第三節(jié)向量的數量積【課程標準】1.通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，體會平面向量的數量積與向量投影的關系.2.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.3.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.4.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，力學問題與其他一些實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用.1.向量的夾角(1)定義：設a，b是兩個非零向量，任選一點O，作OA=a，OB=b，則射線OA，OB所夾的最小非負角∠AOB=θ稱為向量a，b所成的角(也稱夾角)，記作<a，b>.(2)范圍：取值范圍規(guī)定為[0，π].①<a，b>=<b，a>.②當θ=0時，a，b方向相同；當θ=π時，a，b方向相反；當θ=π2時，a與b垂直，記作a⊥b③由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以規(guī)定零向量0與a的夾角為0，此時零向量與任一向量平行，也可以規(guī)定0與a的夾角為π2，此時零向量與任一向量垂直2.向量的數量積(1)定義：設a，b是任意兩個向量，<a，b>是它們的夾角，則定義a·b=|a||b|cos<a，b>為a與b的數量積.(2)投影向量定義：設a，b是兩個非零向量，作向量OA=a，OB=b，兩個向量的夾角為α，過點B作BB1⊥OA于點B1，把OB1稱為OB在OA方向上的投影向量，投影向量的長度|OB1|=|OB||cosα|稱為投影長，|OB|cosα刻畫了投影向量的大小和方向，稱為OB在(3)數量積的幾何意義：a與b的數量積等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosα的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cosα的乘積.

(4)b在a方向上的投影|b|cosα公式：|b|cosα=a·(5)數量積的運算律①交換律：a·b=b·a；②與數乘的結合律：a·(λb)=λ(a·b)；③分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.3.數量積的坐標表示已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ=<a，b>.結論幾何表示坐標表示向量的長度|a|=a|a|=x夾角余弦值cosθ=acosθ=x垂直條件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x[微提醒](1)向量平行與垂直的坐標公式不要記混.(2)a⊥b?a·b=0是對非零向量而言的，若a=0，雖然有a·b=0，但不能說a⊥b.【常用結論】(1)平面向量數量積運算的常用公式①(a+b)·(a－b)=a2－b2.②(a±b)2=a2±2a·b+b2.(2)有關向量夾角的兩個結論①兩向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線.學生用書?第160頁②兩向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0且a與b不共線.【自主檢測】1.(多選)下列結論錯誤的是()A．兩個向量的夾角的范圍是0B．若a，b共線，則a·b=|a|·|b|C．兩個向量的數量積是一個實數，向量的加、減、數乘運算的結果是向量D．若a·b=a·c，則b=c答案：ABD2.已知|a|=5，|b|=2，a·b=5，則a與b的夾角θ等于()A．45° B．135° C．－45° D．30°答案：A解析：cosθ=a·b|a||b|=552=22，又因為θ∈[0°，1803.已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=2，則|a+2b|=.

答案：27解析：a·b=|a||b|cos60°=2，|a+2b|=a2+4b2+4a4.如圖，在☉C中，弦AB的長度為4，則AB·AC=.

答案：8解析：取AB的中點M，連接CM(圖略)，則CM⊥AB，AM=12AB.所以AB·AC=|AB|·|AC|cos∠BAC=|AB||AM|=12|AB|25.(用結論)已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a與a+λb的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍為.

答案：－53解析：由題意知，a+λb=(1+λ，2+λ)，因為a與a+λb的夾角為銳角，所以a·(a+λb)>0，且a與a+λb不共線，所以1+λ+2(2+λ)>0，且2(1+λ)≠2+λ，解得λ>－53且λ≠0，所以實數λ的取值范圍為－53，0∪(0考點一平面向量數量積的基本運算自主練透1.(2025·福建福州模擬)已知向量a，b為單位向量，且a⊥b，則b·(4a－3b)等于()A．－3 B．3 C．－5 D．5答案：A解析：由題意可得，|a|=1，|b|=1，a·b=0，則b·(4a－3b)=4a·b－3b2=－3b2=－3.故選A．2.(2023·全國乙卷)正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC·ED=()A．5 B．3 C．25 D．5答案：B解析：法一：以{AB，AD}為一組基，可知|AB|=|AD|=2，AB·AD=0，則EC=EB+BC=12AB+AD，ED=EA+AD=－12AB+AD，所以EC·ED=12AB+AD·－12AB+法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，則E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得EC=(1，2)，ED=(－1，2)，所以EC·ED=－1+4=3.故選B．3.已知正方形ABCD的對角線AC=2，點P在另一條對角線BD上，則AP·AC的值為()A．－2 B．2 C．1 D．4答案：B解析：設AC∩BD=O，則O為AC的中點，且AC⊥BD，如圖所示，由AP在AC方向上的投影向量為AO，得AP·AC=AO·AC=12AC2=2.4.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠BAD=π4，若AB·AC=2AB·AD，則AD·AC=.答案：12解析：因為AB·AC=2AB·AD，所以AB·AC－AB·AD=AB·AD，所以AB·DC=AB·AD.因為AB∥CD，CD=2，∠BAD=π4，所以2|AB|=|AB||AD|cosπ4，化簡得|AD|=22.故AD·AC=AD·AD+DC=|AD|2+AD·DC=222+求兩個向量的數量積的三種方法

考點二平面向量數量積的應用多維探究角度1向量的模(1)(2025·山東煙臺期末)若平面向量a與b的夾角為60°，a=(2，0)，|b|=1，則|a+2b|=()A．3 B．23 C．4 D．12(2)(2023·新課標Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a－b|=3，|a+b|=|2a－b|，則|b|=.

答案：(1)B(2)3解析：(1)因為平面向量a與b的夾角為60°，a=(2，0)，|b|=1，所以|a|=22+02=2，a·b=|a||b|cos60°=2×1×cos60°=1，所以|a+2b|=a+2b2=a2+4(2)法一：因為|a+b|=|2a－b|，即(a+b)2=(2a－b)2，則a2+2a·b+b2=4a2－4a·b+b2，整理得a2－2a·b=0，又因為|a－b|=3，即(a－b)2=3，則a2－2a·b+b2=b2=3，所以|b|=3.法二：設c=a－b，則|c|=3，a+b=c+2b，2a－b=2c+b，由題意可得(c+2b)2=(2c+b)2，則c2+4c·b+4b2=4c2+4c·b+b2，整理得c2=b2，即|b|=|c|=3.求平面向量的模的方法

角度2向量的夾角(1)已知向量a=(3，1)，b=(2，2)，則cos<a+b，a－b>=()A．117 B．17C．55 D．學生用書?第161頁(2)(2023·全國甲卷)已知向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，|c|=2，且a+b+c=0，則cos<a－c，b－c>=()A．－45 B．－2C．25 D．答案：(1)B(2)D解析：(1)因為a=(3，1)，b=(2，2)，所以a+b=(5，3)，a－b=(1，－1)，則|a+b|=52+32=34，|a－b|=1+1=2，(a+b)·(a－b)=5×1+3×(－1)=2，所以cos<a+b，a－b>=(a+b)·((2)因為a+b+c=0，所以a+b=－c，即a2+b2+2a·b=c2，即1+1+2a·b=2，所以a·b=0.如圖，設OA=a，OB=b，OC=c，由題知，OA=OB=1，OC=2，△OAB是等腰直角三角形，AB邊上的高OD=22，AD=22，所以CD=CO+OD=2+22=322，tan∠ACD=ADCD=13，cos∠ACD=310，cos<a－c，b－c>=cos∠ACB=cos2∠ACD=2cos2∠ACD－1=2×3求平面向量的夾角的方法

角度3向量的垂直(1)(2024·新課標Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x=()A．－2 B．－1 C．1 D．2(2)(2025·浙江寧波“十?！甭摽?已知平面向量a，b滿足a=(1，2)，|b－2a|=4且(b－2a)⊥a，則|b|=()A．5 B．5 C．6 D．6答案：(1)D(2)D解析：(1)因為b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)=0，即b2=4a·b.因為a=(0，1)，b=(2，x)，所以b2=4+x2，a·b=x，得4+x2=4x，所以x－22=0，解得x=2.(2)由a=(1，2)，得|a|=5，由(b－2a)⊥a，得(b－2a)·a=0，則a·b=2a2=10，由|b－2a|=4，得(b－2a)2=16，即b2+4a2－4a·b=16，則b2+4×5－4×10=16，所以|b|=6.故選D．有關平面向量垂直的兩類題型

角度4投影向量如圖，已知O為平面直角坐標系的原點，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB|=2，則向量BC在向量OA上的投影向量的坐標為.

答案：(－1，0)解析：設B(x1，y1)，C(x2，y2)，又因為A(2，0)，所以x1=2+|AB|cos(180°－∠OAB)，y1=|AB|sin(180°－∠OAB)，x2=x1－|BC|cos(∠OAB+∠ABC－180°)，y2=|BC|sin(∠OAB+∠ABC－180°)+y1，所以B52，32，C32，332，BC=(－1，3)，OA=(2，0)，所以BC在OA上的投影數量為BC·OA設向量a與b的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cosθ·b|b|=a·b|b|·b|b|，b在a上的投影向量為|b|cos對點練.(1)(多選)已知向量m，n滿足|m|=1，|n|=2，|m+n|=3，則下列說法正確的是()A．m·n=－1 B．m與n的夾角為2πC．|m－n|=7 D．(m+n)⊥(m－n)(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，則t=()A．－6 B．－5 C．5 D．6(3)(2025·安徽馬鞍山質量監(jiān)測)已知平面向量a=(1，3)，b=(－2，4)，則a在b方向上的投影向量為()A．(1，－2) B．(－1，2)C．(1，3) D．－(4)(開放題)(2025·重慶第六次質量檢測)已知向量a=(1，2)，b=(－2，1)，c=(m，n)滿足(a+2b)⊥c，請寫出一個符合題意的向量c的坐標.

答案：(1)ABC(2)C(3)B(4)(4，3)(答案不唯一)解析：(1)因為|m|=1，|n|=2，|m+n|=3，所以|m|2+|n|2+2m·n=3，即1+4+2m·n=3，解得m·n=－1，故A正確；因為cos<m，n>=m·n|m||n|=－12，0≤<m，n>≤π，所以<m，n>=2π3，故B正確；因為|m－n|2=|m|2+|n|2－2m·n=1+4+2=7，所以|m－n|=7，故C正確；因為(m+n)·(m－n)=|m|2－|n|2=1－4=－3≠(2)由題意，得c=a+tb=(3+t，4)，所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因為<a，c>=<b，c>，所以cos<a，c>=cos<b，c>，即a·c|a||c|=b·c|b||c|，即(3)由題知，a=(1，3)，b=(－2，4)，所以a·b=－2+12=10，|b|=4+16=25.設a與b的夾角為θ，所以a在b方向上的投影向量是|a|cosθb|b|=a·b|b|2(4)根據題意，a+2b=(－3，4)，且(a+2b)⊥c，則(a+2b)·c=－3m+4n=0，即m=43n，當n=3時，m=4，則c=(4，3)(答案不唯一)學生用書?第162頁1.[真題再現](2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，－1).若(a+λb)⊥(a+μb)，則 ()A．λ+μ=1 B．λ+μ=－1C．λμ=1 D．λμ=－1答案：D解析：因為a=1，1，b=1，－1，所以a+λb=1+λ，1－λ，a+μb=1+μ，1－μ，由a+λb⊥a+μb，可得a+λb·[教材呈現](湘教版必修二P40T11)已知|a|=2，|b|=3，a與b的夾角為π3，c=5a+3b，d=3a+kb，求實數k(1)c與d平行；(2)c與d垂直.點評：教材習題和高考題類似，都是根據向量垂直的充要條件求參數，其一般方法為根據平面向量數量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.2.[真題再現](2024·新課標Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且(b－2a)⊥b，則|b|=()A．12 B．2C．32 D．答案：B解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b=b2－2a·b=0，所以b2=2a·b.將|a+2b|=2的兩邊同時平方，得a2+4a·b+4b2=4，即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4，解得|b|2=12，所以|b|=22.故選[教材呈現](湘教版必修二P40T14)已知e1，e2是單位向量，且e1·e2=12.若向量b滿足b·e1=b·e2=1，求|b|點評：高考題和教材習題考查的都是求向量的模，一般方法就是根據題目條件，利用向量模的平方得出答案.課時測評49向量的數量積對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(每小題5分，共50分)1.(2025·江蘇揚州模擬)已知單位向量e1，e2的夾角為120°，則(2e1－e2)·e2=()A．－2 B．0 C．1 D．2答案：A解析：因為單位向量e1，e2的夾角為120°，所以(2e1－e2)·e2=2e1·e2－e22=2e1·e2cos120°－e22=2×1×1×－12－12.(2025·福建三明模擬)已知向量a=(λ，2)，b=(－1，2)，若a⊥b，則|a+b|等于()A．5 B．6 C．41 D．43答案：A解析：因為a=(λ，2)，b=(－1，2)，a⊥b，所以a·b=0，即－λ+4=0，所以λ=4，所以a+b=(3，4)，|a+b|=32+42=53.已知a，b為非零向量，且3|a|=2|b|，|a+2b|=|2a－b|，則a與b夾角的余弦值為()A．38 B．3C．68 D．答案：B解析：將等式|a+2b|=|2a－b|兩邊平方，得8a·b+3b2=3a2，設a與b的夾角為θ，即8|a||b|cosθ+3|b|2=3|a|2，將|a|=23|b|代入得cosθ=316.故選4.(2025·江西贛州模擬)在平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，AB·AD=－6，DC=3DM，則MA·MB=()A．16 B．14 C．12 D．10答案：A解析：因為AB=3，AD=4，AB·AD=－6，DC=3DM，所以MA·MB=DA－DM·CB－CM=－AD－13DC·－AD+23DC=AD2－135.已知菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，點P是BC的中點，則PA·PD等于()A．0 B．3 C．3 D．9答案：C解析：由題意可得PA=－AB+BP=－AB+12AD，PD=PC+CD=12AD－AB，故PA·PD=－AB+12AD·12AD－AB6.(多選)已知向量m+n=(3，1)，m－n=(1，－1)，則()A．(m－n)∥n B．(m－n)⊥nC．|m|=2|n| D．<m，n>=45°答案：BCD解析：依題意，m=12[m+n+m－n]=2，0，n=12[(m+n)－(m－n)]=1，1，所以(m－n)·n=(1，－1)·(1，1)=0，所以(m－n)⊥n，故A錯誤，B正確；|m|=2，|n|=2，所以|m|=2|n|，故C正確；cos<m，n>=m·n|m||n|=22×2=22，因為0°≤<m，n7.(多選)已知向量a=(2，1)，b=(1，－1)，c=(m－2，－n)，其中m，n均為正數，且(a－b)∥c，則下列說法正確的是()A．a與b的夾角為鈍角B．向量a在b上的投影向量為22C．2m+n=4D．mn的最大值為2答案：CD解析：對于A，向量a=(2，1)，b=(1，－1)，則a·b=2－1=1>0，又a，b不共線，所以a，b的夾角為銳角，故A錯誤；對于B，向量a在b上的投影向量為a·b|b|·b|b|=12b，故B錯誤；a－b=(1，2)，若(a－b)∥c，則－n=2(m－2)，變形可得2m+n=4，故C正確；由2m+n=4，且m，n均為正數，得mn=12(2m·n)≤122m+n22=2，當且僅當m=1，n=8.在△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，△ABC外接圓圓心為O，則AO·AB=.

答案：8解析：由題意得O為△ABC外心，故AO·AB=12AB29.已知a=(k，－2)，b=(－3，5)，且a與b的夾角為鈍角，則實數k的取值范圍是.

答案：－103解析：因為a=(k，－2)，b=(－3，5)，且a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0且a，b不共線，則(k，－2)·(－3，5)=－3k－10<010.已知向量b=(1，3)，向量a滿足|a|cos<a，b>=－6，則a·b=；若(λa+b)⊥b，則實數λ的值為.

答案：－121解析：因為b=1，3，所以|b|=1+3=2.因為|a|cos<a，b>=－6，所以a·b=|a|·|b|cos<a，b>=－12.因為(λa+b)⊥b，所以(λa+b)·b=0，所以λa·b+b2=0，所以－12λ+4=0，解得λ=(每小題8分，共32分)11.(2025·湖北武漢高三四調)在△ABC中，AB·AC=4，|BC|=2，且點D滿足BD=DC，則|AD|=()A．5 B．6 C．3 D．3答案：A解析：由題設，D為BC中點，則AD=12(AB+AC)，所以|AD|2=14(AB+AC)2=14(AB2+2AB·AC+AC2)，又BC2=(AC－AB)2=AC2－2AC·AB+AB2=4，即AC2+AB2=4+2AC·AB=12，所以|AD|2=14×(12+8)12.已知P是△ABC所在平面內一點，有下列四個等式：甲：PA+PB+PC=0；乙：PA·PA－PB=PC·丙：|PA|=|PB|=|PC|；丁：PA·PB=PB·PC=PC·PA.如果只有一個等式不成立，則該等式為()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案：B解析：甲：PA+PB+PC=0，則PA+PB=－PC，故P為△ABC的重心；乙：PA·PA－PB=PC·PA－PB，則(PA－PB)·CA=BA·CA=0，故AB⊥AC，即△ABC為直角三角形；丙：點P到三角形三個頂點的距離相等，故P為△ABC的外心；?。篜A·PB=PB·PC，則PA－PC·PB=CA·PB=0，同理可得BA·PC=CB·PA=0，即P為△ABC的垂心，當△ABC為等邊三角形時，三心重合，此時甲、丙、丁均成立，乙不成立，滿足要求13.(多選)(2025·山東濟寧聯考)已知16個邊長為2的小菱形的位置關系如圖所示，且每個小菱形的最小內角為60°，圖中的A，B，C，D四點均為菱形的頂點，則()A．AD·BC=－20B．AC在AB上的投影向量為5C．AD=712ABD．AD在AC上的投影向量的模為27答案：BC解析：因為每個小菱形的最小內角為60°，所以每個小菱形都可以分為兩個正三角形.以該圖形的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系