剖析三類傳染病模型的全局穩(wěn)定性：理論、應(yīng)用與展望一、引言1.1研究背景與意義傳染病，作為一種由病原體引發(fā)的疾病，在人類歷史的長(zhǎng)河中始終如影隨形，對(duì)人類健康和社會(huì)穩(wěn)定構(gòu)成了持續(xù)且嚴(yán)重的威脅。從古至今，傳染病的爆發(fā)頻繁地給人類帶來(lái)巨大的災(zāi)難，深刻地改變著人類社會(huì)的發(fā)展進(jìn)程。在歷史上，像黑死病、天花、霍亂等傳染病的大規(guī)模流行，都曾造成了人口的大量死亡。據(jù)史料記載，黑死病在14世紀(jì)的歐洲肆虐，短短幾年內(nèi)就導(dǎo)致約三分之一的歐洲人口喪生，這場(chǎng)災(zāi)難不僅使大量人口失去生命，還對(duì)當(dāng)時(shí)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政治和文化等各個(gè)方面產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，加速了封建社會(huì)的解體，改變了歐洲的社會(huì)結(jié)構(gòu)。進(jìn)入現(xiàn)代社會(huì)，傳染病的威脅依然不容小覷。例如，艾滋病自上世紀(jì)80年代被發(fā)現(xiàn)以來(lái)，已經(jīng)在全球范圍內(nèi)廣泛傳播。據(jù)世界衛(wèi)生組織（WHO）統(tǒng)計(jì)，截至2020年底，全球約有3770萬(wàn)艾滋病感染者，累計(jì)死亡人數(shù)超過(guò)3500萬(wàn)。艾滋病不僅嚴(yán)重危害患者的身體健康，還帶來(lái)了沉重的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)和社會(huì)問(wèn)題，給家庭和社會(huì)造成了巨大的壓力。又如2003年爆發(fā)的嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS），在短短幾個(gè)月內(nèi)迅速蔓延至全球30多個(gè)國(guó)家和地區(qū)，造成了8000多例感染和700多人死亡。SARS的爆發(fā)不僅對(duì)公共衛(wèi)生安全構(gòu)成了嚴(yán)重威脅，還對(duì)全球經(jīng)濟(jì)和旅游業(yè)造成了巨大的沖擊，許多國(guó)家和地區(qū)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)陷入停滯，人們的生活和工作受到了極大的影響。再如，2020年初爆發(fā)的新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，迅速席卷全球，給世界各國(guó)的公共衛(wèi)生體系帶來(lái)了前所未有的挑戰(zhàn)。截至2023年7月，全球累計(jì)確診病例超過(guò)6億例，累計(jì)死亡病例超過(guò)650萬(wàn)例。這場(chǎng)疫情不僅嚴(yán)重威脅了人們的生命健康，還對(duì)全球經(jīng)濟(jì)、教育、文化等各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)衰退、社會(huì)秩序紊亂、人們的生活方式發(fā)生了巨大改變。傳染病的危害是多方面的。從人類健康的角度來(lái)看，傳染病病毒的傳播速度極快，一旦在人群中擴(kuò)散，就容易引發(fā)大規(guī)模的疫情爆發(fā)，嚴(yán)重威脅人們的生命安全。許多傳染病，如艾滋病、瘧疾、乙肝等，能夠侵害人體的各個(gè)系統(tǒng)，破壞身體的免疫系統(tǒng)，導(dǎo)致身體抵抗力下降，出現(xiàn)各種危險(xiǎn)癥狀，最終可能導(dǎo)致死亡。從社會(huì)層面來(lái)看，傳染病的流行會(huì)對(duì)社會(huì)穩(wěn)定和經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生負(fù)面影響。大規(guī)模的傳染病爆發(fā)往往會(huì)導(dǎo)致社會(huì)公共衛(wèi)生體系的崩潰和醫(yī)療資源的匱乏，引發(fā)人們的恐慌情緒，進(jìn)而影響到社會(huì)的正常秩序。同時(shí)，傳染病的防控需要大量的人力、物力和財(cái)力投入，這會(huì)給國(guó)家和社會(huì)帶來(lái)沉重的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)。此外，傳染病還會(huì)對(duì)個(gè)人和家庭造成巨大的影響，患者不僅要承受身體上的痛苦，還會(huì)面臨心理上的壓力，其家人也需要花費(fèi)大量的精力和財(cái)力來(lái)照顧患者和預(yù)防疾病的傳播，這對(duì)許多家庭來(lái)說(shuō)是一個(gè)沉重的負(fù)擔(dān)。為了有效地預(yù)防和控制傳染病的傳播，減少其對(duì)人類健康和社會(huì)的危害，深入研究傳染病的傳播規(guī)律和動(dòng)力學(xué)行為顯得尤為重要。而傳染病模型作為研究傳染病傳播的重要工具，能夠通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法對(duì)傳染病的傳播過(guò)程進(jìn)行定量描述和分析，幫助我們更好地理解傳染病的傳播機(jī)制，預(yù)測(cè)傳染病的發(fā)展趨勢(shì)，評(píng)估防控措施的效果，從而為制定科學(xué)合理的防控策略提供理論依據(jù)。在傳染病模型的研究中，全局穩(wěn)定性分析是一個(gè)至關(guān)重要的研究方向。全局穩(wěn)定性主要探討的是系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的整體行為和趨勢(shì)，即當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)是否會(huì)趨向于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，以及這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)是否具有唯一性和吸引性。通過(guò)對(duì)傳染病模型全局穩(wěn)定性的研究，我們可以明確在不同條件下，傳染病是否會(huì)在人群中持續(xù)傳播并達(dá)到一種穩(wěn)定的流行狀態(tài)，還是會(huì)逐漸被控制并最終消失。這對(duì)于傳染病的防控決策具有極其重要的指導(dǎo)意義。例如，如果我們能夠證明在某種防控措施下，傳染病模型的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，那就意味著通過(guò)實(shí)施這些防控措施，能夠有效地控制傳染病的傳播，最終實(shí)現(xiàn)疾病的消除。反之，如果地方病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，那么我們就需要調(diào)整防控策略，加大防控力度，以降低傳染病的傳播風(fēng)險(xiǎn)，減少其對(duì)社會(huì)的危害。因此，研究傳染病模型的全局穩(wěn)定性，對(duì)于深入理解傳染病的傳播機(jī)制、制定科學(xué)有效的防控策略、保障人類健康和社會(huì)穩(wěn)定具有重要的理論和實(shí)際意義。1.2研究現(xiàn)狀在傳染病模型全局穩(wěn)定性的研究領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已取得了豐碩的成果。在理論研究方面，許多經(jīng)典的傳染病模型如SI（Susceptible-Infectious）模型、SIS（Susceptible-Infectious-Susceptible）模型、SIR（Susceptible-Infectious-Recovered）模型和SEIR（Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered）模型等，都得到了深入的研究。對(duì)于SI模型，早期的研究主要集中在其基本傳播動(dòng)力學(xué)特性上。隨著研究的深入，學(xué)者們開(kāi)始運(yùn)用穩(wěn)定性理論分析模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性。通過(guò)構(gòu)建合適的Lyapunov函數(shù)，證明了在一定條件下，SI模型的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，這意味著當(dāng)滿足特定條件時(shí)，傳染病不會(huì)在人群中持續(xù)傳播，最終會(huì)消失。對(duì)于SIS模型，研究表明其基本再生數(shù)R_0是判斷疾病是否會(huì)持續(xù)傳播的關(guān)鍵指標(biāo)。當(dāng)R_0\lt1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定，疾病會(huì)逐漸被控制；當(dāng)R_0\gt1時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)且全局穩(wěn)定，疾病將在人群中持續(xù)存在。在SIR模型的研究中，利用特征方程和Lyapunov函數(shù)等方法，對(duì)平衡點(diǎn)的局部和全局穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)分析。發(fā)現(xiàn)當(dāng)R_0\lt1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)R_0\gt1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。SEIR模型由于考慮了潛伏期，其動(dòng)力學(xué)行為更為復(fù)雜。學(xué)者們通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行細(xì)致的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析，得出了關(guān)于無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的條件。在實(shí)際應(yīng)用方面，傳染病模型全局穩(wěn)定性的研究成果已被廣泛應(yīng)用于各種傳染病的防控策略制定中。例如，在艾滋病防控中，通過(guò)對(duì)具有治療和潛伏期的艾滋病模型的全局穩(wěn)定性分析，發(fā)現(xiàn)提高治療成功率和縮短潛伏期可以有效降低艾滋病的傳播風(fēng)險(xiǎn)，從而為艾滋病的防控提供了理論依據(jù)。在流感疫情防控中，利用流感傳染病模型的全局穩(wěn)定性研究結(jié)果，評(píng)估不同防控措施如疫苗接種、隔離等對(duì)流感傳播的影響，為制定科學(xué)合理的流感防控策略提供了參考。然而，目前的研究仍存在一些不足之處。一方面，現(xiàn)有的傳染病模型在考慮實(shí)際因素時(shí)還不夠全面。許多模型沒(méi)有充分考慮人口的流動(dòng)、個(gè)體行為的變化以及環(huán)境因素對(duì)傳染病傳播的影響。在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的大規(guī)模流動(dòng)，如節(jié)假日的旅游高峰、城市化進(jìn)程中的人口遷移等，都會(huì)對(duì)傳染病的傳播產(chǎn)生重要影響。個(gè)體行為的變化，如人們?cè)谝咔槠陂g的社交距離保持、口罩佩戴等行為，也會(huì)改變傳染病的傳播動(dòng)力學(xué)。此外，環(huán)境因素，如氣候條件、衛(wèi)生設(shè)施等，也會(huì)影響傳染病的傳播。另一方面，對(duì)于一些復(fù)雜的傳染病模型，如具有時(shí)滯、脈沖效應(yīng)或多種傳播途徑的模型，其全局穩(wěn)定性的分析方法還不夠完善，仍有待進(jìn)一步的研究和改進(jìn)。時(shí)滯因素在傳染病傳播中普遍存在，如從感染到發(fā)病的時(shí)間間隔、疫苗接種后的免疫產(chǎn)生時(shí)間等，但目前對(duì)時(shí)滯傳染病模型全局穩(wěn)定性的研究還存在許多挑戰(zhàn)。脈沖效應(yīng)，如定期的疫苗接種、藥物投放等，也會(huì)對(duì)傳染病的傳播產(chǎn)生重要影響，但相關(guān)的研究還不夠深入。多種傳播途徑的傳染病模型，如同時(shí)存在空氣傳播、接觸傳播和食物傳播的傳染病，其全局穩(wěn)定性的分析更為復(fù)雜，需要更深入的研究。本文正是基于上述研究現(xiàn)狀，旨在進(jìn)一步深入研究三類傳染病模型的全局穩(wěn)定性。通過(guò)建立更加符合實(shí)際情況的傳染病模型，考慮更多的實(shí)際因素，如人口流動(dòng)、個(gè)體行為變化和環(huán)境因素等，運(yùn)用更加完善的分析方法，對(duì)傳染病模型的全局穩(wěn)定性進(jìn)行全面、深入的分析，以期為傳染病的防控提供更具科學(xué)性和實(shí)用性的理論支持。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本文在研究三類傳染病模型的全局穩(wěn)定性時(shí)，綜合運(yùn)用了多種數(shù)學(xué)分析方法，以確保研究的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。在分析具有雙時(shí)滯的病毒模型的穩(wěn)定性時(shí)，利用特征方程得到了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。特征方程是通過(guò)對(duì)模型在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理得到的，它能夠反映系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的局部行為。通過(guò)分析特征方程的根的性質(zhì)，如根的實(shí)部是否小于零等，可以判斷平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。進(jìn)一步通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函證明了平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。Lyapunov泛函是一種用于分析動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的函數(shù)，它的構(gòu)造基于系統(tǒng)的能量或某種廣義能量的概念。如果能夠找到一個(gè)合適的Lyapunov泛函，使得它沿著系統(tǒng)的軌跡單調(diào)遞減，那么就可以證明系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。同時(shí)，利用數(shù)值模擬說(shuō)明結(jié)論的正確性。數(shù)值模擬是通過(guò)計(jì)算機(jī)程序?qū)δＰ瓦M(jìn)行數(shù)值求解，得到模型在不同初始條件下的解的時(shí)間序列。通過(guò)繪制數(shù)值模擬結(jié)果的圖形，如時(shí)間-變量曲線、相圖等，可以直觀地觀察系統(tǒng)的行為，驗(yàn)證理論分析的結(jié)果。在研究具有兩種潛伏期和治療的艾滋病模型的全局穩(wěn)定性時(shí)，利用再生矩陣方法計(jì)算出基本再生數(shù)R_0。再生矩陣方法是一種用于計(jì)算傳染病模型基本再生數(shù)的常用方法，它通過(guò)考慮傳染病在人群中的傳播過(guò)程，將傳播過(guò)程分解為一系列的子過(guò)程，并將這些子過(guò)程用矩陣的形式表示出來(lái)。通過(guò)計(jì)算再生矩陣的特征值，可以得到基本再生數(shù)R_0，它表示在一個(gè)完全易感的人群中，一個(gè)感染者平均能夠感染的人數(shù)。利用比較原理證明了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。比較原理是一種用于分析微分方程解的性質(zhì)的方法，它通過(guò)將一個(gè)微分方程與一個(gè)已知性質(zhì)的微分方程進(jìn)行比較，來(lái)推斷原方程解的性質(zhì)。在證明無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性時(shí)，利用比較原理將艾滋病模型與一個(gè)簡(jiǎn)單的傳染病模型進(jìn)行比較，從而得出無(wú)病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的結(jié)論。進(jìn)一步通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函證明了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。同樣，通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函，分析其沿著系統(tǒng)軌跡的變化情況，證明了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。同時(shí)，利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了分析的結(jié)果。在分析具有不完全治療和接種的傳染病模型時(shí)，分析了模型解的正性和有界性。解的正性是指模型的解在所有時(shí)間點(diǎn)上都大于等于零，這是符合實(shí)際情況的，因?yàn)閭魅静∧Ｐ椭械淖兞客ǔ１硎救丝跀?shù)量或感染人數(shù)等非負(fù)量。解的有界性是指模型的解在所有時(shí)間點(diǎn)上都不會(huì)超過(guò)某個(gè)有限的上界，這也是符合實(shí)際情況的，因?yàn)槿丝跀?shù)量是有限的。通過(guò)分析模型的微分方程，利用不等式的性質(zhì)和一些數(shù)學(xué)技巧，可以證明解的正性和有界性。以及無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。利用Lyapunov函數(shù)法和其他相關(guān)的穩(wěn)定性理論，分別證明了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。最后，利用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是考慮了更符合實(shí)際情況的因素，如在艾滋病模型中考慮了兩種潛伏期和治療的情況，在傳染病模型中考慮了不完全治療和接種的情況。這些因素在實(shí)際的傳染病傳播過(guò)程中是普遍存在的，考慮它們能夠使模型更加貼近現(xiàn)實(shí)，提高模型的實(shí)用性和準(zhǔn)確性。二是綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)分析方法，如Lyapunov函數(shù)法、再生矩陣方法、比較原理等，對(duì)傳染病模型的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了全面、深入的分析。不同的數(shù)學(xué)分析方法具有各自的優(yōu)點(diǎn)和適用范圍，綜合運(yùn)用這些方法能夠從多個(gè)角度對(duì)模型進(jìn)行分析，得到更全面、更深入的結(jié)論。三是通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，使研究結(jié)果更加具有說(shuō)服力。數(shù)值模擬不僅能夠直觀地展示模型的行為，還能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)理論分析中可能存在的問(wèn)題，進(jìn)一步完善理論分析。二、三類傳染病模型概述2.1SIR模型2.1.1模型基本內(nèi)容與假設(shè)條件SIR模型作為傳染病動(dòng)力學(xué)研究中的經(jīng)典模型，將傳染病流行范圍內(nèi)的人群劃分為三個(gè)類別：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康復(fù)者（Recovered）。易感者，即尚未感染疾病但對(duì)該疾病缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易被感染的人群，其數(shù)量記為S(t)，表示t時(shí)刻未染病但有可能被傳染的人數(shù)；感染者，是指已經(jīng)染上傳染病且具有傳染能力，能夠?qū)⒉《緜鞑ソo易感者的人群，數(shù)量記為I(t)，代表t時(shí)刻已被感染且具有傳染力的人數(shù)；康復(fù)者則是指從感染者中恢復(fù)過(guò)來(lái)，因病愈而具有免疫力或被隔離的人群，數(shù)量記為R(t)，表示t時(shí)刻已從染病者中移出的人數(shù)。并且，在模型中假設(shè)總?cè)丝跀?shù)N保持不變，即N=S(t)+I(t)+R(t)。SIR模型基于以下幾個(gè)基本假設(shè)構(gòu)建：一是不考慮人口的出生、死亡、流動(dòng)等種群動(dòng)力因素，人口始終保持一個(gè)常數(shù)。在現(xiàn)實(shí)生活中，雖然人口的出生、死亡和流動(dòng)是客觀存在的，但在某些特定的研究場(chǎng)景下，為了簡(jiǎn)化模型和突出傳染病傳播的核心特征，暫時(shí)忽略這些因素是合理的。例如，在研究一個(gè)相對(duì)封閉的社區(qū)內(nèi)傳染病的傳播時(shí)，短期內(nèi)人口的出生和死亡數(shù)量相對(duì)較少，人口流動(dòng)也受到限制，此時(shí)假設(shè)人口總數(shù)不變可以使模型更加簡(jiǎn)潔明了。二是假設(shè)一個(gè)病人一旦與易感者接觸就必然具有一定的傳染力。具體而言，在t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人能傳染的易感者數(shù)目與此環(huán)境內(nèi)易感者總數(shù)S(t)成正比，比例系數(shù)為\beta，從而在t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)被所有病人傳染的人數(shù)為\betaS(t)I(t)。這一假設(shè)體現(xiàn)了傳染病傳播的基本機(jī)制，即感染者與易感者之間的接觸會(huì)導(dǎo)致疾病的傳播，且接觸的易感者越多，傳播的可能性就越大。三是t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)從染病者中移出的人數(shù)與病人數(shù)量成正比，比例系數(shù)為\gamma，單位時(shí)間內(nèi)移出者的數(shù)量為\gammaI(t)。這一假設(shè)反映了感染者康復(fù)或被隔離的過(guò)程，康復(fù)率\gamma的大小影響著感染者從傳染系統(tǒng)中移除的速度。基于上述假設(shè)，SIR模型的動(dòng)力學(xué)過(guò)程可以用以下微分方程組來(lái)描述：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}其中，\frac{dS(t)}{dt}表示易感者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，由于易感者與感染者接觸后會(huì)被感染，所以其變化率為負(fù)，與\betaS(t)I(t)成正比；\frac{dI(t)}{dt}表示感染者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，它等于新感染的人數(shù)\betaS(t)I(t)減去康復(fù)的人數(shù)\gammaI(t)；\frac{dR(t)}{dt}表示康復(fù)者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，與康復(fù)的感染者人數(shù)\gammaI(t)成正比。2.1.2模型參數(shù)含義與作用在SIR模型中，有兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：感染率\beta和康復(fù)率\gamma，它們對(duì)疾病傳播和模型穩(wěn)定性有著重要的影響。感染率\beta表示在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)感染者能夠傳染給易感者的平均人數(shù)，它反映了傳染病的傳染性強(qiáng)弱。\beta的值越大，意味著感染者與易感者之間的接觸越頻繁，傳染病的傳播速度就越快。在流感疫情中，如果感染率較高，一個(gè)流感患者在短時(shí)間內(nèi)就可能將病毒傳播給多個(gè)易感者，導(dǎo)致疫情迅速擴(kuò)散。感染率\beta受到多種因素的影響，如病毒的傳播能力、人群的接觸模式、環(huán)境條件等。在人口密集的場(chǎng)所，如學(xué)校、商場(chǎng)等，人們的接觸更加頻繁，感染率往往會(huì)相對(duì)較高；而在通風(fēng)良好、衛(wèi)生條件較好的環(huán)境中，感染率可能會(huì)降低。康復(fù)率\gamma表示單位時(shí)間內(nèi)感染者康復(fù)的比例，它反映了感染者康復(fù)的速度。\gamma的值越大，說(shuō)明感染者康復(fù)的速度越快，傳染病在人群中的持續(xù)時(shí)間就越短。在一些傳染病中，如麻疹，患者在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的治療后能夠較快地康復(fù)，康復(fù)率較高，這有助于控制疾病的傳播。康復(fù)率\gamma受到醫(yī)療條件、患者自身免疫力等因素的影響。先進(jìn)的醫(yī)療技術(shù)和良好的醫(yī)療條件可以提高患者的康復(fù)率，縮短康復(fù)時(shí)間；而患者自身免疫力較強(qiáng)，也更容易康復(fù)。除了感染率\beta和康復(fù)率\gamma外，基本再生數(shù)R_0也是SIR模型中的一個(gè)重要參數(shù)，它表示在一個(gè)完全易感的人群中，一個(gè)感染者平均能夠感染的人數(shù)。R_0的計(jì)算公式為R_0=\frac{\beta}{\gamma}。基本再生數(shù)R_0是判斷傳染病是否會(huì)在人群中持續(xù)傳播的關(guān)鍵指標(biāo)。當(dāng)R_0\lt1時(shí)，意味著一個(gè)感染者平均感染的人數(shù)小于1，隨著時(shí)間的推移，感染者的數(shù)量會(huì)逐漸減少，最終傳染病會(huì)被控制并消失，此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。當(dāng)R_0\gt1時(shí)，一個(gè)感染者平均感染的人數(shù)大于1，感染者的數(shù)量會(huì)不斷增加，傳染病將在人群中持續(xù)傳播，存在地方病平衡點(diǎn)且全局穩(wěn)定。因此，通過(guò)控制感染率\beta和康復(fù)率\gamma，可以調(diào)整基本再生數(shù)R_0的大小，從而影響傳染病的傳播趨勢(shì)和模型的穩(wěn)定性。在傳染病防控中，采取加強(qiáng)衛(wèi)生宣傳、提高人群免疫力、隔離感染者等措施，可以降低感染率\beta或提高康復(fù)率\gamma，使R_0小于1，達(dá)到控制傳染病傳播的目的。2.2SEIR模型2.2.1模型基本內(nèi)容與假設(shè)條件SEIR模型在SIR模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步細(xì)化了傳染病傳播過(guò)程中人群的狀態(tài)分類，引入了暴露者（Exposed）這一類別。暴露者是指已經(jīng)感染了病原體，但尚未表現(xiàn)出明顯癥狀且不具備傳染能力的人群。在SEIR模型中，將傳染病流行范圍內(nèi)的人群分為四類：易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、感染者（Infectious）和康復(fù)者（Recovered）。模型假設(shè)所研究地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)N保持不變，即不考慮人口的出生、死亡、遷移等因素對(duì)人口數(shù)量的影響。在現(xiàn)實(shí)中，雖然這些因素會(huì)對(duì)傳染病傳播產(chǎn)生影響，但在一定時(shí)間段和特定區(qū)域內(nèi)，為簡(jiǎn)化模型，暫不考慮它們。例如在研究一個(gè)相對(duì)封閉的社區(qū)在短期內(nèi)傳染病傳播時(shí)，可合理忽略人口變動(dòng)因素。人群被清晰劃分為上述四類，不同類別人群在傳染病傳播過(guò)程中扮演不同角色，相互之間存在特定的轉(zhuǎn)化關(guān)系。具體轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：易感者（S(t)）與感染者（I(t)）接觸后，會(huì)以一定概率被感染，從而轉(zhuǎn)化為暴露者（E(t)）。暴露者經(jīng)過(guò)一段潛伏期后，會(huì)發(fā)展成為具有傳染能力的感染者。感染者在患病一段時(shí)間后，會(huì)以一定的康復(fù)率康復(fù)，進(jìn)入康復(fù)者（R(t)）類別，康復(fù)者獲得免疫力，不再參與疾病傳播。用數(shù)學(xué)公式表示為：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dE(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\sigmaE(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\sigmaE(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}其中，\frac{dS(t)}{dt}表示易感者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，由于易感者與感染者接觸被感染，所以其變化率為負(fù)，與\betaS(t)I(t)成正比。\frac{dE(t)}{dt}表示暴露者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，等于新感染的易感者人數(shù)\betaS(t)I(t)減去轉(zhuǎn)化為感染者的暴露者人數(shù)\sigmaE(t)。\frac{dI(t)}{dt}表示感染者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，等于轉(zhuǎn)化為感染者的暴露者人數(shù)\sigmaE(t)減去康復(fù)的感染者人數(shù)\gammaI(t)。\frac{dR(t)}{dt}表示康復(fù)者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，與康復(fù)的感染者人數(shù)\gammaI(t)成正比。2.2.2模型參數(shù)含義與作用在SEIR模型中，包含多個(gè)重要參數(shù)，這些參數(shù)在傳染病傳播過(guò)程中起著關(guān)鍵作用，直接影響著疾病的傳播速度、持續(xù)時(shí)間和最終的傳播范圍。感染率\beta是一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，它表示在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)感染者能夠傳染給易感者的平均人數(shù)。\beta值的大小反映了傳染病的傳染性強(qiáng)弱。例如在流感傳播中，若感染率較高，一個(gè)流感患者在公共場(chǎng)所活動(dòng)時(shí)，短時(shí)間內(nèi)可能將病毒傳播給多個(gè)易感者，導(dǎo)致疫情快速擴(kuò)散。感染率受多種因素影響，如病毒本身的傳播特性、人群的密集程度、社交活動(dòng)的頻繁程度以及防護(hù)措施的實(shí)施情況等。在人口密集且人員流動(dòng)頻繁的場(chǎng)所，如火車站、商場(chǎng)等，感染率通常較高；而當(dāng)人們普遍采取佩戴口罩、保持社交距離等防護(hù)措施時(shí)，感染率會(huì)降低。潛伏期\frac{1}{\sigma}也是一個(gè)重要參數(shù)，它表示從暴露者感染病原體到發(fā)展成為具有傳染能力的感染者所經(jīng)歷的平均時(shí)間。潛伏期的長(zhǎng)短對(duì)傳染病的防控具有重要意義。如果潛伏期較長(zhǎng)，病原體在人群中悄無(wú)聲息地傳播，不易被及時(shí)察覺(jué)，等到感染者出現(xiàn)癥狀時(shí)，可能已經(jīng)有大量人群被感染，增加了疫情防控的難度。例如新冠病毒，其潛伏期相對(duì)較長(zhǎng)，在疫情初期給防控工作帶來(lái)了很大挑戰(zhàn)。了解潛伏期有助于制定合理的防控策略，如確定隔離觀察的時(shí)間、追蹤密切接觸者的時(shí)間范圍等?？祻?fù)率\gamma表示單位時(shí)間內(nèi)感染者康復(fù)的比例?？祻?fù)率的高低直接影響著感染者從傳染系統(tǒng)中移除的速度。當(dāng)康復(fù)率較高時(shí)，感染者能夠較快地康復(fù)，減少了傳染源，有利于控制疾病的傳播。在一些傳染病中，如麻疹，醫(yī)療條件較好時(shí)，患者康復(fù)率較高，疾病傳播能夠得到有效控制?？祻?fù)率受到醫(yī)療水平、患者自身免疫力等因素的影響。先進(jìn)的醫(yī)療技術(shù)和良好的醫(yī)療條件可以提高康復(fù)率，縮短患者的康復(fù)時(shí)間；而患者自身免疫力強(qiáng)，也更容易康復(fù)?；驹偕鷶?shù)R_0在SEIR模型中同樣具有重要意義，它的計(jì)算公式為R_0=\frac{\beta}{\sigma}\times\frac{1}{\gamma}，表示在一個(gè)完全易感的人群中，一個(gè)感染者平均能夠感染的人數(shù)。基本再生數(shù)R_0是判斷傳染病是否會(huì)在人群中持續(xù)傳播的關(guān)鍵指標(biāo)。當(dāng)R_0\lt1時(shí)，意味著一個(gè)感染者平均感染的人數(shù)小于1，隨著時(shí)間的推移，感染者的數(shù)量會(huì)逐漸減少，最終傳染病會(huì)被控制并消失，此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。當(dāng)R_0\gt1時(shí)，一個(gè)感染者平均感染的人數(shù)大于1，感染者的數(shù)量會(huì)不斷增加，傳染病將在人群中持續(xù)傳播，存在地方病平衡點(diǎn)且全局穩(wěn)定。因此，通過(guò)控制感染率\beta、潛伏期\frac{1}{\sigma}和康復(fù)率\gamma，可以調(diào)整基本再生數(shù)R_0的大小，從而影響傳染病的傳播趨勢(shì)和模型的穩(wěn)定性。在傳染病防控中，采取加強(qiáng)衛(wèi)生宣傳、提高人群免疫力、隔離感染者、縮短潛伏期等措施，可以降低感染率\beta或提高康復(fù)率\gamma，使R_0小于1，達(dá)到控制傳染病傳播的目的。2.3SI模型2.3.1模型基本內(nèi)容與假設(shè)條件SI模型是傳染病動(dòng)力學(xué)模型中較為基礎(chǔ)的一種，它將所研究的人群簡(jiǎn)單地劃分為兩個(gè)類別：易感者（Susceptible）和感染者（Infectious）。易感者是指那些尚未感染疾病，但對(duì)該疾病沒(méi)有免疫能力，一旦與感染者接觸就有被感染風(fēng)險(xiǎn)的人群，用S(t)表示t時(shí)刻易感者的數(shù)量；感染者則是已經(jīng)感染了疾病，并且能夠?qū)⒓膊鞑ソo易感者的人群，用I(t)表示t時(shí)刻感染者的數(shù)量。模型假設(shè)所研究地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)N保持恒定不變，即N=S(t)+I(t)。SI模型基于以下關(guān)鍵假設(shè)構(gòu)建：在疾病傳播的整個(gè)過(guò)程中，不考慮人口的出生、死亡、遷移等因素對(duì)人口數(shù)量的影響。這一假設(shè)在某些特定的研究場(chǎng)景下是合理的，例如在研究一個(gè)相對(duì)封閉的社區(qū)內(nèi)短期內(nèi)傳染病的傳播時(shí)，人口的出生、死亡和遷移數(shù)量相對(duì)較少，對(duì)傳染病傳播的影響較小，可以暫時(shí)忽略。每個(gè)感染者在單位時(shí)間內(nèi)能夠有效接觸的易感者人數(shù)是一個(gè)固定的常數(shù)\lambda，也被稱為日接觸率。當(dāng)感染者與易感者發(fā)生有效接觸時(shí)，易感者會(huì)以一定的概率被感染而轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?。這一假設(shè)反映了傳染病傳播的基本機(jī)制，即通過(guò)感染者與易感者之間的接觸來(lái)實(shí)現(xiàn)疾病的傳播。基于上述假設(shè)，SI模型可以用以下微分方程來(lái)描述：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\lambdaS(t)I(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\lambdaS(t)I(t)\end{cases}其中，\frac{dS(t)}{dt}表示易感者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，由于易感者與感染者接觸后會(huì)被感染，所以其變化率為負(fù)，與\lambdaS(t)I(t)成正比；\frac{dI(t)}{dt}表示感染者人數(shù)隨時(shí)間的變化率，它等于新感染的人數(shù)\lambdaS(t)I(t)，因?yàn)樵谶@個(gè)模型中沒(méi)有考慮感染者的康復(fù)或移除情況，所以感染者人數(shù)的增加量就是新感染的人數(shù)。2.3.2模型參數(shù)含義與作用在SI模型中，日接觸率\lambda是一個(gè)至關(guān)重要的參數(shù)，它對(duì)傳染病的傳播起著決定性的作用。日接觸率\lambda表示在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)感染者平均能夠有效接觸并傳染給易感者的人數(shù)。\lambda的大小直接反映了傳染病的傳播能力和傳播速度。如果\lambda的值較大，說(shuō)明感染者與易感者之間的接觸較為頻繁，傳染病的傳播速度就會(huì)很快，疫情可能會(huì)迅速擴(kuò)散。在人口密集且人員流動(dòng)頻繁的場(chǎng)所，如學(xué)校、商場(chǎng)等，日接觸率往往較高，傳染病容易在這些地方快速傳播。日接觸率\lambda受到多種因素的影響。人群的密度是一個(gè)重要因素，當(dāng)人群密度較大時(shí)，人們之間的距離較近，接觸的機(jī)會(huì)就會(huì)增加，從而導(dǎo)致日接觸率升高。在擁擠的公共交通工具上，人們之間的距離很近，容易發(fā)生密切接觸，使得傳染病的傳播風(fēng)險(xiǎn)大大增加。人們的社交行為和活動(dòng)模式也會(huì)對(duì)日接觸率產(chǎn)生影響。如果人們的社交活動(dòng)頻繁，經(jīng)常參加聚會(huì)、社交活動(dòng)等，那么感染者與易感者之間的接觸機(jī)會(huì)就會(huì)增多，日接觸率也會(huì)相應(yīng)提高。個(gè)人的衛(wèi)生習(xí)慣和防護(hù)措施也會(huì)影響日接觸率。如果人們養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，如勤洗手、佩戴口罩等，并且在公共場(chǎng)所采取有效的防護(hù)措施，就可以減少感染者與易感者之間的有效接觸，從而降低日接觸率。初始感染人數(shù)I(0)和初始易感人數(shù)S(0)也是SI模型中的重要參數(shù)，它們對(duì)傳染病的傳播起始狀態(tài)和初期傳播趨勢(shì)有著重要影響。初始感染人數(shù)I(0)表示在傳染病傳播開(kāi)始時(shí)，已經(jīng)感染疾病的人數(shù)。如果初始感染人數(shù)較多，那么在傳播初期，就會(huì)有更多的傳染源，傳染病的傳播速度可能會(huì)更快，疫情更容易擴(kuò)散。在疫情爆發(fā)初期，如果未能及時(shí)發(fā)現(xiàn)和隔離感染者，導(dǎo)致初始感染人數(shù)較多，那么疫情的控制難度就會(huì)增大。初始易感人數(shù)S(0)表示在傳染病傳播開(kāi)始時(shí)，未感染疾病且容易被感染的人數(shù)。初始易感人數(shù)越多，可供傳染病傳播的對(duì)象就越多，傳染病的傳播潛力也就越大。在一個(gè)人口眾多且對(duì)某種傳染病普遍缺乏免疫力的地區(qū)，初始易感人數(shù)較多，一旦有傳染病傳入，就可能引發(fā)大規(guī)模的傳播。通過(guò)對(duì)SI模型參數(shù)的分析可以看出，控制傳染病的傳播可以從降低日接觸率、減少初始感染人數(shù)和提高人群免疫力（從而減少初始易感人數(shù)）等方面入手。加強(qiáng)公共衛(wèi)生宣傳，提高人們的衛(wèi)生意識(shí)和防護(hù)意識(shí)，鼓勵(lì)人們養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，佩戴口罩、保持社交距離等，可以有效降低日接觸率。加強(qiáng)疫情監(jiān)測(cè)和防控，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和隔離感染者，減少初始感染人數(shù)。通過(guò)疫苗接種等方式提高人群的免疫力，降低初始易感人數(shù)，從而有效控制傳染病的傳播。三、全局穩(wěn)定性相關(guān)理論3.1全局穩(wěn)定性的定義3.1.1定義闡述在動(dòng)力系統(tǒng)理論中，全局穩(wěn)定性是一個(gè)關(guān)鍵概念，對(duì)于傳染病模型的研究具有重要意義。全局穩(wěn)定性描述的是系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)的長(zhǎng)期行為和趨勢(shì)。對(duì)于一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，如果存在一個(gè)平衡點(diǎn)E^*，對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)E_0，系統(tǒng)的解E(t)在時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，都趨向于這個(gè)平衡點(diǎn)E^*，即\lim_{t\to\infty}E(t)=E^*，那么就稱該平衡點(diǎn)E^*是全局穩(wěn)定的。以傳染病模型為例，假設(shè)傳染病模型存在無(wú)病平衡點(diǎn)E_0和地方病平衡點(diǎn)E_1。當(dāng)無(wú)病平衡點(diǎn)E_0全局穩(wěn)定時(shí)，意味著無(wú)論初始時(shí)刻易感者、感染者和其他狀態(tài)人群的數(shù)量如何分布，隨著時(shí)間的推移，感染者的數(shù)量會(huì)逐漸減少，最終趨于零，疾病被完全控制，系統(tǒng)穩(wěn)定在無(wú)病的狀態(tài)。這是因?yàn)樵谶@種情況下，系統(tǒng)的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)機(jī)制使得疾病的傳播無(wú)法持續(xù)，傳播過(guò)程會(huì)逐漸衰減直至停止。在SIR模型中，當(dāng)基本再生數(shù)R_0\lt1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)(S^*,0,0)是全局穩(wěn)定的。這是因?yàn)镽_0\lt1表示一個(gè)感染者平均能夠感染的人數(shù)小于1，隨著時(shí)間的推移，新感染的人數(shù)會(huì)越來(lái)越少，感染者數(shù)量逐漸減少，最終疾病消失，系統(tǒng)穩(wěn)定在無(wú)病平衡點(diǎn)。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，通過(guò)對(duì)SIR模型的微分方程組進(jìn)行分析，當(dāng)R_0\lt1時(shí)，可以證明對(duì)于任意的初始條件(S(0),I(0),R(0))，都有\(zhòng)lim_{t\to\infty}I(t)=0，\lim_{t\to\infty}S(t)=S^*，\lim_{t\to\infty}R(t)=N-S^*，其中N為總?cè)丝跀?shù)。當(dāng)?shù)胤讲∑胶恻c(diǎn)E_1全局穩(wěn)定時(shí)，無(wú)論初始狀態(tài)如何，系統(tǒng)最終都會(huì)趨向于這個(gè)地方病平衡點(diǎn)。這意味著疾病會(huì)在人群中持續(xù)存在，并且達(dá)到一種穩(wěn)定的流行狀態(tài)。在SIR模型中，當(dāng)R_0\gt1時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)(S^*,I^*,R^*)且全局穩(wěn)定。此時(shí)，雖然疾病不會(huì)消失，但感染者數(shù)量和易感者數(shù)量會(huì)達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平，疾病在人群中持續(xù)傳播但不會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)散導(dǎo)致疫情失控。全局穩(wěn)定性的概念對(duì)于理解傳染病的傳播和控制具有重要意義。它能夠幫助我們判斷在不同條件下傳染病的最終發(fā)展趨勢(shì)，從而為制定合理的防控策略提供理論依據(jù)。如果我們知道某個(gè)傳染病模型的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，那么我們就可以采取相應(yīng)的措施，如加強(qiáng)衛(wèi)生宣傳、提高人群免疫力等，使系統(tǒng)朝著無(wú)病平衡點(diǎn)發(fā)展，最終實(shí)現(xiàn)疾病的消除。反之，如果地方病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，我們就需要加大防控力度，采取更嚴(yán)格的措施，如隔離感染者、限制人員流動(dòng)等，以降低疾病的傳播風(fēng)險(xiǎn)，減少其對(duì)社會(huì)的危害。3.1.2與本質(zhì)穩(wěn)定性的區(qū)別在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究中，本質(zhì)穩(wěn)定性與全局穩(wěn)定性是兩個(gè)容易混淆的概念，它們?cè)诙x、判定條件和實(shí)際意義等方面存在顯著差異。本質(zhì)穩(wěn)定性主要關(guān)注的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的局部行為，它強(qiáng)調(diào)的是系統(tǒng)在受到微小擾動(dòng)后，是否能夠恢復(fù)到原來(lái)的平衡點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E^*，如果存在一個(gè)足夠小的鄰域U，使得當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)E_0位于這個(gè)鄰域U內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)的解E(t)在時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，仍然趨向于平衡點(diǎn)E^*，即\lim_{t\to\infty}E(t)=E^*，那么就稱該平衡點(diǎn)E^*是本質(zhì)穩(wěn)定的。本質(zhì)穩(wěn)定性主要考慮的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定性，它并不關(guān)心系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)的行為。在傳染病模型中，本質(zhì)穩(wěn)定性主要用于判斷在疾病傳播初期，當(dāng)感染者數(shù)量較少時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性。如果無(wú)病平衡點(diǎn)是本質(zhì)穩(wěn)定的，那么在疾病傳播初期，當(dāng)感染者數(shù)量很少時(shí)，疾病不會(huì)大規(guī)模傳播，而是會(huì)逐漸消失。然而，如果本質(zhì)穩(wěn)定性的條件不滿足，即使初始感染者數(shù)量很少，疾病也可能會(huì)迅速傳播，導(dǎo)致疫情爆發(fā)。與本質(zhì)穩(wěn)定性不同，全局穩(wěn)定性關(guān)注的是系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)的行為，它考慮的是系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)，隨著時(shí)間的推移，是否會(huì)趨向于一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。全局穩(wěn)定性要求系統(tǒng)在任何初始條件下都能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而不僅僅是在平衡點(diǎn)附近的微小擾動(dòng)下。在傳染病模型中，全局穩(wěn)定性對(duì)于判斷傳染病的最終傳播趨勢(shì)至關(guān)重要。如果無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，那么無(wú)論初始感染人數(shù)和易感人數(shù)如何分布，疾病最終都會(huì)被控制并消失。相反，如果地方病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，那么疾病會(huì)在人群中持續(xù)傳播并達(dá)到一種穩(wěn)定的流行狀態(tài)，無(wú)論初始狀態(tài)如何。從判定條件來(lái)看，本質(zhì)穩(wěn)定性通常通過(guò)分析系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的線性化方程來(lái)判斷，即通過(guò)計(jì)算線性化方程的特征值來(lái)確定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。如果線性化方程的所有特征值的實(shí)部都小于零，那么平衡點(diǎn)是本質(zhì)穩(wěn)定的。而全局穩(wěn)定性的判定則通常需要更復(fù)雜的方法，如構(gòu)造Lyapunov函數(shù)、運(yùn)用LaSalle不變集原理等。Lyapunov函數(shù)是一種用于分析動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的函數(shù)，它的構(gòu)造基于系統(tǒng)的能量或某種廣義能量的概念。如果能夠找到一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)，使得它沿著系統(tǒng)的軌跡單調(diào)遞減，那么就可以證明系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。LaSalle不變集原理則是通過(guò)分析系統(tǒng)的不變集來(lái)判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。本質(zhì)穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性在實(shí)際意義上也有所不同。本質(zhì)穩(wěn)定性主要用于評(píng)估系統(tǒng)在正常運(yùn)行狀態(tài)下，受到微小干擾時(shí)的穩(wěn)定性，它對(duì)于系統(tǒng)的短期穩(wěn)定性分析具有重要意義。而全局穩(wěn)定性則更關(guān)注系統(tǒng)在各種可能情況下的長(zhǎng)期穩(wěn)定性，它對(duì)于系統(tǒng)的整體性能評(píng)估和長(zhǎng)期規(guī)劃具有重要指導(dǎo)作用。在傳染病防控中，本質(zhì)穩(wěn)定性可以幫助我們判斷在疾病爆發(fā)初期，采取一些簡(jiǎn)單的防控措施是否能夠有效控制疾病的傳播。而全局穩(wěn)定性則可以幫助我們制定長(zhǎng)期的防控策略，預(yù)測(cè)疾病在不同防控措施下的最終傳播趨勢(shì)，從而為決策者提供更全面的信息。三、全局穩(wěn)定性相關(guān)理論3.2全局穩(wěn)定性證明方法3.2.1Lyapunov函數(shù)法Lyapunov函數(shù)法是證明傳染病模型全局穩(wěn)定性的重要方法之一，其核心思想源于俄羅斯數(shù)學(xué)家Lyapunov在19世紀(jì)末提出的穩(wěn)定性理論。該理論基于能量的概念，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)，來(lái)分析系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的能量變化情況，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)\frac{dx}{dt}=f(x)，其中x是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，f(x)是關(guān)于x的函數(shù)向量。如果能夠找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x)，即V(x)\gt0對(duì)于所有x\neq0成立，并且V(0)=0，同時(shí)其沿著系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)\frac{dV}{dt}=\frac{\partialV}{\partialx}\cdotf(x)\leq0，那么系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0是穩(wěn)定的。如果進(jìn)一步有\(zhòng)frac{dV}{dt}\lt0對(duì)于所有x\neq0成立，那么平衡點(diǎn)x=0是漸近穩(wěn)定的。當(dāng)系統(tǒng)滿足一定條件，如V(x)是徑向無(wú)界的（即當(dāng)\vertx\vert\to\infty時(shí)，V(x)\to\infty），則可以證明平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。在傳染病模型中，Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造通常與模型中的變量和參數(shù)相關(guān)。以SIR模型為例，一種常見(jiàn)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方式為V(S,I,R)=I+\frac{\beta}{\gamma}S。對(duì)V(S,I,R)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)：\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=\frac{dI}{dt}+\frac{\beta}{\gamma}\frac{dS}{dt}\\&=(\betaSI-\gammaI)+\frac{\beta}{\gamma}(-\betaSI)\\&=\betaSI-\gammaI-\frac{\beta^2}{\gamma}SI\\&=I(\betaS-\gamma-\frac{\beta^2}{\gamma}S)\end{align*}當(dāng)基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta}{\gamma}\lt1時(shí)，對(duì)\frac{dV}{dt}進(jìn)一步分析：\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=I(\betaS-\gamma-\frac{\beta^2}{\gamma}S)\\&=I(\betaS-\gamma-\betaR_0S)\\&=I(\betaS(1-R_0)-\gamma)\end{align*}因?yàn)镽_0\lt1，所以1-R_0\gt0，且S\geq0，I\geq0，\beta\gt0，\gamma\gt0，則當(dāng)S足夠大時(shí)，\betaS(1-R_0)-\gamma可能大于0，但當(dāng)S滿足一定條件時(shí)，\betaS(1-R_0)-\gamma\lt0，從而\frac{dV}{dt}\lt0。這表明隨著時(shí)間的推移，Lyapunov函數(shù)V(S,I,R)的值逐漸減小，系統(tǒng)趨向于無(wú)病平衡點(diǎn)，即無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。又如在具有時(shí)滯的傳染病模型中，Lyapunov泛函的構(gòu)造更為復(fù)雜，需要考慮時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響。假設(shè)一個(gè)具有時(shí)滯的傳染病模型為\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t-\tau)，\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t-\tau)-\gammaI(t)，其中\(zhòng)tau為時(shí)滯?？梢詷?gòu)造Lyapunov泛函V(S(t),I(t))=I(t)+\frac{\beta}{\gamma}S(t)+\beta\int_{t-\tau}^{t}S(s)I(s)ds。對(duì)V(S(t),I(t))求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，并利用模型的微分方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來(lái)判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。Lyapunov函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)在于它可以直接給出系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論，不需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，適用于各種類型的動(dòng)力系統(tǒng)，包括非線性系統(tǒng)。然而，其缺點(diǎn)是構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)往往具有很大的挑戰(zhàn)性，需要對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性有深入的理解，目前并沒(méi)有通用的構(gòu)造方法，通常需要根據(jù)具體的模型和問(wèn)題進(jìn)行嘗試和探索。3.2.2LaSalle不變集法LaSalle不變集法是基于LaSalle不變性原理發(fā)展而來(lái)的一種用于證明動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，由美國(guó)數(shù)學(xué)家J.P.LaSalle在20世紀(jì)60年代提出。該方法在傳染病模型穩(wěn)定性證明中具有重要的應(yīng)用，特別是當(dāng)Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅為負(fù)半定時(shí)，LaSalle不變集法能夠彌補(bǔ)Lyapunov函數(shù)法的不足，進(jìn)一步分析系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。LaSalle不變性原理的核心概念是不變集。對(duì)于一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)\frac{dx}{dt}=f(x)，如果集合M滿足從M中任意一點(diǎn)出發(fā)的系統(tǒng)軌線始終保持在M內(nèi)，那么集合M就是該系統(tǒng)的一個(gè)不變集。平衡點(diǎn)是最簡(jiǎn)單的不變集，因?yàn)槠胶恻c(diǎn)處系統(tǒng)的狀態(tài)不隨時(shí)間變化。此外，極限環(huán)也是一種不變集，在極限環(huán)上系統(tǒng)的軌線會(huì)周期性地重復(fù)運(yùn)動(dòng)。LaSalle不變性原理的具體內(nèi)容為：對(duì)于一個(gè)自治系統(tǒng)\frac{dx}{dt}=f(x)，設(shè)V(x)是一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，并且滿足對(duì)于任何l\gt0，由V(x)\ltl定義的集合\Omega_l為一個(gè)有界區(qū)域，且\dot{V}(x)\leq0，x\in\Omega_l。設(shè)R為\Omega_l內(nèi)使\dot{V}(x)=0的所有點(diǎn)的集合，M為R中的最大不變集，那么當(dāng)t\to\infty時(shí)，從\Omega_l出發(fā)的每一個(gè)解均趨于M。在傳染病模型中應(yīng)用LaSalle不變集法時(shí)，首先需要構(gòu)造一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)V(x)，然后分析\dot{V}(x)的性質(zhì)。如果\dot{V}(x)\leq0，則可以確定集合R，即\dot{V}(x)=0的點(diǎn)集。接著，找出R中的最大不變集M，根據(jù)LaSalle不變性原理，系統(tǒng)的解最終會(huì)趨向于M。如果能夠證明最大不變集M只包含平衡點(diǎn)，那么就可以得出系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的結(jié)論。以一個(gè)簡(jiǎn)單的傳染病模型\frac{dS}{dt}=-\betaSI，\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI為例，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(S,I)=I+\frac{\beta}{\gamma}S，對(duì)其求導(dǎo)可得\dot{V}(S,I)=(\betaSI-\gammaI)+\frac{\beta}{\gamma}(-\betaSI)=I(\betaS-\gamma-\frac{\beta^2}{\gamma}S)。當(dāng)\dot{V}(S,I)=0時(shí)，即I(\betaS-\gamma-\frac{\beta^2}{\gamma}S)=0，這可能是I=0或者\(yùn)betaS-\gamma-\frac{\beta^2}{\gamma}S=0。對(duì)于I=0的情況，對(duì)應(yīng)的是無(wú)病平衡點(diǎn)。通過(guò)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，在這種情況下，最大不變集M就是無(wú)病平衡點(diǎn)。根據(jù)LaSalle不變性原理，系統(tǒng)的解會(huì)趨向于無(wú)病平衡點(diǎn)，從而證明了無(wú)病平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性。LaSalle不變集法的優(yōu)點(diǎn)是它能夠處理Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)為負(fù)半定的情況，提供了一種更一般的穩(wěn)定性分析方法。然而，該方法的應(yīng)用也存在一定的困難，主要在于確定集合R中的最大不變集M，這需要對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有深入的理解和分析，有時(shí)需要借助一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧和理論。3.2.3其他方法除了Lyapunov函數(shù)法和LaSalle不變集法外，在傳染病模型全局穩(wěn)定性的研究中，還存在多種其他方法，它們從不同角度為分析傳染病模型的穩(wěn)定性提供了有力工具。再生矩陣方法是一種常用于計(jì)算傳染病模型基本再生數(shù)R_0的方法，基本再生數(shù)R_0在判斷傳染病的傳播趨勢(shì)和模型穩(wěn)定性中起著關(guān)鍵作用。該方法通過(guò)將傳染病在人群中的傳播過(guò)程分解為一系列的子過(guò)程，并將這些子過(guò)程用矩陣的形式表示出來(lái)。具體而言，首先確定模型中的感染類和易感類，然后分析每個(gè)感染類在單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生新感染的數(shù)量，這些數(shù)量構(gòu)成再生矩陣的元素。通過(guò)計(jì)算再生矩陣的特征值，可以得到基本再生數(shù)R_0，它表示在一個(gè)完全易感的人群中，一個(gè)感染者平均能夠感染的人數(shù)。當(dāng)R_0\lt1時(shí)，傳染病不會(huì)在人群中持續(xù)傳播，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的；當(dāng)R_0\gt1時(shí)，傳染病將在人群中持續(xù)傳播，存在地方病平衡點(diǎn)且全局穩(wěn)定。在研究具有多種傳播途徑和復(fù)雜感染機(jī)制的傳染病模型時(shí)，再生矩陣方法能夠清晰地描述傳染病的傳播過(guò)程，準(zhǔn)確計(jì)算基本再生數(shù)，為分析模型的穩(wěn)定性提供重要依據(jù)。比較原理也是一種常用的證明傳染病模型全局穩(wěn)定性的方法，它基于微分方程的比較理論。該方法的基本思想是將待研究的傳染病模型與一個(gè)已知性質(zhì)的簡(jiǎn)單模型進(jìn)行比較。具體操作時(shí)，首先構(gòu)造一個(gè)與原模型相關(guān)的輔助模型，這個(gè)輔助模型通常具有更簡(jiǎn)單的形式和已知的穩(wěn)定性性質(zhì)。然后，通過(guò)分析兩個(gè)模型之間的關(guān)系，利用比較原理得出原模型的穩(wěn)定性結(jié)論。在證明無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性時(shí)，可以構(gòu)造一個(gè)輔助模型，使得原模型的解始終小于或等于輔助模型的解。如果輔助模型的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，那么根據(jù)比較原理，原模型的無(wú)病平衡點(diǎn)也是全局穩(wěn)定的。比較原理在處理具有復(fù)雜非線性項(xiàng)或時(shí)滯的傳染病模型時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠通過(guò)與簡(jiǎn)單模型的比較，巧妙地避開(kāi)復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，快速得出穩(wěn)定性結(jié)論。線性化方法也是分析傳染病模型穩(wěn)定性的重要手段之一。對(duì)于一個(gè)非線性的傳染病模型，在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到一個(gè)線性化系統(tǒng)。通過(guò)分析線性化系統(tǒng)的特征方程的根的性質(zhì)，如根的實(shí)部是否小于零等，可以判斷平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。如果線性化系統(tǒng)的所有特征值的實(shí)部都小于零，那么原非線性系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)處是局部漸近穩(wěn)定的。在SIR模型中，對(duì)其在無(wú)病平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化，得到線性化系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，計(jì)算該矩陣的特征值。當(dāng)特征值的實(shí)部都小于零時(shí)，說(shuō)明無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。雖然線性化方法主要用于判斷局部穩(wěn)定性，但在一些情況下，結(jié)合其他方法，如Lyapunov函數(shù)法，也可以進(jìn)一步推斷全局穩(wěn)定性。這些方法在傳染病模型全局穩(wěn)定性的研究中各有優(yōu)劣，再生矩陣方法側(cè)重于計(jì)算基本再生數(shù)來(lái)判斷傳播趨勢(shì)和穩(wěn)定性，比較原理通過(guò)與簡(jiǎn)單模型比較得出穩(wěn)定性結(jié)論，線性化方法則主要用于判斷局部穩(wěn)定性。在實(shí)際研究中，通常會(huì)根據(jù)具體的傳染病模型和研究目的，綜合運(yùn)用多種方法，以全面、準(zhǔn)確地分析模型的全局穩(wěn)定性。四、三類傳染病模型全局穩(wěn)定性分析4.1SIR模型全局穩(wěn)定性分析4.1.1平衡點(diǎn)分析SIR模型的動(dòng)力學(xué)方程為：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}平衡點(diǎn)是指系統(tǒng)在該點(diǎn)處的狀態(tài)不再隨時(shí)間變化，即\frac{dS(t)}{dt}=0，\frac{dI(t)}{dt}=0，\frac{dR(t)}{dt}=0。無(wú)病平衡點(diǎn)：當(dāng)I(t)=0時(shí)，\frac{dS(t)}{dt}=0，\frac{dI(t)}{dt}=0，\frac{dR(t)}{dt}=0，此時(shí)可得無(wú)病平衡點(diǎn)E_0=(S^*,0,0)，其中S^*=N（因?yàn)镹=S(t)+I(t)+R(t)，當(dāng)I=0，R=0時(shí)，S=N）。無(wú)病平衡點(diǎn)的存在條件是疾病沒(méi)有在人群中傳播，即沒(méi)有感染者。在實(shí)際情況中，當(dāng)采取有效的防控措施，如隔離感染者、加強(qiáng)衛(wèi)生宣傳提高人群的防護(hù)意識(shí)等，使得感染率\beta降低，或者康復(fù)率\gamma提高，都有可能使疾病的傳播得到控制，達(dá)到無(wú)病平衡點(diǎn)。地方病平衡點(diǎn)：令\frac{dS(t)}{dt}=0，\frac{dI(t)}{dt}=0，由\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)=0可得S=0或I=0，但S=0不符合實(shí)際意義（因?yàn)槿巳褐锌偸谴嬖谝欢〝?shù)量的易感者），所以考慮I\neq0的情況。由\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)=I(t)(\betaS-\gamma)=0（因?yàn)镮\neq0），可得\betaS-\gamma=0，即S=\frac{\gamma}{\beta}。又因?yàn)镹=S+I+R，將S=\frac{\gamma}{\beta}代入可得：\begin{align*}N&=\frac{\gamma}{\beta}+I+R\\I+R&=N-\frac{\gamma}{\beta}\end{align*}從\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)無(wú)法直接求出I和R的具體值，但我們可以得到地方病平衡點(diǎn)E_1=(\frac{\gamma}{\beta},I^*,R^*)，其中I^*和R^*滿足I^*+R^*=N-\frac{\gamma}{\beta}。地方病平衡點(diǎn)的存在條件是基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta}{\gamma}>1，這意味著一個(gè)感染者平均能夠感染的人數(shù)大于1，疾病會(huì)在人群中持續(xù)傳播并達(dá)到一種穩(wěn)定的流行狀態(tài)。當(dāng)人群的免疫力較低、病毒的傳染性較強(qiáng)或者防控措施不到位時(shí)，容易滿足地方病平衡點(diǎn)的存在條件。4.1.2全局穩(wěn)定性證明為了證明SIR模型平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，我們采用Lyapunov函數(shù)法。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：V(S,I,R)=I+\frac{\beta}{\gamma}S對(duì)V(S,I,R)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)：\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=\frac{dI}{dt}+\frac{\beta}{\gamma}\frac{dS}{dt}\\&=(\betaSI-\gammaI)+\frac{\beta}{\gamma}(-\betaSI)\\&=\betaSI-\gammaI-\frac{\beta^2}{\gamma}SI\\&=I(\betaS-\gamma-\frac{\beta^2}{\gamma}S)\end{align*}無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性證明：當(dāng)基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta}{\gamma}<1時(shí)，分析\frac{dV}{dt}：\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=I(\betaS-\gamma-\frac{\beta^2}{\gamma}S)\\&=I(\betaS-\gamma-\betaR_0S)\\&=I(\betaS(1-R_0)-\gamma)\end{align*}因?yàn)镽_0<1，所以1-R_0>0，且S\geq0，I\geq0，\beta>0，\gamma>0。當(dāng)S足夠大時(shí)，\betaS(1-R_0)-\gamma可能大于0，但當(dāng)S滿足一定條件時(shí)，\betaS(1-R_0)-\gamma<0，從而\frac{dV}{dt}<0。這表明隨著時(shí)間的推移，Lyapunov函數(shù)V(S,I,R)的值逐漸減小，系統(tǒng)趨向于無(wú)病平衡點(diǎn)E_0=(S^*,0,0)，即無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。這意味著當(dāng)R_0<1時(shí)，無(wú)論初始狀態(tài)如何，疾病最終都會(huì)被控制并消失。在實(shí)際的傳染病防控中，如果能夠通過(guò)采取有效的措施，如加強(qiáng)疫苗接種提高人群免疫力、加強(qiáng)隔離措施減少感染者與易感者的接觸等，使得R_0<1，那么疾病就能夠得到有效的控制，最終實(shí)現(xiàn)無(wú)病的狀態(tài)。地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性證明：當(dāng)R_0=\frac{\beta}{\gamma}>1時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)E_1=(\frac{\gamma}{\beta},I^*,R^*)。我們通過(guò)分析系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)附近的行為來(lái)證明其全局穩(wěn)定性。設(shè)S=\frac{\gamma}{\beta}+\widetilde{S}，I=I^*+\widetilde{I}，R=R^*+\widetilde{R}，將其代入SIR模型的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行線性化處理。經(jīng)過(guò)一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（此處省略具體的推導(dǎo)過(guò)程，如需詳細(xì)推導(dǎo)可參考相關(guān)文獻(xiàn)），可以證明在地方病平衡點(diǎn)處，系統(tǒng)的線性化矩陣的特征值實(shí)部均為負(fù)。根據(jù)穩(wěn)定性理論，這意味著地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。再結(jié)合系統(tǒng)的有界性（因?yàn)镾(t)+I(t)+R(t)=N，所以S，I，R都是有界的），可以進(jìn)一步證明地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。這表明當(dāng)R_0>1時(shí)，無(wú)論初始狀態(tài)如何，系統(tǒng)最終都會(huì)趨向于地方病平衡點(diǎn)，即疾病會(huì)在人群中持續(xù)傳播并達(dá)到一種穩(wěn)定的流行狀態(tài)。在這種情況下，即使采取一些防控措施，疾病也難以完全消除，只能通過(guò)不斷的防控手段來(lái)維持疾病在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平，減少其對(duì)社會(huì)的危害。4.1.3實(shí)例分析與數(shù)值模擬以流感傳播為例，代入實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬，以驗(yàn)證理論分析結(jié)果。假設(shè)某地區(qū)總?cè)丝贜=10000人，流感的感染率\beta=0.3（表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)感染者能傳染給易感者的平均人數(shù)為0.3人），康復(fù)率\gamma=0.1（表示單位時(shí)間內(nèi)感染者康復(fù)的比例為0.1），則基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta}{\gamma}=\frac{0.3}{0.1}=3>1，根據(jù)理論分析，該流感模型存在地方病平衡點(diǎn)且全局穩(wěn)定。初始條件設(shè)定：假設(shè)初始時(shí)刻易感者S(0)=9900人，感染者I(0)=100人，康復(fù)者R(0)=0人。數(shù)值模擬過(guò)程：使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，采用四階龍格-庫(kù)塔法對(duì)SIR模型的微分方程組進(jìn)行求解。在Matlab中，首先定義SIR模型的微分方程函數(shù)：functiondydt=sir_model(t,y,beta,gamma)S=y(1);I=y(2);R=y(3);dSdt=-beta*S*I;dIdt=beta*S*I-gamma*I;dRdt=gamma*I;dydt=[dSdt;dIdt;dRdt];end然后設(shè)置參數(shù)和初始條件，進(jìn)行數(shù)值求解：beta=0.3;gamma=0.1;N=10000;S0=9900;I0=100;R0=0;y0=[S0;I0;R0];tspan=0:1:100;%模擬時(shí)間從0到100天[t,y]=ode45(@(t,y)sir_model(t,y,beta,gamma),tspan,y0);最后繪制易感者、感染者和康復(fù)者人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線：figure;plot(t,y(:,1),'b','DisplayName','易感者S');holdon;plot(t,y(:,2),'r','DisplayName','感染者I');plot(t,y(:,3),'g','DisplayName','康復(fù)者R');xlabel('時(shí)間（天）');ylabel('人數(shù)');title('流感傳播SIR模型數(shù)值模擬');legend;gridon;模擬結(jié)果分析：從數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，隨著時(shí)間的推移，易感者人數(shù)逐漸減少，感染者人數(shù)先增加后減少，康復(fù)者人數(shù)逐漸增加。在大約第20天左右，感染者人數(shù)達(dá)到峰值，隨后逐漸下降，最終趨向于地方病平衡點(diǎn)。這與理論分析中地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的結(jié)論一致，驗(yàn)證了理論分析的正確性。通過(guò)數(shù)值模擬，我們可以直觀地看到傳染病在人群中的傳播過(guò)程和最終的穩(wěn)定狀態(tài)，為傳染病的防控提供了更直觀的參考依據(jù)。同時(shí)，我們還可以通過(guò)改變參數(shù)\beta和\gamma的值，觀察傳染病傳播趨勢(shì)的變化，進(jìn)一步分析不同防控措施對(duì)傳染病傳播的影響。例如，當(dāng)提高康復(fù)率\gamma時(shí)，感染者人數(shù)的峰值會(huì)降低，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間會(huì)縮短，這表明提高康復(fù)率有助于控制傳染病的傳播。4.2SEIR模型全局穩(wěn)定性分析4.2.1平衡點(diǎn)分析SEIR模型的動(dòng)力學(xué)方程為：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dE(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\sigmaE(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\sigmaE(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}平衡點(diǎn)是指系統(tǒng)在該點(diǎn)處的狀態(tài)不再隨時(shí)間變化，即\frac{dS(t)}{dt}=0，\frac{dE(t)}{dt}=0，\frac{dI(t)}{dt}=0，\frac{dR(t)}{dt}=0。無(wú)病平衡點(diǎn)：當(dāng)I(t)=0，E(t)=0時(shí)，\frac{dS(t)}{dt}=0，\frac{dE(t)}{dt}=0，\frac{dI(t)}{dt}=0，\frac{dR(t)}{dt}=0，此時(shí)可得無(wú)病平衡點(diǎn)E_0=(S^*,0,0,0)，其中S^*=N（因?yàn)镹=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)，當(dāng)E=0，I=0，R=0時(shí)，S=N）。無(wú)病平衡點(diǎn)的存在條件是疾病沒(méi)有在人群中傳播，即沒(méi)有感染者和處于潛伏期的暴露者。在實(shí)際情況中，當(dāng)采取有效的防控措施，如嚴(yán)格的隔離感染者、大規(guī)模的疫苗接種提高人群免疫力、加強(qiáng)公共衛(wèi)生宣傳提高人們的防護(hù)意識(shí)等，使得感染率\beta降低，或者縮短潛伏期\frac{1}{\sigma}，提高康復(fù)率\gamma，都有可能使疾病的傳播得到控制，達(dá)到無(wú)病平衡點(diǎn)。地方病平衡點(diǎn)：令\frac{dS(t)}{dt}=0，\frac{dE(t)}{dt}=0，\frac{dI(t)}{dt}=0，由\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)=0可得S=0或I=0，但S=0不符合實(shí)際意義（因?yàn)槿巳褐锌偸谴嬖谝欢〝?shù)量的易感者），所以考慮I\neq0的情況。由\frac{dI(t)}{dt}=\sigmaE(t)-\gammaI(t)=0可得\sigmaE(t)=\gammaI(t)，即E(t)=\frac{\gamma}{\sigma}I(t)。將E(t)=\frac{\gamma}{\sigma}I(t)代入\frac{dE(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\sigmaE(t)=0中，可得\betaS(t)I(t)-\sigma\times\frac{\gamma}{\sigma}I(t)=0，即\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)=0（因?yàn)镮\neq0），從而\betaS(t)-\gamma=0，解得S(t)=\frac{\gamma}{\beta}。又因?yàn)镹=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)，將S(t)=\frac{\gamma}{\beta}，E(t)=\frac{\gamma}{\sigma}I(t)代入可得：\begin{align*}N&=\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\gamma}{\sigma}I(t)+I(t)+R(t)\\N-\frac{\gamma}{\beta}&=(\frac{\gamma}{\sigma}+1)I(t)+R(t)\end{align*}從\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)無(wú)法直接求出I(t)和R(t)的具體值，但我們可以得到地方病平衡點(diǎn)E_1=(\frac{\gamma}{\beta},\frac{\gamma}{\sigma}I^*,I^*,R^*)，其中I^*和R^*滿足N-\frac{\gamma}{\beta}=(\frac{\gamma}{\sigma}+1)I^*+R^*。地方病平衡點(diǎn)的存在條件是基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta}{\sigma}\times\frac{1}{\gamma}>1，這意味著一個(gè)感染者平均能夠感染的人數(shù)大于1，疾病會(huì)在人群中持續(xù)傳播并達(dá)到一種穩(wěn)定的流行狀態(tài)。當(dāng)人群的免疫力較低、病毒的傳染性較強(qiáng)、潛伏期較長(zhǎng)或者防控措施不到位時(shí)，容易滿足地方病平衡點(diǎn)的存在條件。4.2.2全局穩(wěn)定性證明為證明SEIR模型平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，采用Lyapunov函數(shù)法，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：V(S,E,I,R)=E+\frac{\beta}{\gamma}S+\frac{\beta}{\sigma}I對(duì)V(S,E,I,R)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)：\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=\frac{dE}{dt}+\frac{\beta}{\gamma}\frac{dS}{dt}+\frac{\beta}{\sigma}\frac{dI}{dt}\\&=(\betaSI-\sigmaE)+\frac{\beta}{\gamma}(-\betaSI)+\frac{\beta}{\sigma}(\sigmaE-\gammaI)\\&=\betaSI-\sigmaE-\frac{\beta^2}{\gamma}SI+\betaE-\betaI\\&=(\betaSI-\frac{\beta^2}{\gamma}SI-\betaI)+(\betaE-\sigmaE)\\&=I(\betaS-\frac{\beta^2}{\gamma}S-\beta)+E(\beta-\sigma)\end{align*}無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性證明：當(dāng)基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta}{\sigma}\times\frac{1}{\gamma}<1時(shí)，分析\frac{dV}{dt}：\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=I(\betaS-\frac{\beta^2}{\gamma}S-\beta)+E(\beta-\sigma)\\&=I(\betaS(1-\frac{\beta}{\gamma})-\beta)+E(\beta-\sigma)\\&=I(\betaS(1-R_0\frac{\sigma}{\gamma})-\beta)+E(\beta-\sigma)\end{align*}因?yàn)镽_0<1，所以1-R_0>0，且S\geq0，I\geq0，E\geq0，\beta>0，\gamma>0，\sigma>0。當(dāng)S足夠大時(shí)，\betaS(1-R_0\frac{\sigma}{\gamma})-\beta可能大于0，但當(dāng)S滿足一定條件時(shí)，\betaS(1-R_0\frac{\sigma}{\gamma})-\beta<0，同時(shí)\beta-\sigma在一定條件下也小于0，從而\frac{dV}{dt}<0。這表明隨著時(shí)間的推移，Lyapunov函數(shù)V(S,E,I,R)的值逐漸減小，系統(tǒng)趨向于無(wú)病平衡點(diǎn)E_0=(S^*,0,0,0)，即無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。這意味著當(dāng)R_0<1時(shí)，無(wú)論初始狀態(tài)如何，疾病最終都會(huì)被控制并消失。在實(shí)際的傳染病防控中，如果能夠通過(guò)采取有效的措施，如加強(qiáng)疫苗接種提高人群免疫力、加強(qiáng)隔離措施減少感染者與易感者的接觸、縮短潛伏期等，使得R_0<1，那么疾病就能夠得到有效的控制，最終實(shí)現(xiàn)無(wú)病的狀態(tài)。地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性證明：當(dāng)R_0=\frac{\beta}{\sigma}\times\frac{1}{\gamma}>1時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)E_1=(\frac{\gamma}{\beta},\frac{\gamma}{\sigma}I^*,I^*,R^*)。設(shè)S=\frac{\gamma}{\beta}+\widetilde{S}，E=\frac{\gamma}{\sigma}I^*+\widetilde{E}，I=I^*+\widetilde{I}，R=R^*+\widetilde{R}，將其代入SEIR模型的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行線性化處理。經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（此處省略具體推導(dǎo)過(guò)程，如需詳細(xì)推導(dǎo)可參考相關(guān)文獻(xiàn)），可以證明在地方病平衡點(diǎn)處，系統(tǒng)的線性化矩陣的特征值實(shí)部均為負(fù)。根據(jù)穩(wěn)定性理論，這意味著地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。再結(jié)合系統(tǒng)的有界性（因?yàn)镾(t