第二節(jié)二項式定理【課程標準】1.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.1.二項式定理二項式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnran-rbr+…+Cnn二項展開式的通項Tr+1=Cnran-rbr，它表示展開式的第r+二項式系數Cnr(r=0，1，…，[微提醒]二項式系數是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只與各項的項數有關，而與a，b的值無關；項的系數是指該項中除變量外的常數部分，2.二項式系數的性質【常用結論】若二項展開式的通項為Tr+1=gr·xh(r)(r=0，1，2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結論：(1)hr=0?Tr+1是常數項.(2)h(r)是非負整數?Tr+1是整式項.(3)h(r)是負整數?Tr+1是分式項.(4)h(r)是整數?Tr+1是有理項.【自主檢測】1.(多選)下列說法正確的是()A．Cnran-rbr是a+B．(a+b)n的展開式中每一項的二項式系數與a，b無關C．通項公式Tr+1=Cnran-rbr中的a和D．二項式的展開式中的系數最大項與二項式系數最大項是相同的答案：BC2.(1-2x)4展開式中第3項的二項式系數為()A．6 B．-6 C．24 D．-24答案：A解析：(1-2x)4展開式中第3項的二項式系數為C42=6.故選3.(2021·北京卷)x3-1x答案：-4解析：x3-1x4的展開式的通項Tr+1=C4r(x3)4-r·-1xr=(-1)rC4rx12-4r，令12-4r=0，4.2x-13答案：-40x2解析：2x-134x6的展開式的中間項為5.若x+1xn的展開式中二項式系數之和為64答案：20解析：因為二項式系數之和為2n=64，所以n=6，則Tr+1=C6r·x6-r·1xr=C6rx6-2r，當6-2r=0，即r=3時為常數項，即常數項為T考點一展開式中的通項問題多維探究角度1(a+b)n(n∈N+)型(1)(2024·河南開封模擬)在2x+x4n的展開式中，第2項的系數與第1項的系數之差為320，則該二項展開式中x8A．140 B．280 C．560 D．1120(2)x+13x30的展開式中A．27 B．24 C．26 D．25學生用書?第281頁(3)(2024·天津卷)在3x3+x3答案：(1)C(2)D(3)20解析：(1)由題意知，二項式2x+x4n展開式的通項為Tr+1=Cnr2xn-r·x4r=2n-rCnrx5r-n，又第2項的系數與第1項的系數之差為320，所以2n-1Cn1-2nCn0=320，即2n-1n-2=320，解得n=7，所以Tr+1=27-rC7rx5r-7，令5r-(2)x+13x30展開式的通項為Tr+1=C30r·(x)30-r·13xr=C30rx15-56r，r=0，1，2，…，30，若x的指數15-56r為整數，則r是6的倍數，所以當r=0，6，12，18，(3)Tr+1=C6r3x36-rx33r=C6r·36-2r·x6r-18.令6r-18=0，得r=3，所以常數項為求a+角度2(a+b)m(c+d)n(m，n∈N+)型(1)(2025·安徽蚌埠市第三次質量檢測)(1-x+x2)2·(1+x)3的展開式中，x4的系數為()A．1 B．2 C．4 D．5(2)(2025·江蘇南京六校聯考)已知1x-2y(mx-y)5的展開式中x2y4的系數為80，則答案：(1)B(2)±2解析：(1)依題意，(1-x+x2)2=1+x2+x4-2x+2x2-2x3=1-2x+3x2-2x3+x4，(1+x)3=1+3x+3x2+x3，所以(1-x+x2)2·(1+x)3的展開式中，x4的系數為-2×1+3(2)由題意可知，1x-2y(mx-y)5=1x(mx-y)5-2y(mx-y)5，在1x(mx-y)5的展開式中，由x-1C5kmx5-k-yk=-1km5-kC5kx4-kyk，令4-k=2，k=4，得k無解，即1x(mx-y)5的展開式中沒有x2y4的項；在2y(mx-y)5的展開式中，由2yC5rmx5-r-yr=2-1rm5-rC5rx5-ryr+1，令5-r=2，r+1=4，解得r=3，即2y(mx-y)5的展開式中x2y4的項的系數為2-13m5-3C53=-20求a+1.若m，n中有一個比較小，可考慮把它展開，如(a+b)2·c+dn=(a2+2ab+b2)(c+d)n2.觀察(a+b)(c+d)是否可以合并，如(1+x)5·(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2.3.分別得到(a+b)m，(c+d)n的通項，綜合考慮.注意：對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規(guī)律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏. 角度3a+(1)(2025·廣西桂林模擬)在(x2+2x+y)5的展開式中，x5y2的系數為()A．60 B．30 C．15 D．12(2)x2+1x+25(答案：(1)A(2)63解析：(1)由(x2+2x+y)5=[(x2+2x)+y]5，由通項公式可得Tr+1=C5rx2+2x5-ryr，因為要求x5y2的系數，故r=2，此時(x2+2x)3=x3·(x+2)3，其對應x5的系數為C3121=6.所以x5(2)x2+1x+25(x>0)可化為x2+1x10，因而Tr+1=C10r·1210-r·x10-2求a+1.因式分解法：將三項式利用因式分解變化為兩個二項式，然后再用二項式定理求解問題.2.逐層展開法：將三項式分成兩組，用二項式定理展開，再把其中含二項式的項展開，從而求解問題.3.組合知識法：把(a+b+c)n看成n個(a+b+c)的積，利用組合知識分析項的構成.對點練1.(1)3x-12xA．358 B．35C．-7 D．-7x(2)1-yxx+y8的展開式中x2y(3)x2-2x+y6的展開式中，x3y答案：(1)B(2)-28(3)-120解析：(1)由題意得中間項為C84(3x)4·-12x(2)(x+y)8展開式的通項為Tr+1=C8rx8-r·yr，r=0，1，…，7，8.令r=6，得T6+1=C86x2y6，令r=5，得T5+1=C85x3y5，所以1-yxx+y8(3)x2-2x+y6表示6個因式x2-2x+y的乘積，在這6個因式中，有3個因式選y，其余的3個因式中有2個選x2，剩下一個選-2x，即可得到x3y3的系數，即x3y3的系數是C63C32×考點二二項式系數與項的系數問題多維探究角度1二項式系數和與各項系數和(1)在x+3xn的展開式中，各項系數和與二項式系數和之比為32∶1，則x2的系數為A．50 B．70 C．90 D．120(2)(多選)已知x-28=a8x8+a7x7+…+a1x+a0，則A．a0=28B．a1+a2+…+a8=1C．|a1|+|a2|+…+|a8|=38D．a1+2a2+3a3+…+8a8=-8答案：(1)C(2)AD解析：(1)令x=1，則x+3xn=4n，所以在x+3xn的展開式中，各項系數和為4n，又二項式系數和為2n，所以4n2n=2n=32，解得n=5.展開式的通項為Tr+1=C5rx5-r·3xr=C5r3rx5-32r，令5-3(2)令x=0，則a0=(-2)8=28，故A正確；令x=1，則a0+a1+a2+…+a8=1-28=1，所以a1+a2+…+a8=1-28，故B錯誤；令x=-1，則a0-a1+a2-a3+…+a8=38，所以a0+a2+a4+…+a8=38+12，a1+a3+…+a7=1-382，a0=28，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-28，故C錯誤；對x-28=a8x8+a7x7+…+a1x+a0兩邊關于x求導得8(x-2)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7，再令x=1得a1+2a2+3a3+…+8求展開式中各項系數的和，在使用賦值法時，所賦值應視具體情況而定，一般取1，-1或0，有時也取其他值.如：1.形如ax+bn，ax2+bx+2.形如ax+byna，b∈R的式子，求其展開式的各項系數之和，學生用書?第282頁角度2系數與二項式系數的最值問題(多選)下列關于1x-2x6A．常數項為-160B．第4項的系數最大C．第4項的二項式系數最大D．所有項的系數和為1答案：ACD解析：1x-2x6的展開式的通項為Tr+1=C6r·1x6-r·-2xr=-2rC6r·x2r-6.對于A，令2r-6=0，解得r=3，所以常數項為-23C63=-8×20=-160，故A正確；對于B，由通項公式知，若要系數最大，r所有可能的取值為0，2，4，6，所以T1=x-6，T3=4C62x-2=60x-2，T5=-24C64x2=240x2，T7=(-2)6x6=64x6，所以展開式第5項的系數最大，故B錯誤；對于C，展開式共有7項，故第4項的二項式系數最大1.求二項式系數最大項(1)如果n是偶數，那么中間一項第n2(2)如果n是奇數，那么中間兩項第n+122.求展開式系數最大項求(a+bx)n(a，b∈R)的展開式中系數最大的項，一般是采用待定系數法，設展開式各項系數分別為A1，A2，…，An+1，且第r項系數最大，應用Ar≥A對點練2.(1)在x-1xn的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，A．-126 B．-70 C．-56 D．-28(2)設2+x10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，則(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2答案：(1)C(2)1解析：(1)因為只有第5項的二項式系數最大，所以n=8，x-1x8的展開式的通項為Tr+1=-1rC8rx8-32r(r=0，1，2，…，8)，所以展開式中奇數項的二項式系數與相應奇數項的系數相等，偶數項的二項式系數與相應偶數項的系數互為相反數，而展開式中第5項的二項式系數最大，(2)令x=1有a0+a1+…+a10=2+110，令x=-1有a0-a1+a2-…+a10=2-110，故(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)·(a0-a1+a2-…+a10考點三二項式定理的綜合應用師生共研(1)設a∈Z，且0≤a≤13，若512024+a能被13整除，則a等于()A．0 B．1 C．11 D．12(2)利用二項式定理計算1.056，則其結果精確到0.01的近似值是()A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34答案：(1)D(2)D解析：(1)因為a∈Z，且0≤a≤13，所以512024+a=52-12024+a=C20240522024-C20241522023+C20242522022-…-C2024202352+C20242024+a，因為512(2)1.056=1+0.056=C60+C61×0.05+C62×0.052+C63×0.053+…+C66×0.056=1+0.3+0.0375+0.0025二項式定理應用的題型及解法1.在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形，使被除式(數)展開后的每一項都含有除式的因式.2.二項式定理的一個重要用途是做近似計算：當n不是很大，|x|比較小時，1+xn≈1對點練3.(1)(2024·山東聊城一模)設6299=7n+r，其中n∈N+，且0≤r<7，則r=()A．3 B．4 C．5 D．6(2)0.996的計算結果精確到0.001的近似值是 ()A．0.940 B．0.941 C．0.942 D．0.943答案：(1)D(2)B解析：(1)6299=63-199=C9906399-10+C9916398-11+…+C9998631-198+C9999630-199，在所有的展開項中，只有C9999630-199=-1不能被7整除，(2)0.996=1-0.016=C60×1-C61×0.01+C62×0.012-C63×0.013+…+C66×0.016=1-0.06+0.0015-0.000021.[真題再現](1)(2023·天津卷)在2x3-1x6的展開式中(2)(2020·全國Ⅲ卷)x2+2x6的展開式中常數項是(3)(2022·新高考Ⅰ卷)1-yx(x+y)8的展開式中x2y6的系數為(答案：(1)60(2)240(3)-28解析：(1)展開式的通項公式Tr+1=C6r2x36-r-1xr=-1r×26-r×C6r×x18-4r，令18-4r=2，可得r=4，則x2(2)展開式的通項公式Tr+1=C6rx26-r2xr=2r×C6r×x12-3r，令12-3r=0，可得r=4，則常數項為(3)(x+y)8展開式的通項為Tr+1=C8rx8-ryr，r=0，1，…，7，8.令r=6，得T6+1=C86x2y6；令r=5，得T5+1=C85x3y5，所以1-yx(x+y)8的展開式中x2y[教材呈現](湘教版選擇性必修一P201T2)(1)求(a-2b)8的展開式中第6項的系數；(2)求x2-(3)求x3-2x(4)求(1+2x)6+(1-3x)5的展開式中x的系數點評：以上三道高考題考查二項式定理的應用，命題角度與教材習題類似.2.[真題再現](2024·全國甲卷)13+x10的展開式中答案：5解析：由題展開式通項公式為Tr+1=C10r1310-rxr，0≤r≤10且r∈Z，設展開式中第r+1項系數最大，則C10r1310-r≥C10r+1139-r，[教材呈現](湘教版選擇性必修一P201T4)在(3x-2y)20的展開式中，求：(1)二項式系數最大的項；(2)系數絕對值最大的項；(3)系數最大的項.點評：高考題與教材習題均考查二項式系數的最大值問題，命題角度與教材習題相同.課時測評80二項式定理對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(每小題5分，共60分)1.(2024·北京卷)在x-x4的展開式中，x3的系數為A．6 B．-6 C．12 D．-12答案：A解析：x-x4的展開式的通項為Tr+1=C4rx4-r-xr=C4r-1rx4-r2的通項r=0，12.Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2n-A．3n B．2·3n C．3n2-1 D答案：D解析：Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2n-1Cnn=12(21Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn)=12(20Cn0+21Cn1+22Cn3.(2024·福建福州模擬)已知2x3+1xn的展開式中的常數項是第7項，A．7 B．8 C．9 D．10答案：B解析：2x3+1xn的展開式的通項為Tr+1=Cnr2n-rx3n-4r，由題意知，當r=6時，3n-4r=0，4.(2024·河南開封模擬)3x+11A．14 B．-14 C．16 D．-16答案：A解析：因為在1x-15的展開式中，1x的系數為C54-14=5，常數項為C55-15=-1，所以35.(2025·山東德州二模)1+x-1y8展開式中x2yA．-840 B．-420 C．420 D．840答案：C解析：現有8個1+x-1y相乘，從每個1+x-1y中的三項1，x，-1y各取一項相乘時，若結果為x2y-2的常數倍，則所取的8項中有4個1，2個x，2個-1y.所以總的選取方法數目就是C84·C42·C22=706.(2024·河北張家口模擬)已知1-x2n的展開式中所有項的系數和等于1256A．72 B．35C．7 D．70答案：C解析：令x=1，得1-12n=1256，所以n=8，所以1-x28的展開式的通項為Tr+1=C8r-x2r，要求展開式中項的系數的最大值，則r必為偶數，所以T1=C80-x20=1，T3=C82-x22=7x2，T5=7.(多選)(2025·江西重點中學盟校第一次聯考)在2x-1xA．二項式系數之和為32B．第3項的系數最大C．所有項系數之和為-1D．不含常數項答案：ABD解析：由于二項式系數之和為C50+C51+…+C55=25=32，故A正確；設展開式第r+1項為Tr+1=C5r(2x)5-r-1xr=(-1)r·C5r·25-r·x5-2r，r=0，1，2，…，5，易知T2，T4，T6的系數均小于0，且T1=32x5，T3=80x，T5=10x-3，故第3項的系數最大，為80，故B正確；令x=1得所有項系數之和為15=1，故C錯誤；當5-2r=0，則r=52，但r=52?{0，1，2，3，8.(多選)已知(x-1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5x+15，則A．a0=-32 B．a2=-80C．a3+4a4=0 D．a0+a1+…+a5=1答案：ABC解析：令x=-1，得(-1-1)5=a0，即a0=-32，故A正確；令x=0，得-15=a0+a1+…+a5，即a0+a1+…+a5=-1，故D不正確；令x+1=y，則原式就變?yōu)?y-2)5=a0+a1y+a2y2+…+a5y5，根據二項式定理知，a2即二項式(y-2)5的展開式中y2的系數，Tr+1=C5ry5-r-2r，故a2=C53-23=-80，故B正確；a4=C51-21=-10，a3=C52-229.(多選)(2025·河北滄州模擬)已知1-2x2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2A．展開式中所有項的二項式系數和為22025B．展開式中系數最大項為第1352項C．a1+a3+a5+…+a2025=3D．a12+a222+a32答案：AD解析：易知(1-2x)2025的展開式中所有項的二項式系數和為22025，故A正確；由二項式通項，知Tk+1=C2025k-2xk=-2kC2025kxk，所以第1352項的系數為-21351C20251351<0，所以第1352項不是系數最大項，故B錯誤；當x=1時，有a0+a1+a2+…+a2025=-1①，當x=-1時，有a0-a1+a2-a3+…+a2024-a2025=32025②，①-②2可得，a1+a3+a5+…+a2025=-1+320252，故C錯誤；當x=0時，a0=1，當x=12時，a0+a110.(2025·山東泰安模擬)已知二項式x+1x5n(n∈N+)展開式中含有常數項，答案：6解析：二項式x+1x5n(n∈N+)展開式的通項為Tr+1=Cnrxn-r1x5r=Cnrxn-6r(n∈N+，r∈N)，因為二項式x+1x5n(n∈N+)展開式中含有常數項，所以n-6r=0有解，所以11.(2022·浙江卷)已知多項式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a2=，a1+a2+a3+a4+a5=.

答案：8-2解析：由多項式展開式可知，a2=2C42(-1)2+C43(-1)3=12-4=8.令x=0可得a0=2，令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，所以a1+a2+a3+a4+a5=12.(2025·江蘇連云港階段性調研)設n為正整數，a+b2n展開式的二項式系數的最大值為x，a+b2n+1展開式的二項式系數的最大值為y，若9答案：4解析：由a+b2n展開式的二項式系數的最大值為x，則有x=C2nn，由a+b2n+1展開式的二項式系數的最大值為y，則有y=C2n+1n，由9x=5y，故有9C2nn=5C2n+1n，即9×2n!n!(每小題8分，共16分)13.(2024·遼寧大連模擬)1+2x-x2n展開式中各項系數的和為64，A．-60 B．-30 C．100 D．160答案：C解析：取x=1代入，得(1+2-1)n=64，解得n=6.則原式=(1+2x-x2)6=C601+2x6+C61(1+2x)5-x2+…+C66-x26，其中，只有前兩項包含x3項.1+2x6=C602x0+C612x1+…+C66(2x)6，其中含x3項的系數為C63·23=160；1+2x5=C502x014.(2025·湖南常德模擬)已知(2x-3)