曲線相切C．存在實(shí)數(shù)a，使為增函數(shù) D．存在實(shí)數(shù)a，使為減函數(shù)二、填空題11．已知，若，則.12．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.13．已知，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有恒成立，則滿足條件的一組有序數(shù)對(duì)為.14．在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，已知各除數(shù)及其對(duì)應(yīng)的余數(shù)，求適合條件的被除數(shù)，這類問(wèn)題統(tǒng)稱為剩余問(wèn)題.1852年《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲，在西方的數(shù)學(xué)史上將“物不知其數(shù)”問(wèn)題的解法稱之為“中國(guó)剩余定理”，“物不知其數(shù)”問(wèn)題后經(jīng)秦九韶推廣，得到了一個(gè)普遍的解法，提升了“中國(guó)剩余定理”的高度.現(xiàn)有一個(gè)剩余問(wèn)題：在的整數(shù)中，把被除余數(shù)為，被除余數(shù)為，被除余數(shù)也為的數(shù)，按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.15．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E為棱上一動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，F(xiàn)，G分別為，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②平面可能經(jīng)過(guò)的三等分點(diǎn)；③在線段上的任意點(diǎn)H（不與端點(diǎn)重合），存在點(diǎn)E使得平面；④若E為棱的中點(diǎn)，則平面與正方體所形成的截面為五邊形，且周長(zhǎng)為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題16．中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，.（1）求的大??；（2）若，求的面積.17．如圖（1），在中，，，將沿折起到的位置，E，F(xiàn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作平面，交于點(diǎn)Q，使得平面，如圖（2）.（1）證明：；（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.18．某居民小區(qū)某棟樓共有10戶家庭入住，若該樓住戶在2024年4月的用電量（單位：度）如下圖所示：

若電力公司組織了線上抽獎(jiǎng)活動(dòng)，各住戶抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，但對(duì)用電量不同的住戶，系統(tǒng)設(shè)定了如下中獎(jiǎng)率：用電量中獎(jiǎng)率50%50%（1）在該樓中隨機(jī)抽取一戶家庭，求其4月用電量不低于30度的概率；（2）在該樓隨機(jī)抽取2戶家庭，以X表示中獎(jiǎng)的戶數(shù)，試求X的分布列和期望；（3）以頻率估計(jì)概率，在該小區(qū)隨機(jī)抽取2戶家庭，以Y表示中獎(jiǎng)的戶數(shù)，試比較與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）19．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)C，D分別在直線和橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若橢圓上存在一點(diǎn)E，使得四邊形是矩形，求點(diǎn)黨的橫坐標(biāo).21．已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且定義數(shù)列的“相鄰數(shù)列”為，其中或(1)已知，數(shù)列，寫出的所有“相鄰數(shù)列”；(2)已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且的所有“相鄰數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)；(3)已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且存在的一個(gè)“相鄰數(shù)列”，對(duì)任意的，求的最小值．

參考答案1．D【詳解】因?yàn)?，又為純虛?shù)，所以，解得.故選D2．C【詳解】,又所以故選C3．D【詳解】對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，顯然，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選D4．B【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，令，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)性有增也有減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，，函數(shù)在上一定不是減函數(shù)，D錯(cuò)誤；故選B.5．C【詳解】由題意可得，故過(guò)F且斜率為的直線方程為，令，則由題，因?yàn)?，所以垂直于直線，故，又M在拋物線上，所以由，所以.故選C.6．A【詳解】易知，的展開(kāi)式中，沒(méi)有x項(xiàng)；因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，即，所以展開(kāi)式中，x的系數(shù)為；又因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，即，所以展開(kāi)式中，x的系數(shù)為；綜上，在的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為，故選A.7．D【詳解】，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，則，對(duì)于A：由以上解析可得為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)楹瘮?shù)的遞增區(qū)間為，即，同理得函數(shù)的遞減區(qū)間為所以是的一個(gè)遞減區(qū)間，又當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由C的解析可知，所以遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)可得，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選D8．B【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，當(dāng)，直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，恒成立，即恒成立，則且，解得，即或（舍去）所以“，直線與圓有公共點(diǎn)”是“”的必要不充分條件，故選B.9．C【詳解】由對(duì)稱性結(jié)合題意可知，過(guò)正方體相對(duì)面中心的連線為旋轉(zhuǎn)軸，如圖中，此類共3條，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α最小為90°，以正方體的體對(duì)角線為旋轉(zhuǎn)軸，如圖中，此類共有4條，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α最小為120°，以正方體對(duì)棱的中點(diǎn)連線為對(duì)稱軸，如圖中，此類共有6條，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α最小為180°，綜上，這個(gè)正方體的旋轉(zhuǎn)軸共有13條．故選C．10．C【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，令，則，由得或，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有唯一極小值，故A正確；

對(duì)于B，，因?yàn)?，，所以存在定直線始終與曲線相切，故B正確；對(duì)于C，由B可知，不論為何值，恒成立，故不能為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，令，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，故D正確.故選C.11．或【詳解】因?yàn)榍?，所以或，解得?12．，【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，.13．（答案不唯一）【詳解】，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有恒成立，則，或，由，得，因?yàn)椋?，得，由，得，因?yàn)?，令，得，所以滿足條件的一組有序數(shù)對(duì)為或.14．【詳解】依題意既是的倍數(shù)也是的倍數(shù)還是的倍數(shù)，也就是的倍數(shù)，所以，即，令，∴，又因?yàn)?，所以共?xiàng).15．①③④【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，以分別為為正方向，，，設(shè)①，因?yàn)椋允瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，則平面，平面，因此平面平面，①正確；②取點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，即或，設(shè)平面的法向量為，，則，令，所以當(dāng)時(shí)，，若在平面中，，解得不合題意；當(dāng)時(shí)，，若在平面中，，解得不合題意；②錯(cuò)誤；③在線段上的任意點(diǎn)H（不與端點(diǎn)重合），設(shè)，則，由上可知平面的法向量為，若存在點(diǎn)E使得平面，則有，即，解得所以當(dāng)時(shí)成立，③正確；④延長(zhǎng)三線相交于點(diǎn)，連接分別交直線于點(diǎn),因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，則平面與正方體所形成的截面為五邊形，在正方體中，，根據(jù)三角形相似可得，則，，因此周長(zhǎng)為.④正確.16．（1）（2）【詳解】（1）由已知得，由正弦定理得得，得（2）法一：由（1）知，代入得，由余弦定理得得或①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，法二：代入得∵，∴，或①時(shí)，②時(shí)，17．（1）證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?、平面，，所以平面，而平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以．?）選擇條件①：平面平面，因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，又，所以E，F(xiàn)，Q分別是PC，BC，C黨的中點(diǎn)，，，，，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則得，令，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，由題可知，二面角為鈍二面角則，二面角的余弦值為，選擇條件②：，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?，BC，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，所以，因?yàn)椋?，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，又，所以E，F(xiàn)，Q分別是，，的中點(diǎn)，，，，，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則得，令，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，由題可知，二面角為鈍二面角，則，二面角的余弦值為．18．（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【詳解】（1）記“在該樓中隨機(jī)抽取一戶家庭，其4月用電量不低于30度”為事件A，在該樓10個(gè)住戶中，用電量不低于30度的共戶，故概率估計(jì)值；（2）解法1：X的所有可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為：012X的期望值，解法2：X的所有可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為：X012PX的期望值；（3）Y的所有可能取值為0，1，2，，，，則，故.19．(1)(2)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義計(jì)算即可得；（2）原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可判斷.【詳解】（1）由，則，，則，所以切線方程為，即；（2）令，故，令，，令，，當(dāng)時(shí)，，，，∴，∴在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，，∴在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，即，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又，，，∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)，∴曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.20．（1）方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）橫坐標(biāo)為或【詳解】（1）由題設(shè)，解得，.所以橢圓G的方程為.焦點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）設(shè)，，，，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，一定為平行四邊形，所以，則，，所以，D，E都在橢圓上，，變形得①，又，所以，即，則，②②代入①得，解得：或，若時(shí)，，，此時(shí)C與重合，D點(diǎn)坐標(biāo)為；若時(shí)，聯(lián)立，可得：，解得：，因?yàn)?，所以，所以D點(diǎn)橫坐標(biāo)為或.21．(1)；；；.(2)11個(gè)(3)37【分析】（1）根據(jù)相鄰數(shù)列的概念直接求解即可；（2）任取的一個(gè)“相鄰數(shù)列”，根據(jù)相鄰數(shù)列的概念可得且，對(duì)于的取值分情況討論，利用為遞增數(shù)列可得是公差為1的等差數(shù)列，列不等式組求解即可；（3）令可得對(duì)任意，設(shè)，證明與要么是空集，要么是連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成的集合，進(jìn)而根據(jù)定義求解即可.【詳解】（1）根據(jù)“相鄰數(shù)列”的概念可知，，或，或，所以的所有“相鄰數(shù)列”有；；；.（2）任取的一個(gè)“相鄰數(shù)列”，因?yàn)榛?，或，所以有且，?duì)于的取值分以下4種情形：（a），（b），（c），（d）由數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，前3種情形顯然都能得到，所以只需考慮第4種情形，遞增，，即，由是遞增的整數(shù)數(shù)列得，從而是公差為1的等差數(shù)列，于是，則，即滿足數(shù)列的有11個(gè).（3）令，所以對(duì)任意，設(shè)，則且，先證明與要么是空集