94.如何用矩形折出圓錐曲線一．課本案例1．（人教A版選擇性必修一P116）如圖，矩形ABCD中，，．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，，，是線段CF的四等分點(diǎn)．證明直線ER與、ES與、ET與的交點(diǎn)L，M，N都在橢圓上．解析：由題得，，所以，所以直線的方程為，①，由題得，所以，所以直線的方程為，②，聯(lián)立方程①②解之得所以直線的交點(diǎn)為，代入橢圓方程得，所以直線的交點(diǎn)在橢圓上.同理ES與、ET與的交點(diǎn)M，N都在橢圓上．2．（蘇教版選修第一冊P87）把矩形的各邊n等分，如圖連接直線，判斷對應(yīng)直線的交點(diǎn)是否在一個(gè)橢圓上，為什么？解析：設(shè)矩形的長，寬，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則由于整個(gè)圖形關(guān)于軸對稱，我們只研究第一象限，設(shè)點(diǎn)是上自右到左的第個(gè)分點(diǎn)，點(diǎn)是上自上到下的第個(gè)分點(diǎn)，則，，所以①，②，①，②式相乘且整理得③，因?yàn)辄c(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，所以點(diǎn)滿足方程③故點(diǎn)在橢圓上．3．（蘇教版選修第一冊P100）如圖，在矩形中，把邊AB分成n等份．在邊的延長線上，的n分之一為單位長度連續(xù)取點(diǎn)．過邊AB上各分點(diǎn)和作直線，過延長線上的對應(yīng)分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為P，P在什么曲線上運(yùn)動？

解析：設(shè)，取所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)第組對應(yīng)直線與的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在第一象限，則，，，，直線的方程為，①直線的方程為，②點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程①②，①②相乘得，即（點(diǎn)在第一象限），所以點(diǎn)在雙曲線的右支上半部分上運(yùn)動.

.4．（蘇教版選修第一冊P105）如圖，將一張長方形紙片ABCD的一只角斜折，使點(diǎn)D總是落在對邊AB上，然后展開紙片，得到一條折痕l．這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？解析：設(shè)點(diǎn)折后落到邊上的點(diǎn)，則線段被折痕垂直平分，在折痕上取一點(diǎn)，且，則可得，，即折痕圍成的輪廓上的任意一點(diǎn)到定直線的距離與它到定點(diǎn)的距離相等，∴根據(jù)拋物線的定義可知折痕圍成的輪廓曲線是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.（凌晨講數(shù)學(xué)）二．真題回顧例1．（2003年全國卷）已知常數(shù)，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)、、分別在、、上移動，且，為與的交點(diǎn)（如圖），問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由解析:按題意有,,,，設(shè)由此有，，，直線的方程為：①直線的方程為：②，從①，②消去參數(shù)，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，整理得:.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為定值.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn),的距離之和為定值.例2．（2013年福建卷理科數(shù)學(xué)）如圖，在正方形中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別將線段和十等分，分點(diǎn)分別記為和，連接，過作軸的垂線與交于點(diǎn).（1）求證：點(diǎn)都在同一條拋物線上，并求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作直線與拋物線E交于不同的兩點(diǎn),若與的面積之比為4:1，求直線的方程.解析：（1）依題意，過且與軸垂直的直線的方程為，的坐標(biāo)為，所以直線的方程為.設(shè)的坐標(biāo)為，由得，即.所以點(diǎn)都在同一條拋物線上，且拋物線的方程為.（2）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由得，此時(shí)，直線與拋物線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn).設(shè)，則，因?yàn)椋?又，所以，分別代入上述韋達(dá)定理，得，解得.所以直線的方程為，即或.三．近期模擬例3.（廣東省25屆高三開學(xué)聯(lián)考）如圖，在矩形中，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，，直線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_______________.解析：以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（見右圖）.因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以直線的方程為①，因?yàn)椋灾本€的方程為②.由①可得，代入②化簡可得，結(jié)合圖象易知點(diǎn)可到達(dá)，但不可到達(dá)，所以點(diǎn)軌跡方程為，故答案為：.例4．在矩形中，，，、、、分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）.若、分別在線段、上.且.（1）求證：直線與的交點(diǎn)總在橢圓：上；（2）若、為曲線上兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，求證：直線過定點(diǎn).解析：（1）∵，∴，，又則直線的方程為

①，又則直線的方程為②，聯(lián)立①②:解得，，∴直線與的交點(diǎn)在橢圓：上；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)：，則，∴，不合題意，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，.聯(lián)立方程得，則，，，又，即，將，代入上式得，∴直線過定點(diǎn).例5．如圖，矩形中，AB=4，.、、、分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，設(shè)，.（1）證明：直線與的交點(diǎn)在橢圓：上；（2）已知為過橢圓的右焦點(diǎn)的弦，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，若，試判斷是否成等比數(shù)列，請說明理由.解析：（1）設(shè)，依題意，，，，，則直線的方程為①

，直線的方程為②

①×②得