8.三次函數(shù)的圖像與性質及應用三次函數(shù)是高中階段可以系統(tǒng)研究的一個重要函數(shù)，因為其導函數(shù)二次函數(shù)是中學階段研究最深的函數(shù)之一，于是在學習完導數(shù)后，我們可以通過對其導函數(shù)二次函數(shù)的詳細研究來弄清楚三次函數(shù)的基本性質.通過對三次函數(shù)的系統(tǒng)研究，能夠增強學生對導數(shù)的應用價值的認識和理解.正因如此，三次函數(shù)在高考中自然也是熱門的考察方向，特別是在24年連續(xù)出現(xiàn)在兩套新高考試題中后，再一次引起了研究熱潮.本節(jié)試圖從三次函數(shù)的基本性質出發(fā)，展示其重要的一些應用手法.基本命題原理對于三次函數(shù)而言，其導函數(shù)為一個二次函數(shù)，那么根據(jù)其導函數(shù)的基本性質，可將三次函數(shù)的圖象和性質梳理如下：1.根的個數(shù)（）.對于三次函數(shù)，其導函數(shù)為二次函數(shù):，二次函數(shù)的判別式化簡為：△=，（1）若，則恰有一個實根；（2）若,且，則恰有一個實根；（3）若,且，則有兩個不相等的實根；（4）若,且，則有三個不相等的實根.注：由圖像可知：①含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在上為單調函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）.②有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且.③有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.故且.2.極值情況：三次函數(shù)（）,導函數(shù)為二次函數(shù)，二次函數(shù)的判別式化簡為：△=，（1）若，則在上為增函數(shù)；（2）若，則在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中.證明：,△=，（1）當即時，在R上恒成立，即在為增函數(shù).（2）當即時，解方程，得由得或，在和上為增函數(shù).由得，在上為減函數(shù).總結以上得到結論:三次函數(shù)（）（1）若，則在上無極值；（2）若，則在上有兩個極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.3.對稱中心三次函數(shù)的對稱中心為點，該點是三次函數(shù)的拐點，此點的橫坐標也是二階導數(shù)的零點.4.三次方程根與系數(shù)得關系（1）已知實系數(shù)多項式有三個根,設為（2）由三次方程根與系數(shù)的關系：二．典例應用★1.小題訓練（主要圍繞性質，多記多便利）例1．（24-25高三上·貴州貴陽·開學考試）關于函數(shù)，下列說法正確的是（

）①曲線在點處的切線方程為；②的圖象關于原點對稱；③若有三個不同零點，則實數(shù)的范圍是；④在上單調遞減.A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④解析：函數(shù)，求導得，對于①，，而，則切線方程為，即，①正確；對于②，，則的圖象關于原點不對稱，②錯誤；對于③，當或時，；當時，，即函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，因此函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，函數(shù)的零點，即直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標，因此當直線與函數(shù)圖象有3個交點時，，③正確；對于④，在上單調遞減，④正確，故選：D以下選擇題均為多選題.例2．（2024·全國·高考真題）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在，使得為曲線的對稱軸D．存在，使得點為曲線的對稱中心解析：A選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD例3．（24-25高三上廣東省開學考試）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，無極值點C．，使在上是減函數(shù)D．圖象對稱中心的橫坐標不變解析：對于A，當時，，求導得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，因此最多有一個零點，A錯誤；對于B，，當時，，即恒成立，函數(shù)在R上單調遞增，無極值點，B正確；對于C，要使在R上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為R，C錯誤；對于D，由，得圖象對稱中心坐標為，D正確.故選：BD例4．（24-25高三上海南省開學考試）已知函數(shù)，則（

）A．是函數(shù)的極小值點B．存在3個不同的值，使得函數(shù)有2個零點C．有且僅有一個值，使得曲線有對稱軸D．存在無數(shù)多個值，使得曲線有對稱中心解析：由題意可知：函數(shù)的定義域為R，且，對于選項A：例如，則，令，解得或；令，解得；可知在0,1內單調遞減，在內單調遞增，可知是函數(shù)的極大值點，故A錯誤；對于選項B：因為，可知0不為的零點，令，可得，令，則，若函數(shù)有2個零點，則與有2個交點，令，則，當時，；當或時，，可知在內單調遞增，在內單調遞減，且，當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，

由圖象可得或或，則或或，即存在3個不同的值，使得函數(shù)有2個零點，故B正確；對于選項C：若曲線有對稱軸，設為，則，即，整理可得，結合的任意性可知，解得，所以有且僅有一個值，使得曲線有對稱軸，故C正確；對于選項D：若，則，所以的對稱中心為，即存在無數(shù)多個值，使得曲線有對稱中心，故D正確；故選：BCD.例5．（23-24高二下山東臨沂期末）已知函數(shù)，則（

）A．存在實數(shù)使得B．當時，有三個零點C．點是曲線的對稱中心D．若曲線有兩條過點的切線，則解析：對A，根據(jù)已知的導函數(shù)，令則，令，，當時，根據(jù)函數(shù)零點存在定理存在實數(shù)使得，故A正確；對B，根據(jù)題意知，令得到，在和上，所以在和單調遞增，在上，所以在單調遞減，是的極大值，且的極大值大于極小值，，，所以在定義域內有且只有一個零點，故B錯誤；對C，令，該函數(shù)定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，是的對稱中心，將向下移動兩個單位得到的圖像，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；對D，過的切線的切點為，切線斜率為，則切線方程為，把點代入可得，化簡可得，令，則，令可得或，在和上大于零，所以在和上單調遞增，在上小于零，所以在單調遞減，要使有兩個解，一個極值一定為，若函數(shù)在極值點時的函數(shù)值為，可得，所以若函數(shù)在極值點時的函數(shù)值為，可得，所以，故D不正確.故選：AC6．（2024·全國·高考真題）設函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，解析：對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當時，f'x<0，當或時，f函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數(shù)在0,1上單調遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數(shù)在上單調遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.解答題部分例7.已知曲線在點處的切線與曲線的另外一個交點為為線段的中點,為坐標原點.（1）求的極小值并討論的奇偶性.（2）當函數(shù)為奇函數(shù)時,直線的斜率記為,若,求實數(shù)的取值范圍.解析：（1），當時,；當時，.當時,顯然，所以為奇函數(shù).當時，顯然.且，所以為非奇非偶函數(shù).（2）,所以曲線在點處的切線方程為，其與原曲線方程，聯(lián)立化簡得:.從而.所以,.由于；即當時，都有.令,則，易知當時,；當時,.即在上遞減，在上遞增，所以當時,，所以，從而實數(shù)的取值范國為.注：可以看到，切點的橫坐標恰好便是方程①的二重根.例8.（切割線定理）如果我們將上述的內容再結合三次函數(shù)韋達定理，就可以得到更多有趣的結論.如圖，過切點的切線與三次函數(shù)的圖象交于點，同時，過的割線與三次函數(shù)的圖象交于三點.我們有以下結論：三次函數(shù)切割線定理.；；（3）.證明：顯然，方程①整理可得：.結合上述重根個數(shù)定理以及韋達定理可得：，結論（1）證畢.（2）設直線的方程為，代入的表達式結合韋達定理可得：,再聯(lián)立，可證得：.（3）同理，如圖，再聯(lián)立，可得：.同樣是2020年全國三卷23題，不等式選做題，依然以三次方程根與系數(shù)的關系命制而成，下面予以分析，希望各位讀者在高三備考時重視對三次方程根與系數(shù)關系的認識程度，有備無患！三．習題演練1．（23-24高三上廣東階段練習）已知三次函數(shù)有三個不同的零點，若函數(shù)也有三個不同的零點，則下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．解析：，因為原函數(shù)有三個不同的零點，則有兩個不同的實根，即，則，即，所以A錯誤；因為三次函數(shù)有三個不同的零點，所以，所以，同理，所以，故C正確，D錯誤；由的圖象與直線的交點可知，B正確．故選：BC．

2．設直線與曲線的三個交點分別為，且．現(xiàn)給出如下結論：①的取值范圍是；②為定值；③.其中正確結論的為解析：設，則，令，解得：或；當或時，，當時，；∴在上是增函數(shù)，在（1，3）上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)；當時，取得極大值，當時，取得極小值；作出函數(shù)的圖象如圖所示：∵直線與曲線有三個交點，由圖象知.令，則是的三個實根．∴，即，∴，，，①③正確；∴，∴②正確；綜上，正確的命題序號是①②③．故答案為：①②③．3.橢圓曲線加密算法運用于區(qū)塊鏈．橢圓曲線．關于x軸的對稱點記為．C在點處的切線是指曲線在點P處的切線．定義“”運算滿足：①若，且直線PQ與C有第三個交點R，則；②若，且PQ為C的切線，切點為P，則；③若，規(guī)定，且．（1）當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；（2）已知“”運算滿足交換律、結合律，若，且PQ為C的切線，切點為P，證明：；（3）已知，且直線PQ與C有第三個交點，求的坐標．參考公式：解析：（1）由題設可知，有，若，則，則，此時僅有一個零點；若，令，解得．當或時，