2025年道數(shù)論競(jìng)賽題庫本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題3分，共30分）1.若\(a\)和\(b\)是互質(zhì)的正整數(shù)，且\(a^2+b^2=2016\)，則\(a+b\)的值是：A.44B.48C.50D.562.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(2^n-1\)是一個(gè)合數(shù)，那么\(n\)的最小值是：A.3B.4C.5D.63.若\(p\)是一個(gè)質(zhì)數(shù)，且\(p\)整除\(2016\times2017\times2018\times\cdots\times2025\)，則\(p\)的值是：A.2B.3C.5D.74.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n^2+n\)是一個(gè)完全平方數(shù)，則\(n\)的最小值是：A.1B.2C.3D.45.若\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(a+b=2016\)，\(a\)和\(b\)的最大公約數(shù)為12，則\(a\)和\(b\)的乘積最大值是：A.15552B.16064C.16640D.172806.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的和為2016，則\(n\)的值是：A.32B.36C.48D.647.若\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(a\)和\(b\)滿足\(a^2-b^2=2016\)，則\(a-b\)的最小值是：A.4B.6C.8D.128.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的個(gè)數(shù)是16，則\(n\)的最小值是：A.12B.24C.36D.489.若\(a\)和\(b\)是互質(zhì)的正整數(shù)，且\(a+b=2016\)，則\(a\)和\(b\)的最小公倍數(shù)的最大值是：A.1344B.1408C.1536D.160010.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的和為2016，則\(n\)的所有正約數(shù)的積是：A.320B.360C.400D.448二、填空題（每題4分，共40分）1.若\(a\)和\(b\)是互質(zhì)的正整數(shù)，且\(a^2+b^2=2016\)，則\(a\)和\(b\)的最大公約數(shù)是1。2.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(2^n-1\)是一個(gè)合數(shù)，則\(n\)的最小值是3。3.若\(p\)是一個(gè)質(zhì)數(shù)，且\(p\)整除\(2016\times2017\times2018\times\cdots\times2025\)，則\(p\)的值是3。4.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n^2+n\)是一個(gè)完全平方數(shù)，則\(n\)的最小值是24。5.若\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(a+b=2016\)，\(a\)和\(b\)的最大公約數(shù)為12，則\(a\)和\(b\)的乘積最大值是15552。6.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的和為2016，則\(n\)的值是36。7.若\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(a\)和\(b\)滿足\(a^2-b^2=2016\)，則\(a-b\)的最小值是4。8.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的個(gè)數(shù)是16，則\(n\)的最小值是12。9.若\(a\)和\(b\)是互質(zhì)的正整數(shù)，且\(a+b=2016\)，則\(a\)和\(b\)的最小公倍數(shù)的最大值是1344。10.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的和為2016，則\(n\)的所有正約數(shù)的積是360。三、解答題（每題10分，共50分）1.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的和為2016，求\(n\)的所有正約數(shù)的積。2.若\(a\)和\(b\)是互質(zhì)的正整數(shù)，且\(a^2+b^2=2016\)，求\(a\)和\(b\)的最大公約數(shù)。3.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(2^n-1\)是一個(gè)合數(shù)，求\(n\)的最小值。4.若\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(a+b=2016\)，\(a\)和\(b\)的最大公約數(shù)為12，求\(a\)和\(b\)的乘積最大值。5.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)的所有正約數(shù)的個(gè)數(shù)是16，求\(n\)的最小值。答案與解析一、選擇題1.C解析：\(a^2+b^2=2016\)，因\(2016=2^5\times3^2\times7\)，考慮\(a\)和\(b\)的取值，\(a+b\)為偶數(shù)，且\(a\)和\(b\)為互質(zhì)正整數(shù)，通過試算，\(a=44\)，\(b=6\)滿足條件。2.A解析：\(2^n-1\)是合數(shù)，最小值為3，即\(n=3\)。3.B解析：\(2016\times2017\times\cdots\times2025\)包含多個(gè)3的倍數(shù)，故\(p=3\)。4.C解析：\(n^2+n=n(n+1)\)，\(n(n+1)\)為完全平方數(shù)，最小值為3。5.A解析：\(a=12m\)，\(b=12n\)，\(m\)和\(n\)互質(zhì)，\(m+n=168\)，乘積最大值為15552。6.B解析：\(n=36\)的所有正約數(shù)的和為2016。7.A解析：\(a^2-b^2=2016\)，\((a-b)(a+b)=2016\)，最小\(a-b=4\)。8.A解析：\(n=12\)的所有正約數(shù)的個(gè)數(shù)是16。9.A解析：\(a=672\)，\(b=344\)，最小公倍數(shù)為1344。10.B解析：\(n=36\)的所有正約數(shù)的積為360。二、填空題1.1解析：\(a\)和\(b\)互質(zhì)，最大公約數(shù)為1。2.3解析：\(2^n-1\)是合數(shù)，最小值為3。3.3解析：\(2016\times2017\times\cdots\times2025\)包含多個(gè)3的倍數(shù)，故\(p=3\)。4.24解析：\(n^2+n=n(n+1)\)，\(n(n+1)\)為完全平方數(shù)，最小值為24。5.15552解析：\(a=12m\)，\(b=12n\)，\(m\)和\(n\)互質(zhì)，\(m+n=168\)，乘積最大值為15552。6.36解析：\(n=36\)的所有正約數(shù)的和為2016。7.4解析：\(a^2-b^2=2016\)，\((a-b)(a+b)=2016\)，最小\(a-b=4\)。8.12解析：\(n=12\)的所有正約數(shù)的個(gè)數(shù)是16。9.1344解析：\(a=672\)，\(b=344\)，最小公倍數(shù)為1344。10.360解析：\(n=36\)的所有正約數(shù)的積為360。三、解答題1.解析：\(n=36\)的所有正約數(shù)的和為2016，正約數(shù)的積為\(36^{(8-1)/2}=360\)。