14.4.2用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù) (教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差).2.掌握求分層抽樣總樣本的平均數(shù)及方差的方法,理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.1.極差我們把一組數(shù)據(jù)的的差稱為極差.

2.方差(1)方差的定義一般地,設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為x,則稱s2=為這個(gè)樣本的方差,簡(jiǎn)稱樣本方差.

(2)方差的計(jì)算①s2=1neq\i\su(i=1,n,)(xi-x)2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].②一般地,若取值為x1,x2,…,xn的頻率分別為p1,p2,…,pn,則其方差為p1(x1-x)2+p2(x2-x)2+…+pn(xn-x)2.③一般地,如果總體分為k層,第j層抽取的樣本為xj1,xj2,…,xjnj,第j層的樣本量為nj,樣本平均數(shù)為xj,樣本方差為sj2,j=1,2,…,k.記eq\i\su(j=1,k,)nj=n,那么,所有數(shù)據(jù)的樣本方差為s總2=1neq\i\su(j=1,k,)eq\i\su(t=1,nj,)(xjt-x)2=1neq\i\su(j=1,k,)nj[sj2+(xj-x)2](3)方差的性質(zhì)設(shè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,方差為s2,則①s2=1n(eq\i\su(i=1,n,)xi2-nx2②數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也為s2;③數(shù)據(jù)ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2;④數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為a2s2.3.標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根s=為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,簡(jiǎn)稱樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒有波動(dòng)變化,則標(biāo)準(zhǔn)差為0.()(2)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.()(3)在實(shí)際問題中要做出有效決策時(shí),主要參照樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差或方差.()2.下列選項(xiàng)中,能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()A.平均數(shù) B.中位數(shù)C.方差 D.眾數(shù)3.已知一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5,則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.1 B.2 C.3 D.24.在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A.9.4,0.484 B.9.4,0.016C.9.5,0.04 D.9.5,0.016題型(一)標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差的計(jì)算[例1]某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組,她們的勞動(dòng)技術(shù)課考試成績(jī)?nèi)缦?單位:分):甲組:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80;乙組:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.試分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.聽課記錄:|思|維|建|模|計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的5步驟(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x.(2)求出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-x(i=1,2,…,n).(3)求出xi-x(i=1,2,…,n)的平方值.(4)求出上一步中n個(gè)平方值的平均數(shù),即為樣本方差.(5)求出上一步中平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.[針對(duì)訓(xùn)練]1.從甲、乙兩種玉米苗中各抽取10株,分別測(cè)得它們的株高(單位:cm)如下:甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.求:(1)哪種玉米苗長(zhǎng)得高?(2)哪種玉米苗長(zhǎng)得齊?題型(二)分層抽樣的方差[例2]甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果:甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg,方差為300.又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么?聽課記錄:|思|維|建|模|計(jì)算分層抽樣的方差s2的步驟(1)確定x1,x2,s1(2)確定x;(3)應(yīng)用公式s2=n1n[s12+(x1-x)2]+n2n[s22+(x2[針對(duì)訓(xùn)練]2.在了解全校學(xué)生每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時(shí),甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為10的樣本,并算得樣本的平均數(shù)為5,方差為9;乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本,并算得樣本的平均數(shù)為6,方差為16.若將甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起,組成一個(gè)容量為18的樣本,求合在一起后的樣本平均數(shù)與方差.(結(jié)果精確到0.1)題型(三)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[例3]甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;(2)根據(jù)圖形和(1)中計(jì)算結(jié)果,對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).聽課記錄:|思|維|建|模|數(shù)據(jù)分析的要點(diǎn)(1)要正確處理此類問題,要抓住問題中的關(guān)鍵詞語,全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析,而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績(jī)好,像這樣的實(shí)際問題還得從實(shí)際的角度去分析.(2)在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí),不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對(duì)和錯(cuò)的問題,也不存在唯一解的問題,而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策,至于決策的好壞,是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的.[針對(duì)訓(xùn)練]3.在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中,某學(xué)校的兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤?分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí),判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績(jī)誰優(yōu)誰劣,并說明理由.14.4.2用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)?課前預(yù)知教材1.最大值與最小值2.(1)1neq\i\su(i=1,n,)(xi-x)23.[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.(1)√(2)×(3)√2.C3.選B∵樣本容量n=5,∴x=15(1+2+3+4+5)=3∴s=1=2.4.選Dx=9.4×3+9.6+9.75=9.5s2=15(0.12×4+0.22)=0.016?課堂題點(diǎn)研究[例1]解:甲組:最高分為95分,最低分為60分,極差為95-60=35(分),平均分為x甲=110×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(方差為s甲2=110×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2標(biāo)準(zhǔn)差為s甲=s甲2=119≈10.91(分乙組:最高分為95分,最低分為65分,極差為95-65=30(分),平均分為x乙=110×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(方差為s乙2=110×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25,標(biāo)準(zhǔn)差為s乙=s乙2=75.25≈8.[針對(duì)訓(xùn)練]1.解:(1)x甲=110×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)同理可計(jì)算得x乙=31∴x甲<x乙,(2)s甲2=110×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30(42-30)2]=104.2,同理可計(jì)算得s乙2=128.∵s甲2<s乙2[例2]解:由題意可知x甲=60,甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占比例為11+4=15,x乙=70,乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占比例為41+4=45,則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為x=15甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為s2=15[200+(60-68)2]+45[300+(70-68)2][針對(duì)訓(xùn)練]2.解:設(shè)甲抽到的一組樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,…,x10,乙抽到的一組樣本數(shù)據(jù)為y1,y2,…,y8.由題意知,甲同學(xué)抽取的樣本的平均數(shù)x=x1+x2+…+x1010甲同學(xué)抽取的樣本的方差s12=110[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x10-x)2乙同學(xué)抽取的樣本的方差s22=18[(y1-y)2+(y2-y)2+…+(y8-y)2合在一起后的樣本平均數(shù)z=10x+8y18=10×5+8×618=499≈5.4.合在一起后的樣本方差s2=118{10[s12+(x-z)2]+8[s22+(y-z)2]}=118109+5-4992+8[例3]解:(1)由題圖可得,甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為甲:10,13,12,14,16;乙:13,14,12,12,14.x甲=15(10+13+12+14+16)x乙=15(13+14+12+12+14)s甲2=15×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2s乙2=15×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0(2)s甲2>s從題圖看,甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài),而乙的成績(jī)上下波動(dòng),可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?而乙的成績(jī)則無明顯提高.[針對(duì)訓(xùn)練]3.解:(1)甲組成績(jī)的眾數(shù)為90,乙組成績(jī)的眾數(shù)為70,從成績(jī)的眾數(shù)比較看,甲組成績(jī)好些.(2)x甲=12+5+10+13+14+6(=150×4000=80x乙=14+4+16+2+12+12(=150×4000=80s甲2=12+5+10+13+14+6[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2s乙2=14+4+16+2+12+12[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80