2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（立體幾何公式與定理應(yīng)用解析）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點P（1，2，3）關(guān)于平面x＋y＋z＝1的對稱點Q的坐標(biāo)是（）A.（－1，－2，－3）B.（2，－1，－1）C.（0，1，－1）D.（1，0，0）2.若直線l：x＋2y－1＝0與平面α：Ax＋3y＋4z＋5＝0垂直，則實數(shù)A的值為（）A.2B.－2C.3D.－33.已知正方體的棱長為2，E、F分別為正方體的上底面和下底面的中心，則直線EF與平面ABCD所成的角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.14.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA＝AC＝BC＝1，則點A到平面PBC的距離為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.15.已知球O的半徑為R，點A、B在球面上，且OA⊥OB，則直線AB與球O所成的角的大小為（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/26.在直四棱柱ABC－D1C1B1中，底面ABCD是菱形，AC⊥BD，AA1＝2AD，則二面角A－CD－D1的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.17.已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E、F分別為PB、PC的中點，則四棱錐P－EBFC的體積為（）A.1B.√3/2C.√2D.28.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝3，E為棱CC1的中點，F(xiàn)為棱BB1的中點，則三棱錐E－FCD的體積為（）A.1/2B.1C.3/2D.29.已知點A（1，2，3），B（2，－1，5），C（－1，3，2），則向量AB與向量AC的夾角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.110.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α：x＋2y＋3z－1＝0與平面β：2x＋my＋4z＋3＝0平行，則實數(shù)m的值為（）A.4B.－4C.6D.－611.已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E為棱PC的中點，則直線AB與平面PEF所成的角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.112.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，AA1＝2，D為AC的中點，E為棱CC1的中點，則直線DE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.已知正方體的棱長為a，E、F分別為正方體的上底面和下底面的中心，則直線EF與直線AC所成的角的余弦值為________。14.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA＝AC＝BC＝1，則二面角A－BC－P的余弦值為________。15.已知球O的半徑為R，點A、B在球面上，且OA⊥OB，則球心O到平面AB的расстояние為________。16.在直四棱柱ABC－D1C1B1中，底面ABCD是菱形，AC⊥BD，AA1＝2AD，則平面ADD1A1與平面ABCD所成的角的正切值為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在五棱錐P－ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA＝2，F(xiàn)為棱PC的中點。求二面角A－FE－C的余弦值。18.（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E為棱PC的中點。求三棱錐E－ABD的體積。19.（12分）在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝3，E為棱CC1的中點，F(xiàn)為棱BB1的中點。求三棱錐E－FCD的體積。20.（12分）已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為3，側(cè)棱長為√7，E、F分別為PB、PC的中點。求四棱錐P－EBFC的體積。21.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3），B（2，－1，5），C（－1，3，2），D（0，1，4）。求向量AB與向量AC的夾角的余弦值，并判斷向量AB與向量AC是否垂直。22.（10分）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，F(xiàn)為棱BB1的中點。求直線AE與平面B1BFD所成的角的正弦值。四、證明題（本大題共2小題，共20分。證明題應(yīng)寫出證明過程或演算步驟。）23.（10分）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1。求證：平面PAC⊥平面PBD。24.（10分）在五棱錐P－ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA＝2，F(xiàn)為棱PC的中點。求證：二面角A－FE－C是銳角。五、綜合題（本大題共2小題，共30分。綜合題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）25.（15分）在六棱錐P－ABCDEF中，底面ABCDEF是正六邊形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2，E、F分別為棱PC、PD的中點。求四棱錐P－EBFD的體積，并求點A到平面PCE的距離。26.（15分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3），B（2，－1，5），C（－1，3，2），D（0，1，4），E為棱BC的中點。求證：向量AB、向量AC、向量AD共面，并求平面ABC的一個法向量。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：點P（1，2，3）關(guān)于平面x＋y＋z＝1的對稱點Q的坐標(biāo)可以通過以下步驟求解：首先，找到點P到平面x＋y＋z＝1的垂線方程。垂線的方向向量為平面法向量（1，1，1），所以垂線方程為：x=1+ty=2+tz=3+t其中t為參數(shù)。(1+t)+(2+t)+(3+t)=15+3t=13t=-4t=-4/3將t=-4/3代入垂線方程，得到垂足點的坐標(biāo)為：x=1-4/3=-1/3y=2-4/3=2/3z=3-4/3=5/3最后，對稱點Q的坐標(biāo)為垂足點坐標(biāo)的兩倍減去點P的坐標(biāo)，即：Q=(2*(-1/3)-1,2*(2/3)-2,2*(5/3)-3)Q=(-2/3-1,4/3-2,10/3-3)Q=(-5/3,-2/3,1/3)所以，選項C（0，1，－1）是正確的。2.答案：B解析：直線l：x＋2y－1＝0與平面α：Ax＋3y＋4z＋5＝0垂直，意味著直線的方向向量（1，2，0）與平面的法向量（A，3，4）平行。因此，它們的方向向量成比例，即：1/A=2/3=0/4解這個比例關(guān)系，得到A=-2。所以，選項B（－2）是正確的。3.答案：A解析：正方體的棱長為2，E、F分別為正方體的上底面和下底面的中心。EF是正方體的對角線，長度為√2倍的棱長，即√2*2=2√2。平面ABCD是正方體的底面，EF與平面ABCD所成的角即為EF與底面的夾角。由于EF是正方體的對角線，它與底面的夾角是一個30°角，所以正弦值為1/2。所以，選項A（1/2）是正確的。4.答案：A解析：三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA＝AC＝BC＝1。點A到平面PBC的距離可以通過計算三角形PBC的高來求解。由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC。又因為AC⊥BC，所以BC是三角形PAC的高。在直角三角形PAC中，PA＝AC＝1，所以PC＝√(PA^2+AC^2)=√(1^2+1^2)=√2。在直角三角形PBC中，PB＝PC＝√2，BC＝1，所以高PD＝√(PB^2-BC^2)=√(√2^2-1^2)=√(2-1)=1。所以，點A到平面PBC的距離為1/2。所以，選項A（1/2）是正確的。5.答案：D解析：球O的半徑為R，點A、B在球面上，且OA⊥OB。由于OA和OB都是球的半徑，所以三角形OAB是一個直角三角形，直角在點O處。直線AB與球O所成的角即為直線AB與球O的切線所成的角，而切線與半徑垂直，所以直線AB與球O所成的角是一個45°角，即π/4。所以，選項D（π/2）是正確的。6.答案：C解析：直四棱柱ABC－D1C1B1中，底面ABCD是菱形，AC⊥BD，AA1＝2AD。二面角A－CD－D1的平面角是∠ADD1。由于AC⊥BD，所以∠ACD是直角，即90°。在直角三角形ACD中，AC⊥CD，所以∠CAD是30°。由于AA1＝2AD，所以AD＝AA1/2＝1。在直角三角形ADD1中，AD＝1，DD1＝AA1＝2，所以∠ADD1＝arctan(AD/AA1)＝arctan(1/2)＝30°。所以，二面角A－CD－D1的余弦值為√3/2。所以，選項C（√3/2）是正確的。7.答案：A解析：正三棱錐P－ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E、F分別為PB、PC的中點。四棱錐P－EBFC的體積可以通過計算三角形PBC的面積乘以高再除以3來求解。在等邊三角形PBC中，邊長為2，高為√3，所以面積為(√3/4)*2^2＝√3。四棱錐的高為√(側(cè)棱長^2-高^2)＝√(√3^2-1^2)＝√(3-1)＝√2。所以，四棱錐P－EBFC的體積為(1/3)*√3*√2＝1。所以，選項A（1）是正確的。8.答案：B解析：長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝3，E為棱CC1的中點，F(xiàn)為棱BB1的中點。三棱錐E－FCD的體積可以通過計算三角形FCD的面積乘以高再除以3來求解。在直角三角形FCD中，F(xiàn)C＝BC/2＝1/2，F(xiàn)D＝AD＝2，所以面積為(1/2)*FC*FD＝(1/2)*1/2*2＝1/2。三棱錐的高為AA1＝3。所以，三棱錐E－FCD的體積為(1/3)*1/2*3＝1。所以，選項B（1）是正確的。9.答案：B解析：向量AB＝（2－1，－1－2，5－3）＝（1，－3，2），向量AC＝（－1－1，3－2，2－3）＝（－2，1，－1）。向量AB與向量AC的夾角的余弦值為（向量AB·向量AC）/（|向量AB|*|向量AC|）。計算得到向量AB·向量AC＝1*(-2)＋(-3)*1＋2*(-1)＝-2-3-2＝-7。|向量AB|＝√(1^2＋(-3)^2＋2^2)＝√14，|向量AC|＝√((-2)^2＋1^2＋(-1)^2)＝√6。所以，余弦值為-7/(√14*√6)＝-7/(√84)＝-7/(2√21)＝-√2/2。所以，選項B（√2/2）是正確的。10.答案：D解析：平面α：x＋2y＋3z－1＝0與平面β：2x＋my＋4z＋3＝0平行，意味著它們的法向量（1，2，3）和（2，m，4）成比例。因此，它們的方向向量成比例，即：1/2=2/m=3/4解這個比例關(guān)系，得到m＝－6。所以，選項D（－6）是正確的。1