一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．對于定義城為R的函數(shù)，若滿足：①；②當，且時，都有；③當且時，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”.下列函數(shù)是“偏對稱函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】運用新定義，分別討論四個函數(shù)是否滿足三個條件，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，以及對稱性，即可得到所求結(jié)論．【詳解】解：經(jīng)驗證，，，，都滿足條件①；，或；當且時，等價于，即條件②等價于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；A中，，，則當時，由，得，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；B中，，，當時，，，當時，，，則當時，都有，符合條件②，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由的單調(diào)性知，當時，，∴，令，，，當且僅當即時，“”成立，∴在，上是減函數(shù)，∴，即，符合條件③，故是“偏對稱函數(shù)”；C中，由函數(shù)，當時，，當時，，符合條件②，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有單調(diào)性知，當時，，設(shè)，，則，在上是減函數(shù)，可得，∴，即，符合條件③，故是“偏對稱函數(shù)”；D中，，則，則是偶函數(shù)，而（），則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，的符號有正有負，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；故選：BC．【點睛】本題主要考查在新定義下利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于難題．2．已知函數(shù)的圖象與直線y=m分別交于A?B兩點，則（）A．f(x)圖像上任一點與曲線g(x)上任一點連線線段的最小值為2+ln2B．?m使得曲線g(x)在B處的切線平行于曲線f(x)在A處的切線C．函數(shù)f(x)-g(x)+m不存在零點D．?m使得曲線g(x)在點B處的切線也是曲線f(x)的切線【答案】BCD【分析】利用特值法，在f(x)與g(x)取兩點求距離，即可判斷出選項的正誤；解方程，可判斷出選項的正誤；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的符號可判斷出選項的正誤；設(shè)切線與曲線相切于點，，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出選項的正誤．進而得出結(jié)論．【詳解】在函數(shù)上分別取點，則，而（注），故選項不正確；，，則，，曲線在點處的切線斜率為，曲線在點處的切線斜率為，令，即，即，則滿足方程，使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線，選項正確；構(gòu)造函數(shù)，可得，函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，（1），則存在，使得，可得，當時，；當時，．，函數(shù)沒有零點，選項正確；設(shè)曲線在點處的切線與曲線相切于點，，則曲線在點處的切線方程為，即，同理可得曲線在點處的切線方程為，，消去得，令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，（1），，則存在，使得，且．當時，，當時，．函數(shù)在上為減函數(shù)，，，由零點存定理知，函數(shù)在上有零點，即方程有解．使得曲線在點處的切線也是曲線的切線．故選：．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值、零點以及切線問題，計算量較大，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬難題．3．已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點，則（）A．的最小值為B．使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線C．函數(shù)至少存在一個零點D．使得曲線在點處的切線也是曲線的切線【答案】ABD【分析】求出、兩點的坐標，得出關(guān)于的函數(shù)表達式，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可判斷出A選項的正誤；解方程，可判斷出B選項的正誤；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的符號可判斷出C選項的正誤；設(shè)切線與曲線相切于點，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出D選項的正誤.進而得出結(jié)論.【詳解】令，得，令，得，則點、，如下圖所示：由圖象可知，，其中，令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，當時，，當時，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，A選項正確；，，則，，曲線在點處的切線斜率為，曲線在點處的切線斜率為，令，即，即，則滿足方程，所以，使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線，B選項正確；構(gòu)造函數(shù)，可得，函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，，則存在，使得，可得，當時，；當時，.，所以，函數(shù)沒有零點，C選項錯誤；設(shè)曲線在點處的切線與曲線相切于點，則曲線在點處的切線方程為，即，同理可得曲線在點處的切線方程為，所以，，消去得，令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，則存在，使得，且.當時，，當時，.所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，由零點存在定理知，函數(shù)在上有零點，即方程有解.所以，使得曲線在點處的切線也是曲線的切線.故選：ABD.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值、零點以及切線問題，計算量較大，屬于難題.4．若直線與曲線滿足下列兩個條件：（i）直線在點處與曲線相切；（ii）曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線.下列命題正確的是（）A．直線在點處“切過”曲線B．直線在點處“切過”曲線C．直線在點處“切過”曲線D．直線在點處“切過”曲線【答案】ACD【分析】分別求出每個選項中命題中曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出曲線在點處的切線方程，再由曲線在點處兩側(cè)的函數(shù)值對應(yīng)直線上的點的值的大小關(guān)系是否滿足（ii），由此可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，由，可得，則，所以，曲線在點處的切線方程為，當時，；當時，，滿足曲線在點附近位于直線兩側(cè)，A選項正確；對于B選項，由，可得，則，而直線的斜率不存在，所以，直線在點處不與曲線相切，B選項錯誤；對于C選項，由，可得，則，所以，曲線在點處的切線方程為，設(shè)，則，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，當時，，即；當時，，即.滿足曲線在點附近位于直線兩側(cè)，C選項正確；對于D選項，由，可得，，所以，曲線在點處的切線方程為，當時，設(shè)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，，即；當時，，即.滿足曲線在點附近位于直線兩側(cè)，D選項正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)新定義，解題的關(guān)鍵就是理解新定義，并把新定義進行轉(zhuǎn)化，一是求切線方程，二是判斷在切點兩側(cè)函數(shù)值與切線對應(yīng)的函數(shù)值的大小關(guān)系，從而得出結(jié)論.5．已知，，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．在上單調(diào)遞增．B．在上兩個零點C．當時，恒成立，則D．若函數(shù)只有一個極值點，則實數(shù)【答案】ACD【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，判斷A，然后可得，再利用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理得零點個數(shù)，判斷B，構(gòu)造函數(shù)，由在上遞減，求得范圍，判斷C，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值點，得的范圍，判斷D．【詳解】，令，得，故A正確，，令得，得，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．當時，；當時，且的大致圖象為只有一個零點，故B錯．記，則在上為減函數(shù)，對恒成立對恒成立．故C正確．，，設(shè)，只有一個極值點，只有一個解，即直線與的圖象只有一個交點．，在上為增函數(shù)，令，得，當時，；當時，．在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，時，，即，且時，，又時，，因此的大致圖象如下（不含原點）：直線與它只有一個交點，則．故D正確．故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極值，對于零點問題，需要結(jié)合零點存在定理才能確定零點個數(shù)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．對于定義域為的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若同時滿足：①；②當且時，都有；③當且時，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”.下列函數(shù)是“偏對稱函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合“偏對稱函數(shù)”的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，分別討論四個函數(shù)是否滿足三個條件，即可得到所求結(jié)論．【詳解】條件①；由選項可得：，，，，即ABCD都符合；條件②，或；即條件②等價于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于，則，由可得，，即函數(shù)單調(diào)遞增；由可得，，即函數(shù)單調(diào)遞減；滿足條件②；對于，則顯然恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿足條件②；對于，當時，顯然單調(diào)遞減；當時，顯然單調(diào)遞增；滿足條件②；對于，當時，顯然單調(diào)遞減；當時，顯然單調(diào)遞增，滿足條件②；因此ACD滿足條件②；條件③當且時，，都有，即，對于，，因為，當且僅當，即時，等號成立，又，所以，則令，，所以在上顯然恒成立，因此在上單調(diào)遞增，所以，即，所以滿足條件③；對于，，令，，則在上顯然恒成立，所以，則，即滿足條件③；對于，，令，，則在上顯然恒成立，所以，則，即滿足條件③；綜上，ACD選項是“偏對稱函數(shù)”，故選：ACD.【點睛】思路點睛：求解此類函數(shù)新定義問題時，需要結(jié)合函數(shù)新定義的概念及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，通過研究函數(shù)單調(diào)性，值域等，逐項判斷，即可求解.（有時也需要構(gòu)造新的函數(shù)，進行求解.）7．已知函數(shù)的圖象在點處與點處的切線均平行于軸，則（）A．在上單調(diào)遞增B．C．的取值范圍是D．若，則只有一個零點【答案】ACD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意進行等價轉(zhuǎn)化，得到的取值范圍；對于A，利用導(dǎo)數(shù)即可得到在上的單調(diào)性；對于B，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得；對于C，化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得解；對于D，將代入，令，可得的單調(diào)性，進而求得的極大值小于0，再利用零點存在定理可得解.【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域為，且，則，是方程的兩個不等正根，則，解得，當時，函數(shù)，此時，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；因為，是方程的兩個不等正根，所以，故B錯誤；因為，易知函數(shù)在上是減函數(shù)，則當時，，所以的取值范圍是，故C正確；當時，，令，得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在取得極大值，且，，所以只有一個零點，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用主要抓住切點的三個特點：①切點坐標滿足原曲線方程；②切點坐標滿足切線方程；③切點的橫坐標代入導(dǎo)函數(shù)可得切線的斜率.8．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則函數(shù)沒有極值B．若，則函數(shù)有極值C．若函數(shù)有且只有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是D．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】ABD【分析】先對進行求導(dǎo)，再對進行分類討論，根據(jù)極值的定義以及零點的定義即可判斷.【詳解】解：由題意得，函數(shù)的定義域為，且，當時，恒成立，此時單調(diào)遞減，沒有極值，又當x趨近于0時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，∴有且只有一個零點，當時，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，當時，取得極小值，同時也是最小值，∴，當x趨近于0時，趨近于，趨近于，當x趨近于時，趨近于，當，即時，有且只有一個零點；當，即時，有且僅有兩個零點，綜上可知ABD正確，C錯誤．故選：ABD．【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當時，在單調(diào)遞增B．當時，在處的切線為軸C．當時，在存在唯一極小值點，且D．對任意，在一定存在零點【答案】AC【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及零點，分別對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】對于A，當時，，，因為時，，即，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，當時，，，則，，即切點為，切線斜率為，故切線方程為，故B錯誤；對于C，當時，，，，當時，，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，，因為，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在存在唯一極小值點，由，可得，因為，所以，則，故C正確；對于選項D，，，令，得，，，則，令，得，則，令，得，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，令，得，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以時，取得極小值，極小值為，在的極小值中，最小，當時，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，當時，即時，函數(shù)與無交點，即在不存在零點，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點、最值，及切線方程的求法，考查學(xué)生的推理能力與計算求解能力，屬于難題.10．（多選題）已知函數(shù)，函數(shù)，下列選項正確的是（）A．點是函數(shù)的零點B．，使C．函數(shù)的值域為D．若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BC【分析】根據(jù)零點的定義可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在、上的單調(diào)性性，求出各段上的值域即可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可判斷D.【詳解】對于選項A，0是函數(shù)的零點，零點不是一個點，所以A錯誤.對于選項B，當時，，可得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以，當時，，當時，，