第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省張家口一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若f(x)=exlnx，則f′(x)=A.exlnx+exx B.ex2.在(x?1)7的展開式中，x4的系數(shù)為A.?21 B.?35 C.21 D.353.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖所示，以下命題錯誤的是(

)A.f(?1)是函數(shù)的最小值

B.f(?3)是函數(shù)的極值

C.y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上單調(diào)遞增

D.y=f(x)在x=0處的切線的斜率大于0

4.一袋中裝有大小、質(zhì)地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是(

)A.715 B.815 C.155.在(1?2x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.?960 B.960 C.1120 D.16806.將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是(

)

A.420 B.180 C.64 D.257.如圖，已知函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線為l，則f(2)+f′(2)=(

)A.?3

B.?2

C.2

D.18.設(shè)函數(shù)f(x)是R上可導(dǎo)的偶函數(shù)，且f(3)=2，當(dāng)x>0，滿足2f(x)+xf′(x)>1，則x2f(x)>18的解集為(

)A.(?∞,?3) B.(?∞,?3)∪(3,+∞)

C.(3,+∞) D.(?3,3)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.A，B，C，D，E五個人并排站在一起，下列說法正確的是(

)A.若A，B不相鄰，有72種排法 B.若A，B不相鄰，有48種排法

C.若A，B相鄰，有48種排法 D.若A，B相鄰，有24種排法10.在(x+1x)A.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 B.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256

C.常數(shù)項(xiàng)為84 D.有理項(xiàng)有2項(xiàng)11.五一假期過后，車主小王選擇去該市新開的A，B兩家共享自助洗車店洗車.已知小王第一次去A，B兩家洗車店洗車的概率分別為35和25，如果小王第一次去A洗車店，那么第二次去A洗車店的概率為12；如果小王第一次去B洗車店，那么第二次去A洗車店的概率為35A.小王第一次去B洗車店，第二次也去B洗車店的概率為425

B.小王第二次去B洗車店的概率比第二次去A洗車店的概率大

C.若小王第二次去了A洗車店，則他第一次去A洗車店的概率為59

D.若小王第二次去了B洗車店，則他第一次去A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若隨機(jī)變量ζ～B(10,0.2)，則D(ζ)=______．13.小智和電腦連續(xù)下兩盤棋，已知小智第一盤獲勝的概率是0.5，小智連續(xù)兩盤都獲勝的概率是0.4，那么小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是______．14.已知函數(shù)f(x)=(x?2)e2x+1，過點(diǎn)A(0,m)且與曲線y=f(x)相切的直線只有1條，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

求函數(shù)f(x)=1316.(本小題15分)

某班從6名男生和4名女生中，隨機(jī)抽取5人組成數(shù)學(xué)興趣小組，另5人組成物理興趣小組．

(1)求數(shù)學(xué)興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的概率；

(2)用X表示物理興趣小組中的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)．17.(本小題15分)

從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12，13，14．

(Ⅰ)若有一輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這一輛車未遇到紅燈的概率；

(Ⅱ)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax?a)，其中a是常數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f(x)=k19.(本小題17分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+3x+2ex+1，g(x)=x?ln(x+1)．

(1)證明：g(x)≥0．

(2)答案解析1.【答案】A

【解析】解：f(x)=exlnx，

則f′(x)=(ex)′?lnx+ex?(lnx)′=2.【答案】B

【解析】解：(x?1)7的通項(xiàng)公式為：Tr+1=C7rx7?r(?1)r，

令7?r=4，得r=3，

所以含x4的項(xiàng)為?C73x3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈(?∞,?3)時，f′(x)<0，在x∈(?3,1)時，f′(x)≥0，

則函數(shù)y=f(x)在(?∞,?3)上單調(diào)遞減，在(?3,1)上單調(diào)遞增，故C正確；

易知f(?3)是函數(shù)的極值，故B正確；

因?yàn)樵??3,1)上單調(diào)遞增，則f(?1)不是函數(shù)的最小值，故A錯誤；

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0，即切線的斜率大于零，故D正確．

故選：A．

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線斜率．

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．4.【答案】B

【解析】解：一袋中裝有大小、質(zhì)地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，

從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是：

P=1?C83C103=8155.【答案】C

【解析】解：已知(1?2x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，

則有2n?1=128=27，

解得n=8，

即(1?2x)n的展開式共有9項(xiàng)，

于是得展開式的第9+12=5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

又T5=C6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，注意分析圖形中區(qū)域相鄰的情況，屬于基礎(chǔ)題．

由于規(guī)定一個區(qū)域只種植一種花卉，相鄰的區(qū)域花卉不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種種植方法，B有4種種植方法，討論A，D同種植一種花卉和不同種植一種花卉，根據(jù)乘法原理可得結(jié)論．

【解答】

解：由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只種植一種花卉，相鄰的區(qū)域花卉不同，可分步進(jìn)行，

區(qū)域A有5種種植方法，B有4種種植方法，

A，D不種植同一種花卉，D有3種種植方法，C有2種種植方法，有5×4×3×2=120種；

A，D種植同一種花卉，D有1種種植方法，C有3種種植方法，有5×4×1×3=60種，

∴共有180種不同的種植方法．

故選B．7.【答案】D

【解析】解：由題意可得，切線l的方程為x4+y4=1，即y=?x+4，

可得f′(2)=?1，又f(2)=2，

∴f(2)+f′(2)=2?1=1．

故選：D．

由直線方程的截距式求得切線l的方程，可得曲線的斜率，求得f′(2)8.【答案】B

【解析】解：令g(x)=x2f(x)，

∵當(dāng)x>0，滿足2f(x)+xf′(x)>1，

∴當(dāng)x>0時，g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>x>0，

∴g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)；

又函數(shù)f(x)在(?∞,+∞)上是可導(dǎo)的偶函數(shù)，

∴g(x)=x2f(x)在(?∞,+∞)上也是偶函數(shù)，

∵f(3)=2，

∴x2f(x)>18可轉(zhuǎn)化為x2f(x)>18=32f(3)，即g(x)=g(|x|)>g(3)9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，A，B，C，D，E五個人并排站在一起，

若A，B不相鄰，需要先讓C，D，E自由排列，再讓A，B去插空即可，

則方法總數(shù)為A33A42=72種，故A正確，B錯誤；

若A，B相鄰，則先將A，B“捆綁”在一起，視為一個整體，與C，D，E自由排列即可，

則方法總數(shù)為A22A44=48(種)，故C正確；D錯誤．

故選：AC．

根據(jù)題意，由插空法求得A，10.【答案】BC

【解析】解：(x+1x)9的展開式中共有10項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中的第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故A錯誤；

由已知可得二項(xiàng)式系數(shù)之和為29，且展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，

所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為28=256，故B正確；

展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C9rx9?r(x?12)r=C9rx9?32r,0≤r≤9,r∈N，令9?32r=011.【答案】AC

【解析】解：記第i次去A洗車店為Ai，記第i次去B洗車店為Bi，(i=1,2)，

P(A1)=35，P(B1)=25，P(A2|A1)=12，P(B2|A1)=35，P(B2|A1)=12，P(A2|B1)=35，P(B2|B1)=25，

對于A，小王第一次去B洗車店，第二次也去B洗車店的概率為：

P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=25×25=425，故A正確；12.【答案】1.6

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量ζ～B(10,0.2)，

所以D(ζ)=10×0.2×(1?0.2)=1.6．

故答案為：1.6．

根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式即可求得結(jié)果．

本題主要考查了二項(xiàng)分布的方差公式，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】0.8

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)A=小智第一盤獲勝，B=小智第二盤獲勝，

則P(A)=0.5，P(AB)=0.4，則(B|A)=P(AB)P(A)=0.40.5=0.8．

故答案為：0.8．

根據(jù)題意，設(shè)A=小智第一盤獲勝，B=小智第二盤獲勝，易得14.【答案】{m|m<?2e或m=0}

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為(a,(a?2)e2a+1)，

由f(x)=(x?2)e2x+1，得f′(x)=e2x+1+(x?2)?2e2x+1=(2x?3)e2x+1，

所以切線的斜率為k=f′(a)=(2a?3)e2a+1，

切線方程為y?(a?2)e2a+1=(2a?3)e2a+1(x?a)，

因?yàn)辄c(diǎn)A(0,m)在切線上，所以m?(a?2)e2a+1=(2a?3)e2a+1(0?a)，

即m=(?2a2+4a?2)e2a+1，

令g(x)=(?2x2+4x?2)e2x+1，則g′(x)=(?4x2+4x)e2x+1，

令g′(x)=0，得x=0或x=1，

當(dāng)x<0或x>1時，g′(x)<0，當(dāng)0<x<1時，g′(x)>0，

所以g(x)在(?∞,0)和(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以g(x)的極小值為g(0)=?2e，極大值為g(1)=0，

當(dāng)x→?∞時，g(x)→0，當(dāng)x→+∞時，g(x)→?∞，

所以g(x)的圖象如圖所示，

因?yàn)檫^點(diǎn)A(0,m)且與曲線y=f(x)相切的直線只有1條，

所以y=g(x)的圖像與直線y=m15.【答案】解：∵f′(x)=(x+2)(x?2)，

令f′(x)>0，解得：x>2，x<?2，

令f′(x)<0，解得：?2<x<2，

∴f(x)在(?∞,?2)，(2,+∞)遞增，在(?2,2)遞減，

∴f(x)極大值=f(?2)=283【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的極值．

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．16.【答案】解：(1)已知某班從6名男生和4名女生中，隨機(jī)抽取5人組成數(shù)學(xué)興趣小組，另5人組成物理興趣小組，

共有C105?C55A22?A22=C105=252種組合方式，

其中數(shù)學(xué)興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的有C84=70種，

所以數(shù)學(xué)興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的概率P=70252=518；

(2)易知X的所有可能取值為0

X

01234

P

1

5

10

5

1所以E(X)=0×142【解析】(1)由題意，根據(jù)排列組合相關(guān)知識以及古典概型概率公式進(jìn)行求解即可；

(2)得到X的所有取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．17.【答案】解：(I)∵各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12，13，14，

∴這一輛車未遇到紅燈的概率P=(1?12)×(1?13)×(1?14)=14．

(II)由題意可得，X所有可能取值為0，1，2，3，

P(X=0)=(1?1X

0

1

2

3

P

1

11

11故E(X)=0×14【解析】(I)根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求解．

(II)由題意可得，X所有可能取值為0，1，2，3，分別求出對應(yīng)概率，再結(jié)合期望公式，即可求解．

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax?a)可得，

f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]，.…(2分)

當(dāng)a=1時，f(1)=e，f′(1)=4e.…(4分)

所以

曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?e=4e(x?1)，

即y=4ex?3e.…(5分)

(Ⅱ)

令f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0，

解得x=?(a+2)或x=0.…(6分)

當(dāng)?(a+2)≤0，即a≥?2時，在區(qū)間[0,+∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0,+∞)上的增函數(shù)．

所以方程f(x)=k在x0(0,?(a+2))?(a+2)(?(a+2),+∞)f′(x)0?0+f(x)?a↘a+4↗由上表可知函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的最小值為f(?(a+2))=a+4ea+2.…(10分)

因?yàn)?/p>

函數(shù)f(x)是(0