結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論授課教師|XXX授課內(nèi)容24.1引言4.2自由扭轉(zhuǎn)4.3約束扭轉(zhuǎn)4.4梁的彎扭屈曲4.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載第4章

桿件的扭轉(zhuǎn)與梁的彎扭屈曲4.1引

言

受彎構(gòu)件通常稱為梁，在土木工程中應(yīng)用很廣泛，例如房屋建筑中的樓蓋梁、工作平臺(tái)、吊車梁、屋面檁條和墻架橫梁，以及橋梁、水工閘門、起重機(jī)、海上采油平臺(tái)中的梁等。受彎構(gòu)件在荷載作用下的工作大體經(jīng)歷兩個(gè)階段：

（1）僅平面彎曲變形

（2）同時(shí)出現(xiàn)側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)梁的彎扭屈曲首先介紹薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)理論。34.2自由扭轉(zhuǎn)截面的剪切中心鋼構(gòu)件的截面(如工字形、槽形)，其組成板件較薄(寬厚比一般大于10)，屬薄壁構(gòu)件，薄壁截面剪應(yīng)力的計(jì)算宜用剪力流理論。

剪力流理論

(1)

分布：剪應(yīng)力沿板件厚度均勻分布(2)

方向：與各板件平行

工字形截面槽形截面當(dāng)外荷載引起的截面剪力通過(guò)某一確定點(diǎn)時(shí)，構(gòu)件僅發(fā)生彎曲而不引起扭轉(zhuǎn)，則該點(diǎn)稱為剪力中心（彎曲中心）。44.2自由扭轉(zhuǎn)腹板中豎向剪應(yīng)力的合力必然等于外剪力翼緣中剪應(yīng)力的合力H形成偶力V—計(jì)算截面一個(gè)主軸方向的剪力；S—計(jì)算翼緣剪應(yīng)力時(shí)為計(jì)算處以外，計(jì)算腹板剪應(yīng)力時(shí)則為計(jì)算處以上毛截面對(duì)中和軸的面積矩；Ix—毛截面慣性矩；t—計(jì)算剪應(yīng)力處的板件厚度。54.2自由扭轉(zhuǎn)剪切中心特點(diǎn)：其位置取決于截面的形狀與尺寸，與荷載無(wú)關(guān)。構(gòu)件的橫向荷載通過(guò)剪心時(shí)，不發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。雙軸對(duì)稱截面：剪心

S與形心

C

重合。單軸對(duì)稱截面：剪心

S在對(duì)稱軸上，但不與形心重合。（對(duì)于兩塊狹長(zhǎng)矩形板組成的截面，剪心

S在兩塊板厚度中線上的交點(diǎn)）(1)桿件受扭時(shí)，繞著剪心S發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形(2)

桿件發(fā)生彎曲時(shí)，剪力不通過(guò)截面剪心，彎曲時(shí)將伴隨扭轉(zhuǎn)64.2自由扭轉(zhuǎn)翹曲非圓形截面的桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，截面除繞桿件軸線轉(zhuǎn)動(dòng)外，截面上各點(diǎn)還會(huì)發(fā)生不同的軸向位移而使截面出現(xiàn)凹凸，不像圓截面桿件那樣扭轉(zhuǎn)后還保持平面。(a)無(wú)翹曲，截面保持平面(b)有翹曲，截面不保持平面荷載作用線未通過(guò)剪切中心產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)有兩種形式：自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)。74.2自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)

橫截面上各點(diǎn)的軸向位移不受任何約束，截面可以自由翹曲，又叫做圣維南扭轉(zhuǎn)。（1）截面翹曲相同、沒(méi)有正應(yīng)力。截面將發(fā)生翹曲，但不同橫截面上相應(yīng)點(diǎn)的軸向位移相同，即每個(gè)縱向纖維的長(zhǎng)度保持不變，也就是說(shuō)各個(gè)橫截面的翹曲變形完全相同。因此，自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)縱向纖維不產(chǎn)生軸向應(yīng)變，桿件橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力而只有扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力。（2）自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿件的所有縱向纖維不發(fā)生彎曲而保持直線，因此桿件不發(fā)生彎曲變形。84.2自由扭轉(zhuǎn)工字鋼的自由扭轉(zhuǎn)

在扭轉(zhuǎn)過(guò)程中，翼緣和腹板上所有縱向纖維均保持直線，扭角為

φ

：對(duì)桿件軸線坐標(biāo)

z

求導(dǎo)數(shù)，可得扭率為：自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭矩

Mst與扭率

φ’之間的關(guān)系為:G為材料的剪切彈性模量；It為截面的自由扭轉(zhuǎn)慣性矩或扭轉(zhuǎn)常數(shù)自由扭轉(zhuǎn)微分方程94.2自由扭轉(zhuǎn)

開(kāi)口薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，截面上的剪應(yīng)力方向與中心線平行，且沿薄壁厚度

ti

線性分布，在中心線上剪應(yīng)力為零，截面周邊邊緣處為最大，剪應(yīng)力的合成必定是與外扭矩相等的一個(gè)扭矩，從而在截面內(nèi)形成閉合循環(huán)的剪力流：自由扭轉(zhuǎn)的截面應(yīng)力只有剪應(yīng)力，無(wú)翹曲正應(yīng)力或104.3約束扭轉(zhuǎn)定義

由于桿件的荷載分布情況或約束條件可能使扭轉(zhuǎn)時(shí)的翹曲受到約束，即橫截面的軸向位移受到約束，這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。特點(diǎn)（一）沿桿件軸線各個(gè)截面的翹曲不相同，桿件的縱向纖維將發(fā)生拉伸或壓縮變形，各纖維的正應(yīng)力

σω也不同，發(fā)生彎曲變形，因此約束扭轉(zhuǎn)又叫做彎曲扭轉(zhuǎn)。（二）截面上產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力的同時(shí)，必然產(chǎn)生與之平衡的剪應(yīng)力，稱為翹曲剪應(yīng)力。114.3約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)的平衡微分方程工字形截面的約束扭轉(zhuǎn)截面上翹曲剪應(yīng)力的合力組成的力矩稱為翹曲扭矩Mω，由自由扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪應(yīng)力的合力組成自由扭轉(zhuǎn)扭矩Mst

；在約束扭轉(zhuǎn)中，自由扭轉(zhuǎn)扭矩Mst和翹曲扭矩Mω共同與外加扭矩相平衡。自由端有集中扭矩Mz扭角為φ翹曲受到一定限制，上下翼緣將發(fā)生相反方向的側(cè)向彎曲124.3約束扭轉(zhuǎn)

約束扭轉(zhuǎn)的平衡微分方程工字形截面的約束扭轉(zhuǎn)自由扭矩Mst翹曲扭矩Mω由于扭角φ很小，故：翼緣的彎曲曲率為：I1為一個(gè)翼緣對(duì)

y軸的慣性矩，I1=Iy/2134.3約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)的平衡微分方程工字形截面的約束扭轉(zhuǎn)上翼緣向左彎曲，下翼緣向右彎曲，方向相反。因此，翹曲產(chǎn)生的剪力Vf必然大小相等方向相反，這兩個(gè)剪力形成的力矩就是翹曲力矩

Mω。彎曲產(chǎn)生的剪力Vf為：144.3約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)的平衡微分方程翹曲力矩Mω為：Iω為截面的翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)（或稱為扇性慣性矩）;EIω為翹曲剛度得約束扭轉(zhuǎn)的平衡微分方程為：154.3約束扭轉(zhuǎn)

約束扭轉(zhuǎn)的翹曲正應(yīng)力與翹曲切應(yīng)力總扭矩Mz自由扭轉(zhuǎn)扭矩Mst翹曲扭矩Mω剪應(yīng)力剪應(yīng)力τω和正應(yīng)力σω約束扭轉(zhuǎn)引起的A點(diǎn)的翹曲正應(yīng)力為：ω=bh/4為扇形坐標(biāo)164.3約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)的翹曲正應(yīng)力與翹曲切應(yīng)力

翼緣上翹曲產(chǎn)生的剪力為Vf，最大翹曲剪應(yīng)力發(fā)生在

B點(diǎn)，其值為：；Sω為扇形靜距174.4梁的彎扭屈曲梁的失穩(wěn)類型

在最大剛度平面內(nèi)承受彎曲作用的理想彈性梁，在側(cè)向沒(méi)有足夠的支撐，且側(cè)向剛度很弱，當(dāng)彎矩達(dá)到某一限值

時(shí)，梁會(huì)突然產(chǎn)生側(cè)向彎曲變形和扭轉(zhuǎn)角，這種現(xiàn)象稱為梁的彎扭失穩(wěn)或彎扭屈曲，屬于第一類穩(wěn)定問(wèn)題。

但是實(shí)際梁在彎曲平面內(nèi)和平面外都存在幾何缺陷或荷載初始偏心，梁一受彎就會(huì)產(chǎn)生側(cè)扭變形，實(shí)際梁的失穩(wěn)屬于第二類穩(wěn)定問(wèn)題，即極值點(diǎn)失穩(wěn)。而極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題極其復(fù)雜。梁的彎扭失穩(wěn)184.4梁的彎扭屈曲理想純彎簡(jiǎn)支梁側(cè)扭屈曲臨界彎矩計(jì)算

假設(shè)材料是各向同性的完全彈性體，不考慮梁的初始缺陷和殘余應(yīng)力。

忽略梁在屈曲前的彎曲變形對(duì)側(cè)向彎扭的影響。

梁的簡(jiǎn)支是指梁的兩端面可以繞形心主軸

x

軸或

y

軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能繞z軸扭轉(zhuǎn)。

當(dāng)達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)，在梁發(fā)生微小側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形位置建立梁的平衡微分方程。理想簡(jiǎn)支支座194.4梁的彎扭屈曲雙軸對(duì)稱截面簡(jiǎn)支梁的彎扭屈曲

工字形截面的彎扭屈曲平衡微分方程為：(1)(2)(3)

對(duì)雙軸對(duì)稱截面，截面的形心o與剪力中心s重合，沿坐標(biāo)軸x、y方向的位移分別為u、v,且位移沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?。截面的扭轉(zhuǎn)角為φ,右手螺旋方向旋轉(zhuǎn)為正。204.4梁的彎扭屈曲

式(2)與式(3)都具有兩個(gè)相同的未知數(shù)u和φ，將式(3)對(duì)z微分一次，并利用式(2)消去，得到下列只包含扭轉(zhuǎn)角

φ

的側(cè)向彎扭屈曲平衡方程式。令；得：通解為：式中；214.4梁的彎扭屈曲邊界條件為：當(dāng)z=0和z=l時(shí)，φ=0（無(wú)扭轉(zhuǎn)角）；d2φ/dz2=0（無(wú)翹曲）代入A≠0微分方程的解為：代入要使上式在任何z值都成立224.4梁的彎扭屈曲梁整體失穩(wěn)的臨界彎矩為：或?qū)懗桑?/p>

如果梁不是純彎曲而是受別的荷載作用，如受到集中荷載、均布荷載或兩端不等彎矩作用時(shí)，梁中彎矩將為z的函數(shù)，平衡微分方程也不再是常系數(shù)微分方程，則采用能量法和數(shù)值分析求解，求解將更復(fù)雜。234.4梁的彎扭屈曲臨界彎矩通用表達(dá)式：

對(duì)于純彎曲梁系數(shù)C1=1.00；對(duì)于跨中集中荷載作用下的梁C1=1.37；對(duì)于在四分點(diǎn)集中荷載作用下的梁C1=1.04；對(duì)于均布荷載作用下的梁C1=1.15。梁的整體穩(wěn)定性的影響因素：三個(gè)剛度（抗彎剛度、抗扭剛度、翹曲剛度）梁的跨度l荷載沿梁軸的分布情況荷載沿梁截面高度的作用位置荷載作用位置對(duì)梁整體穩(wěn)定性的影響244.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁

梁的應(yīng)變能由三部分組成，一部分是側(cè)向彎曲應(yīng)變能，另兩部分分別由自由扭轉(zhuǎn)和翹曲引起。根據(jù)材料力學(xué)原理，梁的側(cè)向彎曲應(yīng)變能為：

在梁上沿z向取微段dz，自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等于扭矩和扭角變化的乘積的一半，即（1）（2）將

代入（2）得254.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁故整個(gè)梁自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能為：

計(jì)算翹曲扭矩引起的應(yīng)變能時(shí)，忽略翹曲剪應(yīng)力所引起的應(yīng)變能，只考慮翹曲正應(yīng)力引起的應(yīng)變能。除此之外，根據(jù)普通梁理論，與彎曲應(yīng)變能比較，假定伴隨非均勻彎矩而產(chǎn)生的剪切應(yīng)變能是可以忽略的，其彎曲應(yīng)變能就是翹曲引起的應(yīng)變能，即（3）（4）264.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁

將；；帶入（4）式得梁的應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能、自由扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能和翹曲應(yīng)變能之和，即：=（5）（6）274.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁

外力功等于外力矩與梁在屈曲時(shí)端部轉(zhuǎn)角的乘積，而外力勢(shì)能V是外力功的負(fù)值，即：M為端彎矩；θ為梁端部的轉(zhuǎn)角。工字型梁的側(cè)向屈曲變形圖（8）（7）284.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁將（9）、（10）代入式（8）得：代入代入（9）（10）（11）29均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁綜上所述，梁的總勢(shì)能為：

代入

==假定位移函數(shù)u與φ近似取為：

（12）（13）4.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載304.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁由邊界條件：當(dāng)z=0、l時(shí)，u=v=0，φ=φ′′=0并利用

得到

根據(jù)瑞雷-里茲法，令，得

（14）314.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端簡(jiǎn)支的工字梁系數(shù)A、B不同時(shí)為零的條件是其系數(shù)行列式為零，即

展開(kāi)行列式，得穩(wěn)定方程為：

由此可解得臨界屈曲彎矩為：

（15）（16）324.5用能量法計(jì)算工字梁的彎扭屈曲臨界荷載均勻彎矩作用、兩端固定的工字梁

這里兩端固定的條件是指端部截面在x、y方向的位移為零，繞y軸和z軸的轉(zhuǎn)角為零。

邊界條件

：

當(dāng)z=0、l時(shí)，u=v=φ=0，u′=