66.利用空間向量求最值或范圍問題本節(jié)的關(guān)鍵就是在前面空間角度計(jì)算的公式之上將所需問題表征成動點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系來處理.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．解析：（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?，所以平面；?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．例2.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?解析：（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所以因?yàn)?，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．由題設(shè)（）．（1）因?yàn)?，所以，所以．?）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為．所以.例3．馬戲團(tuán)的表演場地是一個圓錐形棚，如圖，為棚頂，是棚底地面的中心，為棚底直徑，，是棚底的內(nèi)接正三角形，中間的支柱米，從支柱上的點(diǎn)向棚底周圍拉了4根繩子供動物攀爬表演，有一個節(jié)目表演的是猴子從點(diǎn)沿著繩子爬到點(diǎn)，再沿著爬到棚頂，然后從棚頂跳到中的某一根繩子上.（1）當(dāng)點(diǎn)取在距離點(diǎn)米處時，證明拉繩所在直線和平面垂直；（2）經(jīng)驗(yàn)表明當(dāng)拉繩所在直線和平面所成角的正弦值最大時，節(jié)目的觀賞性最佳，問此時應(yīng)該把點(diǎn)取在什么位置.解析：（1）因?yàn)?，，所以是正三角形，則，易知底面圓，而底面圓，所以，又在中，，所以，因?yàn)槭钦切?，所以，且，，所以，，同理可證，又，平面，所以平面，即拉繩所在直線和平面垂直；（2）如圖，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線