立體幾何坐標(biāo)題目及答案一、選擇題（每題4分，共20分）1.在三維空間中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3，4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，6，7），則點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離為：A.5B.10C.√58D.√65答案：C2.若直線l的參數(shù)方程為\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{1}\)，則該直線的方向向量為：A.(2,-1,1)B.(1,3,-1)C.(-2,1,-1)D.(1,-3,1)答案：A3.已知平面α的方程為\(2x-3y+z=5\)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2，3），則點(diǎn)P到平面α的距離為：A.1B.2C.3D.4答案：B4.若向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)和向量\(\vec=(4,5,6)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的夾角的余弦值為：A.0B.1/2C.1/√10D.√10/10答案：D5.已知點(diǎn)A（1，1，1），點(diǎn)B（2，2，2），點(diǎn)C（3，3，3），則三角形ABC的面積為：A.√3/2B.√2C.√6/2D.√3答案：A二、填空題（每題3分，共15分）1.已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（4，5，6），則向量\(\vec{AB}\)的坐標(biāo)為\(\boxed{(3,3,3)}\)。2.若點(diǎn)P（2，-1，0）到平面x+y+z=6的距離為1，則該平面的法向量為\(\boxed{(1,1,1)}\)。3.已知直線l的方程為\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-6}\)，則直線l與x軸的夾角的正弦值為\(\boxed{\frac{1}{√37}}\)。4.若向量\(\vec{a}=(2,-3,1)\)和向量\(\vec=(1,1,-1)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的點(diǎn)積為\(\boxed{-4}\)。5.已知平面α的方程為\(3x-4y+5z=10\)，平面β的方程為\(2x+y-z=8\)，則平面α和平面β的交線的方向向量為\(\boxed{(19,-15,9)}\)。三、解答題（每題10分，共30分）1.已知點(diǎn)P（1，1，1），點(diǎn)Q（3，4，5），求證點(diǎn)P和點(diǎn)Q不共線，并求出通過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的平面方程。證明：點(diǎn)P和點(diǎn)Q不共線，因?yàn)橄蛄縗(\vec{PQ}=(2,3,4)\)不與向量\(\vec{OP}=(1,1,1)\)共線。通過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的平面方程可以通過(guò)向量\(\vec{PQ}\)和向量\(\vec{OP}\)的叉積得到法向量，然后使用點(diǎn)P的坐標(biāo)得到平面方程。叉積\(\vec{PQ}\times\vec{OP}=(1,-2,1)\)，因此平面方程為\(x-2y+z=1\)。2.已知直線l的方程為\(\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}\)，求直線l與平面x-y+z=3的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：將直線l的參數(shù)方程代入平面方程，得到\(2-2t+t-3=0\)，解得\(t=1\)。將\(t=1\)代入直線l的參數(shù)方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1，-1）。3.已知平面α的方程為\(2x-3y+z=5\)，平面β的方程為\(x+2y-z=4\)，求平面α和平面β的交線方程。解：平面α和平面β的交線方程可以通過(guò)兩個(gè)平面方程的線性組合得到。將平面α的方程乘以2，然后減去平面β的方程，得到\(3x-9y+3z=6\)，即\(x-3y+z=2\)。將平面β的方程乘以3，然后減去平面α的方程乘以2，得到\(-5x+8y-5z=2\)，即\(x-8y+z=-2/5\)。因此，交線的參數(shù)方程為\(\frac{x-1}{1}=\frac{y+1/5}{-3}=\frac{z-2/5}{1}\)。四、計(jì)算題（每題15分，共30分）1.已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（4，5，6），點(diǎn)C（7，8，9），求三角形ABC的體積。解：首先求出向量\(\vec{AB}\)和向量\(\vec{AC}\)，然后計(jì)算它們的叉積得到法向量，最后使用點(diǎn)A的坐標(biāo)和法向量計(jì)算三角形的體積。向量\(\vec{AB}=(3,3,3)\)，向量\(\vec{AC}=(6,6,6)\)，叉積\(\vec{AB}\times\vec{AC}=(0,0,0)\)，因此三角形ABC的體積為0。2.已知點(diǎn)P（2，-1，0），點(diǎn)Q（4，2，3），點(diǎn)R（1，-3，-2），求四面體PQR的體積。解：首先求出向量\(\vec{PQ}\)和向量\(\vec{PR}\)，然后計(jì)算它們的叉積得到法向量，最后使用點(diǎn)P的坐標(biāo)和法向量計(jì)算四面體的體積。向量\(\vec{PQ}=(2,3,3)\)，向量\(\vec{PR}=(-1,-2,-2)\)，叉積\(\vec{PQ}\times\vec{PR}=(7,4,-1)\)，因