2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講》含答案39.平面向量基本定理與廣義坐標(biāo)系39.平面向量中廣義坐標(biāo)及應(yīng)用一．基本原理1.平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，，使.2.廣義坐標(biāo)（1）在平面向量基本定理中，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在基底下的廣義坐標(biāo).（2）與直角坐標(biāo)的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：當(dāng)基底分別是直角坐標(biāo)系中軸和軸正方向上的單位向量時（標(biāo)準(zhǔn)正交基），廣義坐標(biāo)就變成了我們熟悉的直角坐標(biāo).例如，向量，它在基底下的廣義坐標(biāo)就是，這和我們在直角坐標(biāo)系中描述向量的坐標(biāo)是一致的.區(qū)別：廣義坐標(biāo)更具一般性，它的基底可以是平面內(nèi)任意一組不共線向量，而不僅僅局限于直角坐標(biāo)系中的單位向量.3.廣義坐標(biāo)的運(yùn)算（1）向量加法的廣義坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，其廣義坐標(biāo)為，其廣義坐標(biāo)為.則.所以在基底下的廣義坐標(biāo)為.（2）向量數(shù)乘的廣義坐標(biāo)運(yùn)算：對于向量，廣義坐標(biāo)為，設(shè)為實數(shù).則.所以在基底下的廣義坐標(biāo)為.（3）.數(shù)量積運(yùn)算在廣義坐標(biāo)系下，數(shù)量積運(yùn)算公式為，展開可得：若記，則 .二．典例分析3．向量的廣義坐標(biāo)是用于描述向量或系統(tǒng)狀態(tài)的一組數(shù)值，其選擇取決于問題的特定背景和需求．在物理學(xué)、工程學(xué)、計算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域，廣義坐標(biāo)被廣泛應(yīng)用．比如，物理學(xué)中的振動系統(tǒng)可能采用角度作為廣義坐標(biāo)，而工程學(xué)中的結(jié)構(gòu)分析可能使用特定坐標(biāo)系來簡化問題．通過選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)，可以更自然地描述問題，簡化數(shù)學(xué)表達(dá)，提高問題的可解性，并使模型更符合實際場景．已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點．對于內(nèi)任意一點P，若，則稱有序?qū)崝?shù)對為點P的廣義坐標(biāo)．若點A，B的廣義坐標(biāo)分別為，，關(guān)于下列命題正確的（

）A．點關(guān)于點O的對稱點不一定為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則的值不一定為0D．若線段的中點為C，則點C的廣義坐標(biāo)為【答案】D【分析】根據(jù)廣義坐標(biāo)的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、平面向量共線性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，，設(shè)關(guān)于點的對稱點為，則，因為，不共線，所以，A錯誤；對于B，因為，所以，當(dāng)向量，是相互垂直的單位向量時，，兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；對于C，當(dāng)與中至少一個是時，結(jié)論成立；當(dāng)與都不為時，設(shè)（），有，即，所以，C錯誤；對于D，，所以線段中點的廣義坐標(biāo)為，D正確故選：D2．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)夾角為的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則有序數(shù)對叫做點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).在該坐標(biāo)系下，，，為不共線的三點，下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．線段中點的坐標(biāo)為 B．重心的坐標(biāo)為C．，兩點的距離為 D．若，則，，三點共線【答案】C【分析】依題意可得，，，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算判斷A、B，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷C，根據(jù)向量共線定理判斷D.【詳解】根據(jù)題意，，，，對于A，設(shè)的中點為，則，故線段中點的坐標(biāo)為，故A正確．

對于B，設(shè)重心為，則，故重心的坐標(biāo)為，故B正確；對于C，，所以=即該坐標(biāo)系中，兩點間的距離為：，故C錯誤；對于D，，，若，易得，則、、三點共線，若，變形可得，所以，所以，所以、、三點共線，綜合可得：若，則，，三點共線，故D正確．故選：C．8．已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序?qū)崝?shù)對稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點）下的“仿射”坐標(biāo)，記，則下列命題正確的是（

）A．已知，則B．已知，則線段的長度為1C．已知，則D．已知，則的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)“仿射”坐標(biāo)系的定義，依據(jù)各項條件并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及相關(guān)坐標(biāo)運(yùn)算判斷正誤即可.【詳解】A：由題設(shè)，所以，對；B：由題設(shè)，則，對；C：由題設(shè)，錯；D：由題設(shè)，即，由，且時取等號，則，故，即時的最大值為，對.故選：ABD9．如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為斜坐標(biāo)系.若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為【答案】AD【分析】利用向量的線性運(yùn)算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一驗證即可.【詳解】依題意，，，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，則在方向上的投影向量為，D正確.故選：AD10．設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，其中（且），，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量.若平面向量滿足，則有序數(shù)對稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系xOy下的“仿射”坐標(biāo)，記作，下列命題中是真命題的是（

）A．已知，則B．已知，，則C．已知，，則D．已知，，若，則【答案】BD【分析】根據(jù)新定義，結(jié)合已學(xué)的向量的模長，向量運(yùn)算，向量數(shù)量積，向量平行的定理可以逐一計算判斷.【詳解】對于A，，則，所以，故A錯誤；對于B，已知，，則，，，則，故B正確；對于C，，，則，，所以，故C錯誤；對于D，，，則，，若，則當(dāng)或時，或，滿足；當(dāng)，則存在唯一，使得，則，則，消元變形得到，故D正確.故選：BD.24．如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸同方向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對叫做在斜坐標(biāo)系中的斜坐標(biāo).(1)若，求.(2)若，求在上的投影向量斜坐標(biāo).(3)若，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量斜坐標(biāo)表示，結(jié)合可得的值.（2）根據(jù)條件計算，結(jié)合投影向量公式可得在上的投影向量為，由此可得結(jié)果.（3）利用向量夾角公式表示，通過換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的分析可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，解得.（2）∵，∴，由題意得，，故，∴，，∴在上的投影向量為，∴在上的投影向量斜坐標(biāo)為.（3）∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，令，則，∵，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即的最小值為.三．習(xí)題演練11．已知，且，當(dāng)時，定義平面坐標(biāo)系為“-仿射”坐標(biāo)系，在“-仿射”坐標(biāo)系中，任意一點的斜坐標(biāo)這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（

）A．設(shè)，則B．設(shè)，若，則C．設(shè)，若，則D．設(shè)，若與的夾角為，則【答案】BD【分析】根據(jù)題意得：，，對于A結(jié)合向量相等理解判斷；對于B、D：利用以及進(jìn)行運(yùn)算判斷；對于C：若，則，使得.【詳解】，對于A：即，故選項A錯誤；對于B：若，當(dāng)即時，顯然滿足：；當(dāng)即或時，則，使得，即則可得，消去得：，故選項B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故選項C錯誤；對于D：∵，由選項A可得：，，由選項C可得：，若與的夾角為，則，即，整理可得，，解得或（舍去），∵，則，故選項D正確；故選：BD．23．如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任意一點關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)這樣定義：若（其中分別是軸，軸正方向的單位向量），則點的斜坐標(biāo)為，且向量的斜坐標(biāo)為.給出以下結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論的序號是①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則【答案】①②③【分析】根據(jù)所給定義及平面向量線性運(yùn)算法則判斷②③，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷①④.【詳解】對于①：∵，，即，∴，故①正確；對于②：∵，，即，，∴，∴，故②正確；對于③：∵，，，∴，∴，故③正確；對于④：，故④錯誤.故答案為：①②③0．如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作.在此坐標(biāo)系中，若，分別是的中點，分別與交于兩點.(1)求：；(2)求的坐標(biāo)；(3)若點M在線段上運(yùn)動，設(shè)，求的最大值.【答案】(1)(2)，(3)3【分析】（1）根據(jù)向量新定義，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解；（2）先利用向量加法的平行四邊形法則得到四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，，從而利用向量的線性運(yùn)算即可得解；（3）設(shè)，利用向量的線性運(yùn)算得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）依題意，得是單位向量，且夾角為，所以，而，，則.（2）因為，所以，，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，因為分別是的中點，所以，所以，，因為，則，所以，；（3）由（2）知，，因為點在線段上運(yùn)動，所以設(shè)，其中，因為，所以，所以，因為不共線，則，解得，所以，因為，所以當(dāng)時，取得最大值3.【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：31．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作．在此坐標(biāo)系中，若，，，是的中點，與交于兩點．

(1)求；(2)求的坐標(biāo)；(3)若過點的直線分別與軸、軸正方向交于、兩點，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得；（2）依題意可得，即可得到是平行四邊形，從而得到，即可得到，再根據(jù)計算可得；（3）設(shè)，，又三點共線，設(shè)，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及基本定理得到，從而得到，再由面積公式及基本不等式計算可得.【詳解】（1）依題意可得，，-；（2），，，，，，，所以四邊形是平行四邊形，即，，是的中點，，，又，，；（3）設(shè)，，則，，因為三點共線，則設(shè)，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．或者：由，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為40.一輪備考中計算向量數(shù)量積的六大方法一．基本原理1.定義法平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有().2.坐標(biāo)法設(shè)向量為向量的夾角.（1）數(shù)量積:.（2）模:.（3）夾角：（4）兩非零向量的充要條件:.3.基底法4.投影法向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為；當(dāng)時投影為；當(dāng)時投影為.5.極化恒等式人教版必修二第22頁練習(xí)3設(shè)置了這樣的問題：求證：.若我們將這個結(jié)論進(jìn)一步幾何化，就可以得到一把處理數(shù)量積范圍問題的利器：極化恒等式.下面我先給出這道習(xí)題的證明，再推出該恒等式.證明：由于，兩式相減可得：.特別，在中，設(shè)，點為中點，再由三角形中線向量公式可得：(極化恒等式).6.與外心有關(guān)的數(shù)量積計算結(jié)論：如圖1，，特別地，若點在線段的中垂線上時，.如圖1如圖2進(jìn)一步，外心性質(zhì)：如圖2，為的外心，可以證明：（1）.；，同理可得等.（2）.，同理可得等.（3）.，同理可得等.證明:二．典例分析★1.定義法計算例1．已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．解析：，，，.，因此，.故選：D.★2.基底法計算例2．已知平面向量滿足，，其中為不共線的單位向量，若對符合上述條件的任意向量，恒有，則夾角的最小值是（

）A． B． C． D．解析：因，則，依題意，恒成立，而，為不共線的單位向量，即有，于是得恒成立，則，即有，又，解得，所以夾角的最小值是.故選：B★3.坐標(biāo)法計算數(shù)量積例3．已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得,故選：C★4.投影法計算例4.（2020年新高考卷）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范用是（）A. B.C. D.解析：的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.（方法2）坐標(biāo)法如圖,取為坐標(biāo)原點,所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則,.設(shè),則,且.所以.答案:A★5.極化恒等式例5．（2017年2卷）已知是長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）A. B． C． D．解析：（方法1.幾何法）設(shè)點為中點，可得，再設(shè)中點為，這樣用極化恒等式可知：，在等邊三角形中，，故取最小值當(dāng)且僅當(dāng)取最小，即，故.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）（方法2.坐標(biāo)法）以中點為坐標(biāo)原點，由于，，．設(shè)，，，，故，則其最小值為，此時，．★6.外接圓性質(zhì)例6．已知點是的外心，，，，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8解析：如圖，點O在、上的射影是點、，它們分別為、的中點．由數(shù)量積的幾何意義，可得，．又，所以，又，所以，即．同理，即，解得．所以．故選：C.三.習(xí)題演練1．已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2解析：∵，又∵∴9，∴故選：C.2．已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得,故選：C3．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．解析因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．4．已知向量，滿足，，則_________解析：法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.5．已知向量，，，________．解析：由已知可得，因此，.故答案為：.6．若向量滿足，則_________解析:∵∴,∴.故答案為：.7.（2022北京卷）在中，，，．為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，解析：取中點，由向量的加法知，，從而.所以求的最值轉(zhuǎn)化為求線段中點到單位圓上動點的距離的最值.在中，.設(shè)直線與單位圓相交于，兩點，當(dāng)點位于點，處時，分別取得最小值和最大值，從而的取值范圍是.8.（2017年江蘇卷）在直角坐標(biāo)系中，，點P在圓上，若，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是解析：設(shè)中點為，則，故可知滿足題意的動點P又在圓上，聯(lián)立兩圓方程可得，P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：.9．在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運(yùn)動，點P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．解析：由，可得為與在方向上的投影之積.正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過M作于，設(shè)以C為圓心的圓與垂直的，切線與圓切于點N與延長線交點為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，，則的取值范圍是.故選A.10．已知是的外心，，，則（

）A．10 B．9 C．8 D．6解析：如圖，O為的外心，設(shè)為的中點，則,故,故選：A注.關(guān)于極化恒等式的應(yīng)用，我將其總結(jié)為在處理數(shù)量積范圍問題時，若發(fā)現(xiàn)題干有“共起點，定底邊”的特征，我們就可嘗試使用該恒等式，做法就是把中線連出即可，下面我將再通過一個例題予以分析.11.（2021成都三診）已知等邊的三個頂點均在圓上，點，則的最小值為（）A． B． C． D．解析：（法1.極化恒等式）根據(jù)題干特征，共起點的數(shù)量積范圍問題，我們嘗試往恒等式方向走.記中點為，中點為.由于，而.由于