第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡南縣高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.考生你好，語(yǔ)文考試需要150分鐘，在本場(chǎng)考試中，鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為(

)A.512π B.?π3 C.2.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)21+i=(

)A.1+i B.1?i C.i?1 D.?1?i3.函數(shù)y=loga(2x?3)+2(a>0且a≠1)的圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(2,2) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,0)4.如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)每個(gè)斷開(kāi)的概率都是13，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為(

)A.316

B.581

C.76815.a=(1,1)，b=(?1,2)，則a在b上的投影向量是(

)A.(15,25) B.(?6.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，如函數(shù)的圖像大致是(

)A. B.

C. D.7.已知0<x1<x2<2π，A.79 B.?79 C.?8.已知0<m<n<1，x=lognm，y=mn，A.x<y<z B.y<x<z C.z<y<x D.y<z<x二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若集合A={1,n}，B={n2,2}，且A∩B≠?，則n的值可以是A.?1 B.0 C.1 D.210.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法中正確的是(

)A.若cos2A=cos2B，則△ABC為等腰三角形

B.若AB?AC=2，a=2，則b2+c2=8

C.若△ABC中C為鈍角，則sinA>cosB

D.若b=7.511.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2.若鱉臑P?ABC外接球的體積為323π，則當(dāng)此鱉臑的體積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是(

)A.PA=BC=26

B.鱉臑P?ABC體積的最大值為2

C.點(diǎn)A到面PBC的距離是2155

D.鱉臑P?ABC內(nèi)切球的半徑為15?12.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則(AB?CA13.底面半徑為1的圓柱的側(cè)面積是圓柱表面積的12，則該圓柱的高為_(kāi)_____．14.已知函數(shù)f(x)由下表給出x01234f(x)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)其中f(k)(k=0,1,2,3,4)的值等于f(0)、f(1)、f(2)、f(3)和f(4)中k所出現(xiàn)的次數(shù)，則f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

班里有20個(gè)男生，18個(gè)女生，其中一名女生叫小雪，從中任意抽取a人參加志愿活動(dòng)．

(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范圍；

(2)女生小雪被抽到是隨機(jī)事件，求a的取值范圍．16.(本小題15分)

某校在組織選拔數(shù)學(xué)英才班的過(guò)程中，對(duì)高一年級(jí)的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試.已知參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)xi(i=1,2,…,300)全部介于45分到95分之間，學(xué)校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：[45,55)，[55,65)，…，[85,95]，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表)．

(1)求m的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值x?；

(2)學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前90名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計(jì)這90名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)(計(jì)算結(jié)果由四舍五入保留一位小數(shù))；

(3)試估計(jì)這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)xi(i=1,2,…,300)的方差s2，并判斷此次得分為64分和87分的兩名同學(xué)的成績(jī)是否進(jìn)入到了[x?17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是線段PD的中點(diǎn)，N是線段PC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN⊥平面PAD；

(2)求PC與面PAB所成角的正弦值．18.(本小題17分)

某高中高一學(xué)生成立了課外實(shí)踐數(shù)學(xué)小組，計(jì)劃通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)測(cè)量某人工圓形湖泊的直徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點(diǎn)處固定一旗幟，然后從A點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蚶@著湖泊邊緣走到B點(diǎn)處固定一旗幟，并在紅外線角度測(cè)量?jī)x的幫助下從B點(diǎn)逆時(shí)針走至C點(diǎn)處，此時(shí)測(cè)得∠ABC=120°，且測(cè)得BC=20米，AB=10米．

(1)求該人工圓形湖泊的直徑；

(2)若D為人工圓形湖泊優(yōu)弧AC上一動(dòng)點(diǎn)(異于A，C兩點(diǎn))，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的取值范圍．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=?2cos2x+2sinx+3t，t為常數(shù)．

(1)證明：f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱．

(2)設(shè)f(x)在(π,3π2)上有兩個(gè)零點(diǎn)m，n．

(ⅰ)求t參考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.B

6.D

7.C

8.D

9.ABD

10.ABD

11.BCD

12.10

13.1

14.5

15.(1)必然事件是指在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件．

已知班級(jí)里有20個(gè)男生，18個(gè)女生，總?cè)藬?shù)為20+18=38人．

要使女生被抽到是必然事件，意味著抽取的人數(shù)a要足夠多，使得在抽取a個(gè)人時(shí)，不可能只抽到男生．

∵男生有20人，∴當(dāng)a>20時(shí)，就不可能只抽到男生，必然會(huì)抽到女生．

∴21≤a≤38，即a的范圍是{a|21≤a≤38,a∈Z}．

(2)隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件．

要使女生小雪被抽到是隨機(jī)事件，則抽取的人數(shù)a要滿足：

抽取的人數(shù)a至少為1人，∵如果a=0，則不存在抽取的情況；

抽取的人數(shù)a最多為37人，∵如果a=38，那么所有人都會(huì)被抽到，

此時(shí)小雪被抽到就是必然事件，而不是隨機(jī)事件，

∴1≤a≤37，即a的取值范圍是{a|1≤a≤37,a∈Z}．16.(1)根據(jù)題目有：10×(0.006+0.014+0.020+m+0.036)=1，

解得m=0.024，

根據(jù)頻率分布直方圖，各組中間值為：50，60，70，80，90，

對(duì)應(yīng)頻率為：0.06，0.14，0.24，0.36，0.2，

x?=50×0.06+60×0.14+70×0.24+80×0.36+90×0.2=75；

(2)容易知這90名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)為該次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的70%分位數(shù)，

又0.06+0.14+0.24=0.44<0.7<0.8=0.06+0.14+0.24+0.36，

設(shè)這90名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)為x，因此x∈(75,85)，

因此x=75+0.7?0.440.036≈82.2分；

(3)s2=1ni=1nfi(xi?x?)17.(1)證明：∵底面ABCD為正方形，

∴CD⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD，

又∵M(jìn)是線段PD的中點(diǎn)，N是線段PC的中點(diǎn)，

∴MN//CD，

∴MN⊥平面PAD．

(2)解：如圖，取AD中點(diǎn)為E，連接PE，EC，EB，

∵△PAD為正三角形，

∴PE⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PE⊥平面ABCD，

又∵EC?平面ABCD，

∴PE⊥EC，

設(shè)AB=a，PE=32a，EC=ED2+CD2=(a2)2+a2=52a，

∴在Rt△PEC中，PC=PE2+EC2=(32a)2+(52a)2=2a，

由(1)得CD⊥平面PAD，

又∵AB//CD，∴AB⊥18.(1)在△ABC中，∠ABC=120°，BC=20米，AB=10米，

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2?2AB?BCcos∠ABC，

即AC2=102+202?2×10×20×(?12)=700，故AC=107米．

設(shè)該人工圓形湖泊的半徑為R，

由正弦定理可得，2R=ACsin∠ABC=10732=20213；

(2)因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，∠ABC=120°，所以∠ADC=180°?∠ABC=60°，

在△ADC，由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2?2AD?CDcos∠ADC，

即700=AD2+CD2?AD?CD=(AD+CD)2?3AD?CD，

所以700=(AD+CD)2?3AD?CD≥(AD+CD)2?3(AD+CD2)2，

所以700≥14(AD+CD)2，當(dāng)且僅當(dāng)AD=CD時(shí)取等號(hào)，

所以AD+CD≤207，又AD+CD>AC=107，又BC=20，AB=10，

所以四邊形ABCD周長(zhǎng)的取值范圍為(30