2025年極限的應(yīng)用試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。---一、選擇題題目1：設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)，當(dāng)\(x\to1\)時(shí)，\(f(x)\)的極限是：A.0B.1C.2D.不存在答案：C解析：首先，簡(jiǎn)化函數(shù)\(f(x)\)：\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad(x\neq1)\]因此，當(dāng)\(x\to1\)時(shí)，\(f(x)\to2\)。---題目2：下列函數(shù)中，在\(x=0\)處極限存在的是：A.\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)B.\(f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)C.\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)D.\(f(x)=\begin{cases}1&x>0\\-1&x<0\end{cases}\)答案：C解析：A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=\infty\)，極限不存在。B.\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)在\(x\to0\)時(shí)振蕩，極限不存在。C.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，極限存在。D.左極限\(\lim_{x\to0^-}f(x)=-1\)，右極限\(\lim_{x\to0^+}f(x)=1\)，極限不存在。---題目3：若\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=L\)，則\(L\)的值是：A.0B.2C.4D.不存在答案：C解析：\[\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad(x\neq2)\]因此，\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\)。---二、填空題題目4：若\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+2}{x-1}-a\right)=0\)，則\(a\)的值是______。答案：3解析：\[\frac{3x+2}{x-1}=3+\frac{5}{x-1}\]因此，\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+2}{x-1}-a\right)=0\)等價(jià)于\(3-a=0\)，即\(a=3\)。---題目5：若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=5\)，則\(k\)的值是______。答案：10解析：\[\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=k\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{kx}=k\cdot1=k\]因此，\(k=5\)。---三、計(jì)算題題目6：計(jì)算\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)。答案：\(\frac{1}{2}\)解析：使用分子有理化：\[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\]當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sqrt{1+x}\to1\)，因此：\[\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}\]---題目7：計(jì)算\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x-2}{2x^2-x+5}\)。答案：\(\frac{1}{2}\)解析：分子分母同除以\(x^2\)：\[\frac{x^2+3x-2}{2x^2-x+5}=\frac{1+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}\]當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\frac{3}{x}\to0\)，\(\frac{2}{x^2}\to0\)，\(\frac{1}{x}\to0\)，\(\frac{5}{x^2}\to0\)，因此：\[\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{1}{2}\]---四、證明題題目8：證明\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)。答案：證明過程見下解析：使用夾逼定理：對(duì)于\(0<|x|<\frac{\pi}{2}\)，有\(zhòng)(\sinx<x<\tanx\)，即：\[\cosx<\frac{x}{\sinx}<1\]取倒數(shù)：\[\frac{1}{\cosx}>\frac{\sinx}{x}>1\]當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\cosx\to1\)，因此\(\frac{1}{\cosx}\to1\)，由夾逼定理：\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\]又因?yàn)閈(\frac{\tanx}{x}=\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{\cosx}\)，且\(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cosx}=1\)，因此：\[\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\]---五、綜合題題目9：討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2&x\leq0\\x+1&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性。答案：不連續(xù)解析：左極限：\(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}x^2=0\)右極限：\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x+1)=1\)因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以\(\lim_{x\to0}f(x)\)不存在，函數(shù)在\(x=0\)處不連續(xù)。---答案與解析匯總1.C解析：\(f(x)=x+1\)，當(dāng)\(x\to1\)時(shí)，\(f(x)\to2\)。2.C解析：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。3.C解析：\(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\)，當(dāng)\(x\to2\)時(shí)，\(f(x)\to4\)。4.3解析：\(\frac{3x+2}{x-1}=3+\frac{5}{x-1}\)，因此\(a=3\)。5.10解析：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=k\)，因此\(k=5\)。6.\(\frac{1}{2}\)解析：分子有理化后，極限為\(\frac{1}{2}\)。7.\(\frac{1}{2}\)解析：分子分母同除以\(x