第八節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系【課程標準】1.了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.能利用方程及數(shù)形結合思想解決焦點弦、中點弦問題.1.直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ>0；直線與圓錐曲線相切?Δ=0；直線與圓錐曲線相離?Δ<0.[微提醒](1)與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.(2)與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.2.弦長公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|=x1-x22+y1-y2或|AB|=1+1k2|y1=1+【常用結論】(1)圓錐曲線中最短的焦點弦為通徑，橢圓、雙曲線中的通徑長為2b2a，拋物線中的通徑長為(2)拋物線中與焦點弦有關的常用結論如圖，傾斜角為θ的直線AB與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，設A(x1，y1)，B(x2，y2).則有①y1y2=-p2，x1x2=p2②焦點弦長：|AB|=x1+x2+p=2psin2θ.通徑(過焦點垂直于對稱軸的弦③焦半徑：|AF|=p1-cosθ，|BF|=p1(3)若A，B為拋物線y2=2px(p>0)上兩點，且OA⊥OB，則直線AB過定點(2p，0).(4)圓錐曲線中的切線問題①橢圓的切線方程：橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點P(x0，y0)處的切線方程是②雙曲線的切線方程：雙曲線x2a2-y2b2=1(學生用書?第235頁0)上一點P(x0，y0)處的切線方程是x0xa2-③拋物線的切線方程：拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0，y0)處的切線方程是y0y=p(x+x0).【自主檢測】1.(多選)下列說法正確的是()A．過點1，12的直線一定與橢圓x22+B．直線與拋物線只有一個公共點，則該直線與拋物線相切C．與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點D．圓錐曲線的通徑是所有的焦點弦中最短的弦答案：ACD2.直線y=kx+2與橢圓x23+y22=1有且只有一個交點，則kA．63 B．-C．±63 D．±答案：C解析：由y=kx+2，x23+y22=1，得(2+3k2)x2+12kx+6=0，由題意知Δ=(12k)2-4×6×(2+33.(2024·北京海淀二模)已知拋物線C：y2=4x，經(jīng)過點P的任意一條直線與C均有公共點，則點P的坐標可以為()A．(0，1) B．(1，-3)C．(3，4) D．(2，-2)答案：D解析：0，1在y軸上，所以0，1在拋物線外部，將x=1代入拋物線C：y2=4x中，則|y|=2<3，所以(1，-3)在拋物線外部，將x=3代入拋物線C：y2=4x中，則|y|=23<4，所以3，4在拋物線外部，將x=2代入拋物線C：y2=4x中，則|y|=22>2，所以(2，-2)在拋物線內(nèi)部，將選項中的點分別在直角坐標系中畫出來，只有點D2，-2在拋物線內(nèi)部，故當點P位于點D(2，-2)處，此時經(jīng)過點P4.已知點A，B是雙曲線C：x22-y23=1上的兩點，線段AB的中點是M(3，2)，則直線答案：9解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為點A，B是雙曲線C上的兩點，所以x122-y123=1，x222-y223=1，兩式相減得(x1+x2)x1-x22=y1+y2y1-y23，因為M(3，2)考點一直線與圓錐曲線位置關系的判斷師生共研已知直線l：y=2x+m，橢圓C：x24+y22=1.試求當m取何值時，直線l(1)有兩個不同的公共點；(2)有且只有一個公共點.解：將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組y將①代入②，整理得9x2+8mx+2m2-4=0. ③方程③根的判別式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)當Δ>0，即-32<m<32時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個不同的公共點.(2)當Δ=0，即m=±32時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解.即直線l與橢圓C有且只有一個公共點.判斷直線與圓錐曲線位置關系的方法在判斷直線和圓錐曲線的位置關系時，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應注意斜率不存在的情形.對點練1.(1)(2025·廣東佛山模擬)已知拋物線的方程為y2=8x，若過點Q(-2，0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A．[-1，1]B．[-1，0)∪(0，1]C．(-∞，-1]∪[1，+∞)D．(-∞，-1)∪(1，+∞)(2)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是.

答案：(1)A(2)-解析：(1)由題意知，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k(x+2)，代入拋物線方程，消去y并整理，得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.當k=0時，顯然滿足題意；當k≠0時，Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0，解得-1≤k<0或0<k≤1.綜上，-1≤k≤1.故選A．(2)由y=kx+2，x2-y2=6，得(1-k2)x2-4kx-10=0.設直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2考點二圓錐曲線弦的有關問題多維探究角度1中點弦問題(1)(2023·全國乙卷)設A，B為雙曲線x2-y29=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是(學生用書?第236頁A．(1，1) B．(-1，2)C．(1，3) D．(-1，-4)(2)已知P(1，1)為橢圓x24+y22=1內(nèi)一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分，答案：(1)D(2)x+2y-3=0解析：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的中點Mx1+x22，y1+y22，可得kAB=y1-y2x1-x2，kOM=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因為A，B在雙曲線上，則x12(2)法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為y-1=k(x-1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2).由y-1=k(x-1)，x24+y22=1，消去y得，(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0，所以x1+x2=4k(k-1)2k2+1，又因為x1+x2=2，所以4k(k-1)2k2+1法二：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x124+y122=1①，x224+y222=1②，①-②得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)2=0，因為x1+x2=2，y1+y2=2，所以x1-x22+y1-y2=0，又x2-x1≠角度2一般弦問題已知點A(0，-2)，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF(1)求E的方程；(2)設過點P(0，-3)且斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N，且|MN|=827，求k解：(1)由離心率e=ca=22，得a=2直線AF的斜率為0--2c-0=2，解得c=1，所以a=2，所以b2=a2所以橢圓E的方程為x22+y2=(2)設直線l：y=kx-3，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y=kx-3，x22+y2=1因為M，N是不同的兩點，所以判別式Δ=-43k2-4×4×1+2k2>所以x1+x2=43k1+2k2，所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x解得k2=3或k2=-1917(舍去)，所以k=±31.弦及弦中點問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)的關系表示中點.(2)點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構造中點、斜率間的關系.若已知弦的中點坐標，可求弦所在直線的斜率.2.弦長的求解方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)當弦所在直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則利用弦長公式求解.(3)當弦過焦點時，求弦長可結合焦點弦公式求解.對點練2.(1)已知雙曲線方程為x2-y23=1，則以A(2，1)為中點的弦所在直線l的方程是(A．6x+y-11=0 B．6x-y-11=0C．x-6y-11=0 D．x+6y+11=0(2)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離為1，若拋物線C上存在關于直線l：x-y-2=0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標為()A．(1，-1) B．(2，0)C．12，-32 D．答案：(1)B(2)A解析：(1)設直線l交雙曲線x2-y23=1于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1+x2=4，y1+y2=2，由已知得x12-y123=1，x22-y223=1，兩式作差得x12-x22=y(2)因為焦點到準線的距離為p，則p=1，所以y2=2x.設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y12=2x1，y22=2x2，則(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2)，所以kPQ=2y1+y2，又因為P，Q關于直線l對稱，所以kPQ=-1，即y1+y2=-2，所以PQ中點的縱坐標為y1+y22=-1，又因為PQ的中點在直線l上對點練3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB的斜率為0時，(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|+|CD|=487，求直線AB的方程解：(1)由題意知e=ca=12，2a=又a2=b2+c2，解得a=2，b=3，所以橢圓方程為x24+y2(2)①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|+|CD|=7，不滿足條件.②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為y=k(x-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y=-1k(x-1)將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，則x1+x2=8k23+4k2，x所以|AB|=k2+1|x1-=k2+1·(同理，|CD|=121k2所以|AB|+|CD|=12k2=84k2+解得k=±1，所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.學生用書?第237頁考點三直線與圓錐曲線的綜合問題師生共研已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點P(1，0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若△ABO的面積為35，求直線l的方程解：(1)由題意可得c解得a2=4，b2=1，故橢圓C的標準方程為x24+y2=(2)由題意可知直線的斜率不為0，則設直線的方程為x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立x整理得(m2+4)y2+2my-3=0，Δ=(2m)2-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0，則y1+y2=-2mm2+4，y1y故|y1-y2|=(y1+y2因為△ABO的面積為35所以12|OP||y1-y2|=12×1·4m2+設t=m2+3≥3，則2整理得(3t-1)(t-3)=0，解得t=3或t=13(舍去)，即m=±6故直線的方程為x=±6y+1，即x±6y-1=0.解決直線與圓錐曲線的綜合問題的策略與方法1.策略是“直曲聯(lián)立、韋達定理”.2.常用方法是“設而不求法”，即聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件，建立有關參變量的等量關系求解.3.涉及直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在的特殊情形.注意：(1)直曲聯(lián)立后得到一元二次方程，一定要考慮判別式Δ.(2)在直曲聯(lián)立時，設直線方程有兩種常用方法：①若直線經(jīng)過的定點在縱軸上，一般設為斜截式方程y=kx+b便于運算，即“定點落在縱軸上，斜截式能幫大忙”；②若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設為my=x-a可以減小運算量，即“直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”.對點練4.(2024·北京卷)已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點(0，t)(t>2)且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點A，B，過點A和C(0，1)的直線(1)求橢圓E的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值.解：(1)由題意b=c=22=2，從而a=b2+所以橢圓方程為x24+y22=1，離心率為(2)由題意可知直線AB的斜率存在且不為0，從而設AB：y=kx+tk≠0，t>2，聯(lián)立x24+y22=1，y=kx+t，化簡并整理得由題意Δ=16k2t2-81+2k2t2-2=8(4k2+2-t2)>0，即k，t應滿足4k2所以x1+x2=-4kt1+2k2，若直線BD斜率為0，由橢圓的對稱性可設D-x所以AD：y=y1-y2x1+x2x-得yC=x1y2+x2y1x1+x2所以t=2，此時k應滿足4k2+2-t2=4k2-綜上所述，t=2滿足題意，此時k<-22或k>2[真題再現(xiàn)](2024·北京卷)若直線y=k(x-3)與雙曲線x24-y2=1只有一個公共點，則k的一個取值為答案：12或解析：由題意，知該雙曲線的漸近線方程為y=±12x，直線y=k(x-3)過定點(3，0).因為點(3，0)在雙曲線內(nèi)，所以要使過該點的直線與雙曲線只有一個公共點，則該直線與雙曲線的漸近線平行，所以k=±12(任答一個即可[教材呈現(xiàn)](湘教版選擇性必修一P136例6)討論直線y=x+b與雙曲線x2-y2=1的公共點的個數(shù).點評：這兩題相似度很高，是源于教材的典型的高考題，都是考查直線與雙曲線的位置關系問題.課時測評69直線與圓錐曲線的位置關系對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(1-8，每小題5分，共40分)1.已知直線l：kx+y+1=0，橢圓C：x216+y24=1，則直線l與橢圓CA．相離 B．相切C．相交 D．無法確定答案：C解析：由直線l：kx+y+1=0，得直線l過定點(0，-1)，因為016+14<1，所以該點在橢圓C：x216+y24=1內(nèi)部.所以直線l與橢圓2.直線l過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，且與C交于A，B兩點，若使|AB|=2的直線l有且僅有1條，則p等于()A．14 B．1C．1 D．2答案：C解析：由拋物線的對稱性知，要使|AB|=2的直線l有且僅有1條，則AB必須垂直于x軸，故A，B兩點坐標為p2，±1，代入拋物線方程可解得p=13.“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：充分性：因為“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”，所以直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.故充分性不滿足.必要性：因為“直線與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”.故必要性滿足.所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件.故選B．4.(2024·安徽六安模擬)拋物線C：y2=4x的準線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，則△OAB的面積為()A．1 B．2 C．4 D．8答案：A解析：因為拋物線C：y2=4x的準線為l，所以l的方程為x=-1，A(-1，0)，設過點A作拋物線的一條切線為x=my-1，m>0，由x=my-1，y2=4x，得y2-4my+4=0，所以Δ=(-4m)2-4×4=0，解得m=1，所以y2-4y+4=0，解得y=2，即yB=2，所以△OAB的面積為5.(多選)(2024·山東青島質檢)已知雙曲線C過點3，2，且漸近線方程為y=±33x，則A．雙曲線C的方程為x23-y2B．左焦點到漸近線的距離為1C．直線x-2y-1=0與雙曲線C有兩個公共點D．過右焦點截雙曲線C所得弦長為23的直線有三條答案：ABD解析：因為雙曲線的漸近線方程為y=±33x，且點(3，2)與原點連線的斜率小于33，所以可設雙曲線方程為x23-y2=mm≠0.又雙曲線過點(3，2)，所以m=323-22=1，所以雙曲線C的方程為x23-y2=1，故A正確；由雙曲線方程知a2=3，b2=1，c=a2+b2=2，則左焦點為(-2，0)，漸近線方程為x±3y=0，則左焦點到漸近線的距離d=|-2|12+±32=1，故B正確；將直線與雙曲線C的方程聯(lián)立并消去x整理得y2-22y+2=0，因為Δ=-222-4×1×2=0，所以直線與雙曲線只有一個公共點，故C錯誤；因為雙曲線的通徑長為2b2a=23=233<23，所以過右焦點，兩端點都在右支上且弦長為23的弦有兩條，又雙曲線的兩頂點間距離為26.(多選)設橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點.A．直線AB與OM垂直B．若點M坐標為(1，1)，則直線方程為2x+y-3=0C．若直線方程為y=x+1，則點M坐標為1D．若直線方程為y=x+2，則|AB|=4答案：BD解析：對于A，設M(x0，y0)，根據(jù)橢圓的中點弦的性質知kAB·kOM=-a2x0b2y0·y0x0=-42=-2≠-1，故A不正確；對于B，根據(jù)kAB·kOM=-2，kOM=1，所以kAB=-2，所以直線方程為y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0，故B正確；對于C，若直線方程為y=x+1，點M13，43，則kAB·kOM=1·4=4≠-2，故C不正確；對于D，若直線方程為y=x+2，與橢圓方程x22+y24=1聯(lián)立，整理得3x2+4x=0，解得x1=0，x2=-7.已知直線y=x與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)無公共點答案：(1，2]解析：雙曲線的一條漸近線為y=bax，因為直線y=x與雙曲線無公共點，故有ba≤1，即b2a2=c2-a2a2=e2-1≤1，所以e8.(2022·新高考Ⅰ卷)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，|DE|=6答案：13解析：如圖，連接AF1，DF2，EF2，因為C的離心率為12，所以ca=12，所以a=2c，所以b2=a2-c2=3c2.因為|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|，所以△AF1F2為等邊三角形，又DE⊥AF2，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，所以|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，且∠EF1F2=30°，所以直線DE的方程為y=33(x+c)，代入橢圓C的方程x24c2+y23c2=1，得13x2+8cx-32c2=0.設D(x1，y1)，E(x2，y2)，則x1+x2=-8c13，x1x2=-32c213，所以|DE|=1+13[(x1+x2)2-4x1x2]=43-8c132-4×-32c213=48c139.(12分)已知焦點在x軸上的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短軸長為23，橢圓左頂點A(1)求橢圓C的標準方程；(5分)(2)設橢圓的右頂點為B，過F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN=1827，求直線l的方程.(7解：(1)由2b=所以橢圓C的標準方程為x24+y2(2)由題意知，直線的斜率存在且不為0，F(xiàn)1(-1，0)，B(2，0)，設直線l的方程為x=my-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x24+y23=1，x=my-1，得(3即y1+y2=6m3m2+4，y又S△BMN=12|BF1|·|y1|+12|BF1|·|y=12|BF1|·|y1-y2=12|BF1|·=18m2+13m2+4所以直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.10.(14分)已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點P(5，(1)求雙曲線C的方程；(5分)(2)記O為坐標原點，過點Q(0，2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若△OAB的面積為22，求直線l的方程.(9分)解：(1)依題意，c=2，所以a2+b2=4，則雙曲線C的方程為x2a2-y24-a2=1(將點P(5，23)代入上式，得25a2-234解得a2=50(舍去)或a2=2，故所求雙曲線C的方程為x22-y2(2)依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1-k2)x2-4kx-6=0.因為直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，所以1解得k≠±1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=4k1-k2，x1x所以|AB|=1+k2·(x1又原點O到直線l的距離d=21所以S△OAB=12d·|AB|=12×21+k2×又S△OAB=22，即3-k2所以k4-k2-2=0，解得k=±2，滿足(*).故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=2x+2和y=-2x+2.11.(18分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(-17，0)，F(xiàn)2(17，0)，點M滿足|MF1|-|MF2|=2.記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(5分)(2)設點T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.(13分解：(1)因為|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=217，所以點M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點的雙曲線的右支.設雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0半焦距為c，則2a=2，c=17，得a=1，b2=c2-a2=16，所以點M