直線與平面垂直

(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))第2課時課時目標(biāo)1.了解直線與平面垂直的定義,掌握直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理.2.掌握直線與平面垂直的定義、線面關(guān)系的證明.CONTENTS目錄123課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)課堂題點研究·遷移應(yīng)用融通課時跟蹤檢測課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)1.直線與平面垂直的概念定義如果直線a與平面α內(nèi)的__________直線都垂直,那么稱直線a與平面α垂直記法______有關(guān)概念直線a叫作平面α的_____,平面α叫作直線a的_____,垂線和平面的交點稱為_____圖示任意一條a⊥α垂線垂面垂足2.直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的___________直線垂直,那么該直線與此平面______圖形語言符號語言若a⊥m,a⊥n,__________,m?α,n?α,則a⊥α兩條相交垂直m∩n=A|微|點|助|解|(1)該定理涉及的元素有“一點三線一面”:①“一點”即兩條直線的交點;②“三線”即平面內(nèi)兩條相交直線、平面的垂線;③“一面”即兩條相交直線所確定的平面,也是直線的垂面.(2)該定理中有五大條件:a⊥m,a⊥n,m∩n=A,m?α,n?α,它們?nèi)币徊豢?(3)兩個線線垂直:定理中注意直線a與直線m,n都垂直,但要注意直線a與直線m,n的位置關(guān)系可能相交,也可能異面,即直線a可能經(jīng)過交點A,也可能不經(jīng)過交點A.(4)“兩條相交直線”是定理中的關(guān)鍵,即直線m,n必須是平面α內(nèi)的兩條相交直線.3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線______符號語言圖形語言作用①線面垂直?線線平行,②作平行線a∥b平行|微|點|助|解|1.剖析直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下,可得出什么結(jié)論.(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個平面垂直).(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系,提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù).(4)定理的推證過程采用了反證法.

基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)如果一條直線與一個平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直,那么這條直線與這個平面垂直. (

)(2)畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直. (

)(3)如果一條直線與一個平面內(nèi)所有直線都垂直,那么這條直線與這個平面垂直. (

)(4)如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面. (

)

×√√√2.一條直線和三角形的兩邊同時垂直,則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是

(

)A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.不確定3.從圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上),過該點作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是

(

)A.相交

B.平行C.異面 D.相交或平行√√課堂題點研究·遷移應(yīng)用融通題型(一)直線與平面垂直的定義的理解[例1]

(多選)下列四個命題中,其中正確的是

(

)A.若直線l垂直于平面α,則l與平面α內(nèi)的直線可能相交,可能異面,也可能平行B.若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線C.若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直D.過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條√√解析:l與平面α內(nèi)的所有直線都垂直,所以A不正確;當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時,不能保證l與平面α垂直,所以B不正確;當(dāng)l與α不垂直時,l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直,所以C正確;過一點有且只有一條直線垂直于已知平面,所以D正確.故選CD.|思|維|建|模|直線與平面垂直定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直:若一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都垂直,則該直線與已知平面垂直,即線線垂直?線面垂直.(2)證明線線垂直:若一條直線與一個平面垂直,則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直,即線面垂直?線線垂直.針對訓(xùn)練1.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是

(

)A.若l⊥m,m?α,則l⊥αB.若l⊥α,l∥m,則m⊥αC.若l∥α,m?α,則l∥mD.若l∥α,m∥α,則l∥m√解析:對于A,直線l⊥m,m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線,所以不能判定線面垂直;對于B,因為l⊥α,則l垂直α內(nèi)任意一條直線,又l∥m,由異面直線所成角的定義知,m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°,即m⊥α,故B正確;對于C,也有可能是l,m異面;對于D,l,m還可能相交或異面.故選B.題型(二)直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用

證明:如圖所示,取AB中點O,連接DO,CO,則OB=DC=1.又DC∥OB,所以四邊形DCBO為平行四邊形.又BC=OB=1,所以四邊形DCBO為菱形,所以BD⊥CO.同理可得,四邊形DCOA為菱形,所以AD∥CO,所以BD⊥AD.因為PD⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,所以PD⊥BD,又AD∩PD=D,AD,PD?平面ADP,所以BD⊥平面ADP.因為PA?平面ADP,所以BD⊥PA.|思|維|建|模|證線面垂直的方法(1)線線垂直證明線面垂直①定義法不常用,但由線面垂直可得出線線垂直;②判定定理最常用:要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時作輔助線),結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直,也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)①a∥b,a⊥α?b⊥α;②α∥β,a⊥α?a⊥β.針對訓(xùn)練2.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于

(

)A.平面OAB

B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析:∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC?平面OBC,∴OA⊥平面OBC.√3.如圖,在三棱錐S?ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點,且SA=SB=SC.(1)求證:SD⊥平面ABC;證明:∵SA=SC,D是AC的中點,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC?平面ABC,BD?平面ABC,∴SD⊥平面ABC.(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.證明:∵AB=BC,D為AC的中點,∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又SD∩AC=D,SD?平面SAC,AC?平面SAC,∴BD⊥平面SAC.題型(三)直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用[例3]如圖所示,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,M是AB上一點,N是A1C的中點,MN⊥平面A1DC.求證:MN∥AD1.證明:因為四邊形ADD1A1為正方形,所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD=D,A1D?平面A1DC,CD?平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.|思|維|建|模|關(guān)于線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用在證明與垂直相關(guān)的平行問題時,可以考慮線面垂直的性質(zhì)定理,利用已知的垂直關(guān)系構(gòu)造線面垂直,關(guān)鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面.針對訓(xùn)練4.如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F為CD的中點.(1)求證:AF∥平面BCE;證明:如圖所示,取CE的中點G,連接FG,BG.

(2)求證:AF⊥平面CDE.證明:∵△ACD為等邊三角形,F為CD的中點,∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF.又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.課時跟蹤檢測1345678910111213142A級——達(dá)標(biāo)評價1.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,l,m為兩條不重合的直線,則直線l,m的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.垂直C.相交 D.以上都有可能解析:因為直線l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,所以l⊥平面α,同理m⊥平面α.由線面垂直的性質(zhì)定理可得l∥m.√15678910111213142342.如圖,α∩β=l,點A,C∈α,點B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直線l與直線AC的關(guān)系是

(

)A.異面 B.平行C.垂直 D.不確定解析:∵AB⊥α,l?α,∴AB⊥l,又∵BC⊥β,l?β,∴BC⊥l,又AB∩BC=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,∴l(xiāng)⊥平面ABC,又AC?平面ABC,∴l(xiāng)⊥AC.√15678910111213143423.(2024·全國甲卷)設(shè)α,β為兩個平面,m,n為兩條直線,且α∩β=m,下述四個命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,則m∥n④若n與α,β所成的角相等,則m⊥n其中所有真命題的編號是(

)A.①③ B.②④C.①②③ D.①③④√1567891011121314342

15678910111213143424.(多選)如圖,ABCD?A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論正確的是

(

)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°√√√1567891011121314342解析:由于BD∥B1D1,BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,則BD∥平面CB1D1,所以A正確;因為BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正確;可以證明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因為B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正確;由于AD∥BC,則∠BCB1=45°是異面直線AD與CB1所成的角,所以D錯誤.15678910111213143425.(多選)如圖,在三棱錐P?ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D為PB的中點,則下列結(jié)論正確的有

(

)A.BC⊥平面PAB

B.AD⊥PCC.AD⊥平面PBC

D.PB⊥平面ADC√√√1567891011121314342解析:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,故A正確;由BC⊥平面PAB,AD?平面PAB,得BC⊥AD,又PA=AB,D是PB的中點,∴AD⊥PB,又PB∩BC=B,PB,BC?平面PBC,∴AD⊥平面PBC,故C正確;由AD⊥平面PBC,PC?平面PBC,得AD⊥PC,故B正確;由BC⊥平面PAB,PB?平面PAB,得PB⊥BC,∴PB與DC不垂直,∴PB與平面ADC不垂直.故D錯誤.15678910111213143426.如圖,在三棱錐P?ABC中,PA⊥平面ABC,D是側(cè)面PBC上的一點,過點D作平面ABC的垂線DE,其中D?PC,則DE與平面PAC的位置關(guān)系是

.解析:因為DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE?平面PAC,PA?平面PAC,所以DE∥平面PAC.平行15678910111213143427.若AP垂直于正方形ABCD所在平面,且AB=AP=2,則PC=

.

15678910111213143428.如圖,AB是☉O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,則四面體P?ABC的四個面中,直角三角形有

個.解析:∵AB是圓O的直徑,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,∴△ABC是直角三角形.∵PA⊥平面ABC,AC,AB,BC?平面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,41567891011121314342∴△PAC,△PAB是直角三角形.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,∴BC⊥PC,∴△PBC是直角三角形.從而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC都是直角三角形.15678910111213143429.(10分)如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點,M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求證:AE∥MN.證明:∵AB⊥平面PAD,AE?平面PAD,∴AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CD.∵AD=AP,E是PD的中點,∴AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD?平面PCD,PD?平面PCD,1567891011121314342∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC,PC∩CD=C,PC?平面PCD,CD?平面PCD,∴MN⊥平面PCD.∴AE∥MN.156789101112131434210.(10分)如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求證:AD⊥平面SBC.證明:∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.又AC∩SA=A,∴BC⊥平面SAC.∵AD?平面SAC,∴BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,∴AD⊥平面SBC.1567891011121314342B級——重點培優(yōu)11.《九章算術(shù)》中,稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正八棱柱的一條側(cè)棱(正八棱柱的底面是正八邊形,且側(cè)棱和底面垂直),如圖,若陽馬以該正八棱柱的頂點為頂點,以AA1為底面矩形的一邊,則這樣的陽馬的個數(shù)是(

)A.8 B.16C.24 D.28√1567891011121314342解析:根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可得,底面邊長都相等,底面每個內(nèi)角都為135°,∠HAG=∠BAC=22.5°,∠HAF=∠BAD=45°,所以AB⊥AF,AC⊥AG,AD⊥AH,又因為AA1⊥平面ABCDEFGH,所以AA1⊥AF,因為AA1∩AB=A,AA1,AB?平面AA1B1B,所以AF⊥平面AA1B1B,又因為AF∥A1F1∥BE∥B1E1,所以共有4個陽馬;同理,AG⊥平面AA1C1C,共4個;AH⊥平面AA1D1D,共4個;AB