97.二項式定理及應(yīng)用一．基本原理考點1.二項式定理1.一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，下面給出二項式定理的證明過程，利用排列組合來證明，這個方法可以進一步推廣到證明三項展開式.考點2.二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．（2）對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．（3）二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．（4）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，則，從而得到：．（5）最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．（6）求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．考點3.二項式系數(shù)和的計算與賦值（1）若，則的展開式中各項系數(shù)的和為當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項系數(shù)的和為，偶數(shù)項系數(shù)的和為；當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項系數(shù)的和為，偶數(shù)項系數(shù)的和為.（2）求形如的展開式的各項系數(shù)之和，只需令即可；求形如的展開式的各項系數(shù)之和，只需令即可（3）兩個常用的二項展開式：①（）②二．典例分析例1．（多選題）在的展開式中,下列說法正確的是(

)A．常數(shù)項是 B．第四項和第六項的系數(shù)相等C．各項的二項式系數(shù)之和為 D．各項的系數(shù)之和為解析：根據(jù)二項式定理,的通項公式為,對于A,常數(shù)項為,故A正確;對于B,第四項的系數(shù)為,第六項的系數(shù)為,故B錯誤;對于C,因為,所以各項的二項式系數(shù)之和為,故C正確;對于D,令,各項的系數(shù)之和為,故D錯誤.故選:AC.題型2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式例2．(2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科)的展開式中x3y3的系數(shù)為 ()A．5 B．10 C．15 D．20解析：展開式的通項公式為（且），所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，所以的系數(shù)為，故選：C例3．的展開式中，的系數(shù)為（）A．60 B． C．30 D．解析：因為，于是在5個多項式中，取2個用，再從余下3個多項式中取2個用，最后1個多項式用常數(shù)項相乘，因此含的項為，所以的系數(shù)為60.故選：A例4.在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)為___________解析：由只有第5項的二項式系數(shù)最大可得：.∴通項公式，令，解得.∴展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：.例5．已知的展開式中各項系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項為（

）A．60 B．80 C． D．解析：當(dāng)時，，解得，則的展開式第項，令，解得，所以，故選：B例6．已知，則______.解析：令，則，令，則，①令，則，②兩式相加得所以，所以.答案為：.例7．（2023春·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A．0 B． C． D．解析：設(shè)，則，令得：，即：，①令得：，②所以得：.故選：C.例8.一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1，2，3，5，6，8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為n，則二項式展開式的常數(shù)項為（

）A． B．60 C．120 D．240解析：因為，所以，所以展開式的通項為：，令得：，所以展開式的常數(shù)項為，故選：B．三．習(xí)題演練1.已知，則（

）A． B．C．除以5所得的余數(shù)是1 D．解析：選項A，因為，令，得到，所以選項A正確；選項B，因為二項展開式的通項公式，由通項公式知，二項展開式中偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，所以，由，令，得到，令，得到，所以，所以選項B錯誤；選項C，因為，所以除以5所得的余數(shù)是1，選項C正確；對于選項D，因為，兩邊同時對求導(dǎo)，得到，令，得到，所以選項D正確.故選：ACD.2．（多選題）在展開式中（

）A．展開式中不存在含的項 B．展開式所有項系數(shù)和為243C．展開式中含項的系數(shù)為30 D．展開式共21項解析：表示個相乘，含的項是在個中選個，個，所以展開式中含的項的系數(shù)為，故A錯誤；令，則展開式所有項系數(shù)和為，故B正確；含項是在個中選個，個，個，所以展開式中含的項的系數(shù)為，故C正確；的展開式的項可以理解為有個盒子，每個盒子中均有、、三個元素，現(xiàn)在從每個盒子中各取出個元素，再將它們相乘，若只選一個字母則有種，若選個字母則有種，若選個字母則有種，故展開式共有項，故D正確；故選：BCD3．（多選）在的展開式中,下列說法正確的是(

)A．常數(shù)項是 B．第四項和第六項的系數(shù)相等C．各項的二項式系數(shù)之和為 D．各項的系數(shù)之和為解析：