銜接點(diǎn)08自由落體運(yùn)動(dòng)

初中階段高中階段

主要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)物體下落現(xiàn)象形成初步認(rèn)知，通深入理解自由落體運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，即初速度為零、

過(guò)生活實(shí)例感知物體下落的快慢，能區(qū)分不同物體在加速度恒定（重力加速度g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。熟練

空氣中下落時(shí)速度變化的直觀差異。學(xué)生需掌握速掌握自由落體運(yùn)動(dòng)的速度公式v=gt、位移公式

度的基本概念和計(jì)算公式，理解勻速直線運(yùn)動(dòng)與變速

12

hgt2及速度-位移公式v=2gh，能夠運(yùn)用這些

直線運(yùn)動(dòng)的區(qū)別，具備分析簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)情境的能力，為2

高中深入學(xué)習(xí)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律奠定基礎(chǔ)。公式進(jìn)行定量計(jì)算，并結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律分

析實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)，需理解自由落體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)的原

理和方法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量重力加速度，培養(yǎng)科學(xué)探究

能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

銜接指引

初中階段考查形式:選擇題、填空題和簡(jiǎn)單簡(jiǎn)答題呈現(xiàn)。

高中階段考查形式:選擇題、填空題、計(jì)算題和實(shí)驗(yàn)題。

知新高中知識(shí)

一、自由落體運(yùn)動(dòng)

1、定義:物體只在重力作用下從靜止開(kāi)始豎直下落的運(yùn)動(dòng)叫做自由落體運(yùn)動(dòng)。

2、運(yùn)動(dòng)性質(zhì):自由落體運(yùn)動(dòng)是初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

3、物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的條件

（1）只受重力而不受其他任何力。

（2）從靜止開(kāi)始下落。

4、物體的下落可看作自由落體運(yùn)動(dòng)的條件:空氣阻力的作用比較小，可以忽略。

5、運(yùn)動(dòng)圖像:自由落體運(yùn)動(dòng)的v－t圖像(如圖)是一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線，斜率k＝g.

1

6、分析自由落體運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)注意

（1）物體在真空中下落的運(yùn)動(dòng)不一定是自由落體運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槌跛俣炔灰欢榱恪?/p>

（2）物體在其他星球上也可以做自由落體運(yùn)動(dòng)，但同一物體在不同的星球上所受重力一般不同，所以

物體下落時(shí)的加速度一般不同。

二、自由落體加速度

1、定義:在同一地點(diǎn)，一切物體自由下落的加速度都相同，這個(gè)加速度叫作自由落體加速度，也

叫作重力加速度，通常用g表示。

2、方向:豎直向下。

3、大小

（1）在同一地點(diǎn)，重力加速度都相同。

（2）在地球表面，g值隨緯度的增大而逐漸增大，隨高度的增大而逐漸減小。

（3）一般取值:g＝9.8m/s2或粗略計(jì)算時(shí)取g＝10m/s2。

三、伽利略對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)的研究

1．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

亞里士多德觀點(diǎn):重物下落得快，輕物下落得慢。

矛盾:把重物和輕物捆在一起下落，會(huì)得出兩種矛盾的結(jié)論。

伽利略觀點(diǎn):重物與輕物下落得一樣快。

2．猜想與假說(shuō)

伽利略猜想落體運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是一種最簡(jiǎn)單的變速運(yùn)動(dòng)，并指出這種運(yùn)動(dòng)的速度應(yīng)該是均勻變化

的假說(shuō)．

3．理想斜面實(shí)驗(yàn)

（1）如果速度隨時(shí)間的變化是均勻的，初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移x與運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間t的

平方成正比，即x∝t2。

（2）讓小球從斜面上的不同位置由靜止?jié)L下，測(cè)出小球從不同起點(diǎn)滾動(dòng)的位移x和所用的時(shí)間t。

（3）斜面傾角一定時(shí)，判斷x∝t2是否成立。

（4）改變小球的質(zhì)量，判斷x∝t2是否成立。

（5）將斜面傾角外推到θ＝90°情況——小球自由下落，認(rèn)為小球仍會(huì)做勻加速運(yùn)動(dòng)，從而得

到了自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

4．伽利略研究自然規(guī)律的科學(xué)方法:把實(shí)驗(yàn)和邏輯推理(包括數(shù)學(xué)推演)和諧地結(jié)合起來(lái)．他給出了科

2

學(xué)研究過(guò)程的基本要素:對(duì)現(xiàn)象的一般觀察→提出假設(shè)→運(yùn)用邏輯得出推論→通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)推論進(jìn)行檢驗(yàn)→

對(duì)假設(shè)進(jìn)行修正和推廣．

四、自由落體運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)探究

1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?測(cè)定自由落體物體的加速度大小。

2、實(shí)驗(yàn)器材:打點(diǎn)計(jì)時(shí)器、紙帶、復(fù)寫(xiě)紙、帶鐵夾的鐵架臺(tái)、幾個(gè)質(zhì)量不同的重物、夾子、交流電源、

毫米刻度尺。

3、實(shí)驗(yàn)原理:紙帶在重物帶動(dòng)下自由下落，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器在紙帶上打下一系列的點(diǎn)。

4、實(shí)驗(yàn)步驟

（1）按如圖所示將打點(diǎn)計(jì)時(shí)器豎直固定在鐵架臺(tái)上，連接好電路。

（2）使紙帶穿過(guò)兩個(gè)限位孔，下端用夾子夾住連到重物上，讓重物靠近打點(diǎn)計(jì)時(shí)器。

（3）用手捏住紙帶上端把紙帶拉成豎直狀態(tài)，啟動(dòng)計(jì)時(shí)器，放開(kāi)紙帶讓重物自由下落，重物落地后立

刻關(guān)閉電源，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器就在紙帶上打下一系列的點(diǎn)。

（4）改變重物的質(zhì)量，重復(fù)幾次上面的實(shí)驗(yàn)，選取一條點(diǎn)跡清晰的紙帶進(jìn)行處理。

5、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

（1）用刻度尺測(cè)量打點(diǎn)計(jì)時(shí)器在紙帶上打出的點(diǎn)之間的距離。

xn＋xn＋1

（2）用vn＝求出各點(diǎn)的速度，作v－t圖像，圖像應(yīng)為一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線。

2T

（3）根據(jù)v－t圖像的斜率求加速度或根據(jù)Δx＝aT2計(jì)算加速度。

6、實(shí)驗(yàn)結(jié)論:自由落體運(yùn)動(dòng)是初速度為零、加速度恒定(約為9.8m/s2，與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān))的勻加速

直線運(yùn)動(dòng)。

五、自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

1．自由落體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì):自由落體運(yùn)動(dòng)是初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．

2．勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本公式及其推論都適用于自由落體運(yùn)動(dòng)．

1

3．自由落體運(yùn)動(dòng)的速度、位移與時(shí)間的關(guān)系式:v＝gt，x＝gt2.

2

3

4．以下幾個(gè)比例式對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)也成立

①物體在1T末、2T末、3T末……nT末的速度之比為

v1:v2:v3:……:vn=1:2:3:……:n

②物體在1T內(nèi)、2T內(nèi)、3T內(nèi)……nT內(nèi)的位移之比為

2

h1:h2:h3:……:hn=1:4:9:……:n

③物體在第1T內(nèi)、第2T內(nèi)、第3T內(nèi)……第nT內(nèi)的位移之比為

H1:H2:H3:……:Hn=1:3:5……(2n-1)

④通過(guò)相鄰的相等的位移所用時(shí)間之比為

t1:t2:t3:……:tn=1:(21):(32):……:(nn1)

六、豎直上拋運(yùn)動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：加速度為g，上升階段做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，下降階段做自由落體運(yùn)動(dòng)。

(2)基本規(guī)律

①速度公式：v＝v0－gt；

12

②位移公式：h＝v0t－gt；

2

22

③速度位移關(guān)系式：v－v0＝－2gh。

例1、關(guān)于自由落體運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法，正確的是（）

A．物體沿豎直方向的運(yùn)動(dòng)就是自由落體運(yùn)動(dòng)

B．物體初速度為零加速度是g的運(yùn)動(dòng)就一定是自由落體運(yùn)動(dòng)

C．物體只在重力作用下從靜止開(kāi)始下落的運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)

D．只要是從靜止開(kāi)始下落的運(yùn)動(dòng)就是自由落體運(yùn)動(dòng)。

【答案】C

【解析】物體的運(yùn)動(dòng)能否看作自由落體應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是由靜止開(kāi)始豎直下落；二是物體只受重力。

故選C。

例2、校園里的銀杏樹(shù)上有兩顆銀杏果先后落下，假設(shè)兩顆銀杏果均由靜止從同一高度下落，忽略銀杏果所

受阻力，下列說(shuō)法正確的是（）

A．銀杏果和銀杏葉的下落均可近似為自由落體運(yùn)動(dòng)B．下落過(guò)程中兩銀杏果的間距越來(lái)越大

C．先下落的銀杏果相對(duì)后下落的銀杏果做勻加速運(yùn)動(dòng)D．先下落的銀杏果落地速度較大

【答案】B

4

【解析】A．忽略銀杏果所受阻力，銀杏果的下落均為自由落體運(yùn)動(dòng)；銀杏葉所受阻力較大，不能忽略

不計(jì)，銀杏葉的下落不可近似為自由落體運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；

BC．由于先后下落的銀杏果的加速度均為重力加速度，所以先下落的銀杏果相對(duì)后下落的銀杏果做勻速

運(yùn)動(dòng)，則先后下落的銀杏果的相對(duì)距離為xv相t

可知下落過(guò)程中兩銀杏果的間距越來(lái)越大，故B正確，故C錯(cuò)誤；

D．根據(jù)v22gh

由于下落高度相同，所以先后下落的銀杏果落地速度一樣大，故D錯(cuò)誤。

故選B。

自由落體運(yùn)動(dòng)的理解

1.本質(zhì)條件

（1）僅受重力（忽略空氣阻力），初速度為零（\(v_0=0\)）。

（2）運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度\(a=g\)（重力加速度，方向豎

直向下）。

2.判斷是否為自由落體運(yùn)動(dòng)

（1）條件驗(yàn)證：

是否忽略空氣阻力？

初速度是否為零？

（2）典型場(chǎng)景：

物體由靜止開(kāi)始下落（如釋放小球）；

題目明確說(shuō)明“不計(jì)空氣阻力”。

例3、讓一石塊從高處自由落下，測(cè)出下列哪個(gè)物理量不能算出落點(diǎn)的高度（不計(jì)空氣阻力，g值已知）（）

A．石塊下落到地面的總時(shí)間B．石塊開(kāi)始落下第1s內(nèi)的位移

C．石塊落地前瞬間的瞬時(shí)速度D．石塊通過(guò)最后1m位移的時(shí)間

【答案】B

1

【解析】A．根據(jù)hgt2可知，若測(cè)出石塊下落到地面的總時(shí)間，則可以算出落點(diǎn)的高度，故A錯(cuò)誤；

2

1

B．根據(jù)hgt2可知，石塊開(kāi)始落下第1s內(nèi)的位移為定值，與落點(diǎn)的高度無(wú)關(guān)，故B正確；

2

5

C．根據(jù)v22gh可知，若測(cè)出石塊落地前瞬間的瞬時(shí)速度，則可以算出落點(diǎn)的高度，故C錯(cuò)誤；

11

D．若測(cè)出石塊通過(guò)最后1m位移的時(shí)間，則hgt2g(tt)2，式中?h=1m，t′已知，所以可以求

22

出石塊下落的時(shí)間，從而可以算出落點(diǎn)的高度，故D錯(cuò)誤。

故選B。

例4、一物體自由下落，落地時(shí)速度是30m/s，可近似看作是自由落體運(yùn)動(dòng)，g取10m/s2，問(wèn)：

(1)物體落地所用總時(shí)間；

(2)物體落地前最后1s內(nèi)的位移大小。

【答案】(1)3s(2)25m

【解析】（1）根據(jù)vgt

v30

可得物體落地所用總時(shí)間為ts3s

g10

11

（2）物體下落的總高度為hgt21032m45m

22

11

物體前2s下落的高度為hgt21022m20m

22

則物體落地前最后1s內(nèi)的位移大小為hhh45m20m25m

例5、如圖所示，懸掛的直桿AB長(zhǎng)為a，在B以下h處，有一長(zhǎng)為b的無(wú)底圓筒CD，若將懸線剪斷，直

桿AB將穿過(guò)圓筒CD。（g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力）

(1)求直桿下端B穿過(guò)圓筒的時(shí)間。

(2)求整個(gè)直桿AB穿過(guò)圓筒的時(shí)間。

2(hb)2h2(ahb)2h

【答案】(1)(2)

gggg

1

【解析】（1）直桿下端B到達(dá)圓筒上端時(shí)，有hgt2

21

1

直桿下端B到達(dá)圓筒下端時(shí)，有hbgt2

22

6

2(hb)2h

則直桿下端B穿過(guò)圓筒的時(shí)間為ttt

21gg

1

（2）直桿上端B到達(dá)圓筒下端時(shí)，有ahbgt2

23

2(ahb)2h

則整個(gè)直桿AB穿過(guò)圓筒的時(shí)間為ttt

31gg

自由落體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)三個(gè)基本公式的應(yīng)用

1.公式核心與適用條件

（1）三個(gè)基本公式（初速度v0＝0，加速度a=g）：

①速度公式：v＝gt

描述速度隨時(shí)間的線性變化，v與t成正比。

1

②位移公式：hgt2

2

位移與時(shí)間平方成正比，反映勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移特性。

③速度-位移公式：v2＝2gh

消去時(shí)間t，直接關(guān)聯(lián)速度與位移，適用于未知時(shí)間的問(wèn)題。

（2）適用前提：

僅受重力（忽略空氣阻力），初速度為零。

2.公式選擇策略

已知量待求量?jī)?yōu)先公式示例場(chǎng)景

1

tv/hv=gt/hgt2已知下落時(shí)間，求末速度或位移

2

12

ht/vhgt2/v＝2gh已知下落高度，求時(shí)間或末速度

2

vt/hv＝gt/v2＝2gh已知末速度，求時(shí)間或下落高度

多段運(yùn)動(dòng)分段臨界聯(lián)立公式+臨界點(diǎn)速度相等先自由下落再碰撞反彈，分析各

7

已知量待求量?jī)?yōu)先公式示例場(chǎng)景

點(diǎn)速度段運(yùn)動(dòng)

例6、原地豎直彈跳高度是指人豎直向上跳躍至最高點(diǎn)時(shí)，保持身體直立，雙腳離地的高度?，F(xiàn)測(cè)得某同學(xué)

的原地豎直彈跳高度為0.45m。假設(shè)該同學(xué)離地后到落回地面的過(guò)程中身體始終保持直立狀態(tài)，g取10m/s2，

忽略空氣阻力的影響。求：

(1)該同學(xué)雙腳離開(kāi)地面到雙腳再次接觸地面的時(shí)間；

(2)該同學(xué)下落過(guò)程中的平均速度大小。

【答案】(1)0.6s(2)1.5m/s

1

【解析】（1）下落過(guò)程，有hgt2

2

2h20.45

解得ts0.3s

g10

根據(jù)豎直上拋的對(duì)稱性可知，人從起跳到落地的總時(shí)間為t總2t

解得t總0.6s

h

（2）下落過(guò)程中的平均速度大小為v

t

解得v1.5m/s

例7、海鷗捕到外殼堅(jiān)硬的鳥(niǎo)蛤（貝類(lèi)動(dòng)物）后，有時(shí)會(huì)飛到空中將它丟下，利用地面的沖擊打碎硬殼。一

只海鷗叼著鳥(niǎo)蛤飛行到高處，松開(kāi)嘴巴讓鳥(niǎo)蛤由靜止開(kāi)始自由下落。鳥(niǎo)蛤下落過(guò)程中先后經(jīng)過(guò)A、B、C三

點(diǎn)，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v=10m/s，已知A、B兩點(diǎn)間和B、C兩點(diǎn)間的高度差均為h4.8m，取重力

加速度大小g=10m/s2，不計(jì)空氣阻力。求：

(1)鳥(niǎo)蛤經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小v?；

(2)鳥(niǎo)蛤從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t?；

(3)鳥(niǎo)蛤從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的平均速度大小v。

【答案】(1)2m/s(2)0.4s(3)8m/s

【解析】（1）從A到B，根據(jù)

22

vv12gh

解得A點(diǎn)時(shí)的速度大小

v?=2m/s

（2）從B到C，根據(jù)

8

1

hvtgt2

222

解得

t2=0.4s

（3）從A到B的時(shí)間

vv102

t1s0.8s

1g10

從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的平均速度大小

2h4.82

vm/s8m/s

t1t20.80.4

自由落體平均速度

1.核心公式與物理意義

總位移h

平均速度定義：v

總時(shí)間t

v0v1

自由落體專(zhuān)屬推論：因初速度v0＝0，末速度v＝gt，故：vgt（僅適用于勻

22

變速直線運(yùn)動(dòng))

物理意義：自由落體的平均速度等于初、末速度的算術(shù)平均值，也等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速

度。

2.公式選擇策略

已知量待求量?jī)?yōu)先公式示例場(chǎng)景

h

h,tvv已知下落高度和時(shí)間，直接求平均速度

t

v

v（末速度）vv已知落地速度，求全程平均速度

2

1

tvvgt已知時(shí)間，結(jié)合速度公式推導(dǎo)平均速度

2

例8、如圖所示，跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行跳水訓(xùn)練，離開(kāi)跳臺(tái)后做自由落體運(yùn)動(dòng)，利用頻閃照相技術(shù)（每隔相同時(shí)

間拍一次照）連續(xù)拍攝了運(yùn)動(dòng)員所處的三個(gè)位置A、B、C，測(cè)量并根據(jù)比例尺換算出相鄰兩位置間的距

9

g2

離分別是h10.8m和h21.2m，重力加速度取10m/s。將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法

正確的是（）

A．頻閃照相的周期為0.02sB．運(yùn)動(dòng)員在A位置的速度大小為3m/s

C．運(yùn)動(dòng)員在B位置的速度大小為4m/sD．運(yùn)動(dòng)員在C位置的速度大小為5m/s

【答案】B

【解析】A．由逐差法可知

2

hh2h1gT

則頻閃照相的時(shí)間間隔為

hh1.20.8

T2s0.2s

g10

故A錯(cuò)誤；

C．運(yùn)動(dòng)員在B位置時(shí)的速度大小為

hh0.81.2

v12m/s5m/s

B2T20.2

故C錯(cuò)誤；

B．由自由落體運(yùn)動(dòng)公式

vBvAgT

解得運(yùn)動(dòng)員在A位置時(shí)的速度大小為

vA3m/s

故B正確；

D．由自由落體運(yùn)動(dòng)公式

vCvBgT

解得運(yùn)動(dòng)員在C位置時(shí)的速度大小為

vC7m/s

故D錯(cuò)誤。

10

故選B。

例9、用照相機(jī)拍攝從某磚墻前的高處自由落下的石子，拍攝到石子在空中的照片如圖所示。由于石子的運(yùn)

動(dòng)，它在照片上留下了一條模糊的徑跡AB。已知石子從地面以上2.5m的高度下落，每塊磚的平均厚度為

6cm，則（）

A．圖中徑跡長(zhǎng)度約為0.06mB．A點(diǎn)離釋放點(diǎn)的高度約為0.5m

C．曝光時(shí)石子的速度約為6.3m/sD．照相機(jī)的曝光時(shí)間約為0.01s

【答案】C

【解析】A．由題圖可看出徑跡長(zhǎng)度約為Δx=2d=0.12m

故A錯(cuò)誤；

B．A點(diǎn)離釋放點(diǎn)的高度約h=2.5m－0.06×8.6m=1.984m

故B錯(cuò)誤；

C．曝光時(shí)石子的速度約為v22gh

解得v6.3m/s

故C正確；

0.12

D．由于AB距離較小，故可以近似將AB段做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故時(shí)間為ts0.019s

6.3

故D錯(cuò)誤。

故選C。

例10、（多選）對(duì)于自由落體運(yùn)動(dòng)（g10m/s2），下列說(shuō)法正確的是（）

A．在前1s內(nèi)、前2s內(nèi)、前3s內(nèi)的位移大小之比是1∶4∶9

B．在相鄰兩個(gè)1s內(nèi)的位移之差都是10m

C．在第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)的平均速度大小之比是1∶2∶3

D．在1s末、2s末、3s末的速度大小之比是1∶3∶5

【答案】AB

【解析】A．根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系可知

11

1

hgt2

2

、、、、

設(shè)前1s內(nèi)、前2s內(nèi)、前3s內(nèi)的位移分別是h1h2h3，將t11st22st33s分別帶入公式可得

h1:h2:h31:4:9

故A正確；

B．根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)連續(xù)相等的時(shí)間間隔內(nèi)的位移差相等的特性可知

xgT2

帶入相關(guān)數(shù)據(jù)可得

x10m

故B正確；

C．根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)平均速度的公式可知

x

v

t

由于每段的時(shí)間相等，所以平均速度之比即為該段的位移之比。根據(jù)A選項(xiàng)分析可知

h1:h2:h31:4:9

、、、、

設(shè)第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)的平均速度分別為v1v2v3，位移分別為h01h12h23，則

v1:v2:v3h01:h12:h231:(41):(94)1:3:5

故C錯(cuò)誤；

D．根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系可知

vgt

、、、、

設(shè)1s末、2s末、3s末的速度分別是v1v2v3，將t11st22st33s分別帶入公式可得

::

v1v2v31:2:3

故D錯(cuò)誤。

故選AB。

例11、如圖所示，利用一顆蘋(píng)果下落的頻閃照片來(lái)研究自由落體運(yùn)動(dòng)。設(shè)頻閃光源的頻率為f，豎直下落距

離h1、h2和h3均已知。

12

(1)若圖中A點(diǎn)的速度恰好為零，則h1:h3，蘋(píng)果下落加速度的表達(dá)式為a。（用h1、

h3和f表示）

(2)蘋(píng)果通過(guò)C點(diǎn)的瞬時(shí)速度的表達(dá)式為vc（用h2、h3和f表示）

111

【答案】(1)1：5/(hh)f2(2)(hh)f

5231223

【解析】（1）[1]若圖中A點(diǎn)的速度恰好為零，根據(jù)

1

hat2

2

可得

h1:h1h2:h1h2h31:4:9

則有

h1:h2:h31:3:5

所以

h1:h31:5

[2]根據(jù)勻變速直線推論可得

1

hh2aT22a

31f2

可得蘋(píng)果下落加速度的表達(dá)式為

1

ahhf2

231

（2）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中間時(shí)刻速度等于該段過(guò)程的平均速度，則蘋(píng)果通過(guò)C點(diǎn)的瞬時(shí)速度的表達(dá)

式為

hh1

v23hhf

c2T223

1.推論

（1）比例推論（時(shí)間等分t0）

速度比總位移比相鄰相等時(shí)間位移比

時(shí)間分段

（v1:v2:v3:…:vn）(h1:h2:h3:…:hn)(△h1:△h2:△h3:…:△hn)

2222

第1t0、2t0、3t0…1:2:3:…:n1:2:3:…:n1:3:5:…:(2n-1)

（2）位移差公式（連續(xù)相等時(shí)間間隔T）

13

2

△h=hn+1－h(huán)n=gT

用途：已知頻閃照片中相鄰位移差，求重力加速度g或時(shí)間間隔T。

2.頻閃照片問(wèn)題解法

（1）核心思路

頻閃照片中相鄰兩點(diǎn)時(shí)間間隔相等（設(shè)為T(mén)），可通過(guò)位移差或比例關(guān)系求解。

常結(jié)合逐差法減小誤差（尤其適用于多組數(shù)據(jù)）。

（2）典型題型與解法

①已知相鄰位移，求g或T

2h2h1

方法：若為兩段位移h1,h2，則△h＝h2－h(huán)1＝gT，得g（或求T）。

T2

（h3h4)(h2h1)

若為多段位移（如h1,h2,h3,h4），用逐差法：g

4T2

②求某點(diǎn)瞬時(shí)速度

hh

方法：利用“中間時(shí)刻速度等于平均速度”，即vnn1

n2T

（3）判斷是否為自由落體運(yùn)動(dòng)

方法：驗(yàn)證相鄰位移差是否恒定△h＝gT2。

例12、2024年10月1日是中華人民共和國(guó)成立75周年國(guó)慶節(jié)，每逢重大節(jié)日人們都喜歡燃放煙花慶祝。

我國(guó)宋代就已經(jīng)出現(xiàn)沖天炮這種煙花（如圖），也叫“起火”。若沖天炮從地面由靜止發(fā)射，豎直向上做加速

度大小為5m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，第4s末掉出一可視為質(zhì)點(diǎn)的碎片，不計(jì)碎片受到的空氣阻力，g取

10m/s2。則（）

A．碎片的最大速度為40m/sB．碎片掉出前離地面高度為80m

C．碎片離地面的最大高度為80mD．碎片從掉出到落回地面用時(shí)223s

【答案】D

14

1

【解析】碎片脫離火箭時(shí)速度vat54m/s20m/s，碎片掉出前離地面高度hat240m，碎片

121

1v2

離地面的最大距離為Hat260m，故B、C錯(cuò)誤；由題意得碎片著地時(shí)速度最大

212g

1

v2gH203m/s，故A錯(cuò)誤；取向上為正方向，根據(jù)hvtgt2，解得碎片從掉出到落回地

max2

面用時(shí)t223s，故D正確。

例13、無(wú)人機(jī)下掛一重物，由靜止開(kāi)始自地面勻加速上升，當(dāng)?shù)竭_(dá)離地面高度h40m處時(shí)，其速度為

2

v010m/s，此時(shí)懸掛重物的繩子突然斷裂，空氣阻力不計(jì)，g取10m/s。求：

(1)重物自離開(kāi)地面到再次落到地面的時(shí)間；

(2)重物落地時(shí)的速度。

【答案】(1)12s(2)30m/s，方向豎直向下

v

【解析】（1）設(shè)向上為正方向，無(wú)人機(jī)由靜止開(kāi)始自地面勻加速上升過(guò)程有h0t

21

解得t18s

1

懸掛重物的繩子突然斷裂后，根據(jù)位移公式有hvtgt2

0222

解得t24s（另一值舍掉）

則重物自離開(kāi)地面到再次落到地面經(jīng)歷時(shí)間tt1t212s

（2）懸掛重物的繩子突然斷裂后，結(jié)合上述，根據(jù)速度公式有vv0gt2

解得v30m/s

所以中午落地后速度大小為30m/s，方向豎直向下。

豎直上拋運(yùn)動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)性質(zhì)與核心規(guī)律

（1）運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

①初速度：v0≠0（豎直向上），加速度a＝-g（取向上為正方向）。

15

②分段性：

上升階段：勻減速直線運(yùn)動(dòng)（末速度v＝0）。

下降階段：自由落體運(yùn)動(dòng)（初速度為0，加速度g）。

③對(duì)稱性：

v02v0

時(shí)間對(duì)稱：上升到最高點(diǎn)時(shí)間t上＝，下降回拋出點(diǎn)時(shí)間t下＝t上，總時(shí)t總＝。

gg

速度對(duì)稱：同一高度處，上升與下降時(shí)速度大小相等、方向相反v上＝－v下。

（2）統(tǒng)一公式（全程法）

取向上為正方向，全程滿足勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式：

①速度公式：v＝v0－gt

12

②位移公式：h＝v0t－gt

2

22

③速度位移公式：v－v0＝－2gh

④符號(hào)含義：

h＞0：物體在拋出點(diǎn)上方；h＜0：物體在拋出點(diǎn)下方。

v＞0：速度方向向上；v＜0：速度方向向下。

2.解題方法與技巧

（1）分段法

步驟：

2

v0

上升階段：視為末速度為0的勻減速運(yùn)動(dòng)，用公式：v0＝gt上,H＝v

2g

12

下降階段：視為自由落體運(yùn)動(dòng)，從最高點(diǎn)開(kāi)始，用公式：v＝gt下,h=gt下

2

適用場(chǎng)景：需分別分析上升、下降過(guò)程的物理量（如求最高點(diǎn)高度、下降時(shí)間等）。

（2）全程法

優(yōu)勢(shì)：無(wú)需分段，直接用統(tǒng)一公式求解，適合求總位移、總時(shí)間或某時(shí)刻速度。注意：

位移h的正負(fù)表示位置相對(duì)于拋出點(diǎn)的方向。

速度v的正負(fù)表示運(yùn)動(dòng)方向（正為向上，負(fù)為向下）。

（3）對(duì)稱性法

應(yīng)用場(chǎng)景：

16

求某高度處的速度大?。豪胿上＝－v下，如上升時(shí)經(jīng)過(guò)高度h的速度為v，則下降時(shí)經(jīng)

過(guò)h的速度為－v。

求時(shí)間：上升到某高度的時(shí)間與從該高度下降回拋出點(diǎn)的時(shí)間相等。

例14、如圖所示，在一種“子母球”表演中，讓同一豎直線上的小球A和小球B，從距水平地面kh（k>1）

和h高度的地方同時(shí)由靜止釋放。忽略空氣阻力及碰撞時(shí)間，若B球與地面碰撞后原速率彈回，要使球B

在第一次上升過(guò)程中與球A相碰，則k的取值可能為（）

A．4B．6C．9D．12

【答案】A

【解析】B反彈后在上升階段與球A相碰，臨界情況是球B剛好反彈到出發(fā)點(diǎn)時(shí)與球A相碰，兩球的v?

t圖像如圖所示，

陰影部分面積之和就是球A的下落高度和球B的反彈高度之和kh，由圖可知

1

hgt2

20

則

12

khhg2t

20

聯(lián)立解得

k5

故k的取值范圍

1k5

17

故選A。

例15、（多選）如圖甲，小球A（視為質(zhì)點(diǎn)）從地面開(kāi)始做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，同時(shí)小球B（視為質(zhì)點(diǎn)）從距

地面高度為h0處由靜止釋放，兩小球距地面的高度h與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖乙，重力加速度大小為g，

不計(jì)空氣阻力，則（）

A．A的初速度與B的落地時(shí)速度大小相等B．A上升過(guò)程的平均速度小于B下降過(guò)程的平均速度

3h

C．A、B處于同一高度時(shí)距地面hD．A、B落地的時(shí)間差為

40g

【答案】AC

【解析】AB．由題圖可知，B由靜止釋放時(shí)距地面的高度與A上升到最高點(diǎn)時(shí)距地面的高度相等，B由

靜止釋放直到落地與A由拋出直到上升到最高點(diǎn)所用時(shí)間相等，所以，A的初速度與B落地時(shí)的速度大

小相等，A上升過(guò)程的平均速度與B下降過(guò)程的平均速度大小相等，故A正確，B錯(cuò)誤；

11

C．設(shè)A豎直上拋的初速度為v0，則當(dāng)AB到達(dá)同一高度時(shí)有g(shù)t2vtgt2h，v22gh

202000

h

聯(lián)立解得t0，v2gh

2g00

13

所以A、B處于同一高度時(shí)距地面hvtgt2h

0240

故C正確；

D．B落地時(shí)A剛好上升到最高點(diǎn)，所以AB落地的時(shí)間差就等于A從最高點(diǎn)下落到地面所用的時(shí)間，滿

1

足hgt2

02

2h

解得t0

g

故D錯(cuò)誤。

故選AC。

例16、如圖所示，一同學(xué)站在樓上離地面高度H9.8m的位置由靜止釋放小球A，又經(jīng)過(guò)t的時(shí)間再次在

相同位置由靜止釋放另一個(gè)小球B，小球A與水平地面碰撞后原速率反彈，并在離地面高度h4.8m處與球

B相遇，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，求：

18

(1)球A第一次落地時(shí)的速度大?。?/p>

(2)兩球相遇時(shí)，球B的速度大小；

(3)兩球釋放的時(shí)間間隔t。

【答案】(1)14m/s(2)10m/s(3)0.8s

1

【解析】（1）小球A下落過(guò)程做自由落體運(yùn)動(dòng)，有Hgt2

21

解得小球A的下落時(shí)間為t11.4s

落地速度為vAgt114m/s

v2

（2）球B做自由落體運(yùn)動(dòng)有HhB

2g

（）

解得兩球相遇時(shí)球B的速度大小為vB2gHh10m/s

1

（3）小球A反彈上升過(guò)程做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)有hvtgt2

A222

解得小球A反彈上升的時(shí)間為t20.4s

1

小球B下落過(guò)程做自由落體運(yùn)動(dòng)，有Hhgt2

2B

解得小球B下落時(shí)間為tB1s

則兩球釋放的時(shí)間差為tt1t2tB0.8s

豎直上拋與自由落體相遇問(wèn)題

1.核心思路

（1）運(yùn)動(dòng)分析

19

12

豎直上拋物體：初速度v0≠0（向上），加速度a＝－g，位移公式h1＝v0t－gt。

2

12

自由落體物體：初速度v0＝0（向下），加速度a＝g，位移公式h1＝gt（從起點(diǎn)向下為

2

正）。

（2）相遇條件

兩物體在同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，即位移滿足幾何關(guān)系（需結(jié)合初始位置分析）。

2.常見(jiàn)模型與解法

模型1：豎直上拋與自由落體從同一位置先后釋放

場(chǎng)景：物體A先上拋，物體B后從同一位置自由下落，求相遇時(shí)間。設(shè)定：

A的初速度v0，拋出時(shí)刻t=0；

B在t=t0時(shí)刻開(kāi)始自由下落。位移方程：

12

A的位移：hA＝v0t－gt；

2

12

B的位移：hB＝g(t－t0)\)（t≥t0）。相遇條件：hA＝hB（相遇時(shí)位置相同），聯(lián)立求

2

解t。

模型2：豎直上拋與自由落體從不同高度同時(shí)釋放

場(chǎng)景：A從地面上拋（初速度