高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得直線的斜率為．設(shè)直線的傾斜角為，則，由，得，故選：B．2.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.3.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，約3000年以前，我國(guó)人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法．十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍．下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法．例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6，3根算籌可表示3和7，4根算籌可表示4和8，5根算籌可表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12個(gè)，其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14，41，23，32，共4個(gè)，所以所求概率為．故選：A.4.設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得.故選：C5.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，由可知A，B為互斥事件，概率不一定相等，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可知A，B相互獨(dú)立，與概率大小無(wú)關(guān)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，拋擲一顆骰子，記擲出點(diǎn)數(shù)為事件A，擲出點(diǎn)數(shù)為事件B，則事件表示擲出點(diǎn)數(shù)為，為不可能事件，所以，，，顯然，由推不出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，若，則，即，反之亦然，故的充要條件是，D正確.故選：D.6.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開(kāi)始傳球，作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)甲、乙、丙三人用，由題意可知：傳球的方式有以下形式，，所求概率為.故選：C.7.橢圓的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)均在C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，設(shè)Px1,y1，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓C的離心率為．故選：C.8.直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A.5 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】依題設(shè)，圓的圓心為，且半徑，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，且圓心到該點(diǎn)的距離，當(dāng)直線與、的連線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短為，而最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為圓的直徑為，因此所有弦的弦長(zhǎng)范圍為，所以相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，弦長(zhǎng)為，根據(jù)圓對(duì)稱性，弦長(zhǎng)為各有2條，弦長(zhǎng)為2的只有1條，所以共有9條.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知直線：和直線：，下列說(shuō)法正確的是（

）A.始終過(guò)定點(diǎn) B.若，則或C.若，則或2 D.當(dāng)時(shí)，始終不過(guò)第三象限【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：：，令，得，過(guò)點(diǎn)，A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，重合，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由，得或2，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，：始終過(guò)，斜率為負(fù)，不會(huì)過(guò)第三象限，故D正確.故選：ACD.10.已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，A，B為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，若，則滿足條件的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由題意，已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，其中為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，當(dāng)為左右兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，所以，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得解得，則，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，則，此時(shí)橢圓的方程為.故選：BCD.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存在實(shí)數(shù)使得【答案】BD【解析】由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，對(duì)于A，，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以直線與所成角余弦值為，故B正確；對(duì)于C，由上，所以，所以即，又，所以，因?yàn)?，又由正方體性質(zhì)可知平面即平面，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若存在實(shí)數(shù)使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，，則圓的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題設(shè)，且中點(diǎn)為，故線段中垂線方程為，由題意知，圓心也在上，聯(lián)立，可得圓心為，所以半徑，故圓方程為.13.王先生忘記了自己電腦的密碼，但記得密碼是由兩個(gè)3，一個(gè)6和一個(gè)9組成的四位數(shù)，于是他用這四個(gè)數(shù)字隨意排成一個(gè)四位數(shù)輸入電腦，則其能一次就打開(kāi)電腦的概率是________．【答案】【解析】由題可知，密碼的可能情況有：3369,3396,3639,3693,3936,3963,6339,6393,6933,9336,9363,9633共有12種情況，其中只有1個(gè)密碼正確，所以能一次就打開(kāi)電腦的概率是.14.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為．”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線與的一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓的離心率為_(kāi)___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，令代入橢圓，有，令，則過(guò)該點(diǎn)的切線，即為，所以，而，故，所以，則，即，又，則.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程．解：（1）由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）由點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，于是邊的中點(diǎn)在直線上，因此，解得，即得點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.16.垃圾分類（Garbageclassification），一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、投放和搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．垃圾分類具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益．小明和小亮組成“明亮隊(duì)”參加垃圾分類有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由小明和小亮各答一個(gè)題，已知小明每輪答對(duì)的概率為p，小亮每輪答對(duì)的概率為且在每輪答題中小明和小亮答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知一輪活動(dòng)中，“明亮隊(duì)”至少答對(duì)1道題概率為．（1）求p的值；（2）求“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率．解：（1）設(shè)“一輪活動(dòng)中小明答對(duì)一題”，“一輪活動(dòng)中小亮答對(duì)一題”，則，.設(shè)“一輪活動(dòng)中，“明亮隊(duì)”至少答對(duì)的1道題”，則，由于每輪答題中小明和小亮答對(duì)與否不影響，所以A與B相互獨(dú)立，從而與相互獨(dú)立，所以，所以.（2）設(shè)“兩輪活動(dòng)中小明答對(duì)了1道題”，“兩輪活動(dòng)中小亮答對(duì)了1道題”，，1，2.由題意得，，，設(shè)“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題”，則.由于和相互獨(dú)立，則與互斥，所以.所以，“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率為.17.如圖，四棱錐中，，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）點(diǎn)Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：若分別為中點(diǎn)，連接，由，，則為直角梯形，且為中位線，所以，且，由，則，又，可得，面面，面，面面，則面，面，故，則，由面，則，又，均在面內(nèi)，所以面，面，可得，所以，故，即，由，則，而均在面內(nèi)，所以平面.（2）解：由（1）可構(gòu)建如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，令且，則，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，由題意，整理得，故，則，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓C:x2a2+（1）求的方程；（2）若直線與相交于不同于的，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，①求證：為直角．②求的值．（1）解：由題意，且，則，所以橢圓；（2）①證明：在中，又，兩點(diǎn)不同于，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以為直角，得證；②解：設(shè)，聯(lián)立，整理得，則，所以，則，，由，綜上，將韋達(dá)公式代入上式整理得，可得或，而時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不合題設(shè)，當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以.19.在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，.（1）設(shè)集合，記中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，求和的值；（2）記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值；（3）記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W．求W的體積的值．解：（1）集合表示平面上所有的點(diǎn)，表示這八個(gè)頂點(diǎn)形成的正方體內(nèi)所有的點(diǎn)，而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它是邊長(zhǎng)為2的正方形，因此.對(duì)于，當(dāng)時(shí)，表示經(jīng)過(guò)，，的平面在第一象限的部分.由對(duì)稱性，知Q表示，，，這六個(gè)頂點(diǎn)形成的正八面體內(nèi)所有的點(diǎn).而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn)，它是邊長(zhǎng)為的正方形，因此.（2）記集合，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積分別為，；考慮集