第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁2025--2026高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)試卷：平面向量解答題專項(xiàng)練一、平面向量的線性運(yùn)算（本大題共1小題）1．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與邊，交于點(diǎn)，（不含端點(diǎn)）.若，，.（1）用，表示（請(qǐng)寫出具體推理步驟）；（2）求的值.二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（本大題共6小題）2．在銳角三角形ABC中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，求面積的取值范圍；（2）已知，.（i）求BC邊上的高；（ii）若AD是的平分線，交BC于點(diǎn)，且，求的值.3．如圖，在平行四邊形ABCD中，，垂足為.（1）若，求AP的長(zhǎng)；（2）設(shè)，①用向量表示向量；②求的值.4．已知向量.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，求實(shí)數(shù)的值.5．已知，．（1）若與共線，求的值．（2）若與的夾角為90°，求的值．（3）求向量在向量上投影向量．6．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若，，．（1）證明：A，B，C三點(diǎn)共線；（2）若，，點(diǎn)，B，C，D，P恰好構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．已知點(diǎn)，向量，，．（1）若，求的值；（2）若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．三、平面向量的數(shù)量積（本大題共26小題）8．已知平面向量，，若，，．（1）求向量與的夾角；（2）若，，向量與向量共線且方向相反，求實(shí)數(shù)t的值．9．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中.

（1）求；（2）若E為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，連結(jié)，設(shè).當(dāng)λ為何值時(shí)，可使最小，并求出的最小值.10．設(shè)向量（1）若求;（2）若求的值;（3）若求證：//11．如圖，在直角梯形中，||＝2，，＝2，為直角，E為的中點(diǎn)，＝λ(，).（1）當(dāng)時(shí)，用向量，表示向量；（2）求||的最小值，并指出相應(yīng)的實(shí)數(shù)λ的值.12．已知向量，其中（1）若，求k的值；（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)．13．已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求．14．已知平面向量、滿足，，.（1）求在上的投影向量（結(jié)果用表示）；（2）求；（3）若，求.15．在中，、、分別為的內(nèi)角、、的對(duì)邊，滿足，為的中點(diǎn).（1）求角的大?。唬?）若，，求線段的長(zhǎng)度.16．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，．（1）求向量與向量夾角的余弦值；（2）點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．17．已知平面向量滿足.（1）求向量與的夾角；（2）求向量的模.18．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，單位向量與向量垂直.（1）求單位向量的坐標(biāo)；（2）若，且，求向量在上的投影向量.19．某數(shù)學(xué)興趣小組探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形的三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓?。踊。?，沿者三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)），如圖，已知銳角中，，其外接圓O的半徑為，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn)H.（1）求；（2）若點(diǎn)T為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（3）若，求的值.20．在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G滿足，．（1）用，表示，；（2）若，求；（3）若，求的取值范圍．21．如圖，在平面四邊形中，是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，，．（1）求；（2）求；（3）求．22．如圖，在直角梯形中，，，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，.

（1）用與表示；（2）求的取值范圍；23．平面內(nèi)給定三個(gè)向量.（1）求與的夾角的余弦值；（2）求滿足的實(shí)數(shù)m，n.24．在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的三等分點(diǎn)（，），設(shè)，.（1）若，，，求與的夾角.（2）若①與夾角余弦值；②判斷四邊形的形狀，并說明理由.25．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.26．在中，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）設(shè)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，，設(shè)是上一點(diǎn)，且，求的值.27．如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn).（1）設(shè)，，試用，表示，；（2）若，求.28．已知向量和，且，求：（1）的值（2）的值（3）的夾角的余弦值.29．已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求．30．已知向量、滿足，，且.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）求與的夾角.31．已知，，.（1）若，求λ的值；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，？32．已知向量．（1）若，求λ的值；（2）若，且，求．33．已知向量滿足與的夾角為.（1）求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與垂直？四、平面向量應(yīng)用舉例（本大題共3小題）34．（1）敘述余弦定理，并用向量法證明；（2）敘述正弦定理，并用向量法證明（僅證明鈍角三角形的情形，設(shè)A為鈍角）；（3）用正弦定理證明余弦定理．35．如圖，為的中線的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交兩邊于點(diǎn)，記，設(shè).（1）試用向量表示；（2）判斷是否是定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由；（3）設(shè)的面積為的面積為，求的取值范圍.36．如圖，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的上的點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，，．如果以線段所在直線為實(shí)軸，以線段所在直線為虛軸，建立復(fù)平面．則兩點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為．（1）求的值；（2）求的正弦值；（3）點(diǎn)在何位置時(shí)，五邊形的面積取到最大值，并求出該最大值．五、專題綜合（本大題共7小題）37．如圖，我們把由平面內(nèi)夾角為的兩條數(shù)軸，構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為“完美坐標(biāo)系”，設(shè)，分別為，正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.38．設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量的夾角為，定義一種運(yùn)算“”：.試求解下列問題.（1）已知向量滿足，求的值；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，求的值；（3）已知向量，求的最小值.39．人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測(cè)試樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有3種，設(shè)，則歐幾里得距離；曼哈頓距離；余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）若，求A,B之間的余弦距離；（2）已知，若，求M、P之間的曼哈頓距離；（3）若點(diǎn)，求的最大值．40．設(shè)是平面上任意三點(diǎn)，定義向量的運(yùn)算：，其中由向量以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)為零向量時(shí)，規(guī)定也是零向量．（1）若，，求，；（2）若為不共線的向量，滿足，請(qǐng)解答下面的問題：（?。┳C明：；（ⅱ）求的值．41．如圖，設(shè)、是平面內(nèi)相交成的兩條射線，，分別為，同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.（1）在仿射坐標(biāo)系中，若，求；（2）在仿射坐標(biāo)系中，若，，且與的夾角為，求；（3）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，，分別在軸，軸正半軸上，，，，分別為、中點(diǎn)，求的最大值.42．定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的“相伴向量”的坐標(biāo)；（2）記的“相伴函數(shù)”為，設(shè)函數(shù)，，若方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）已知點(diǎn)，滿足條件：，且向量的“相伴函數(shù)”在時(shí)取得最大值，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．43．向量作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在代數(shù)與幾何中發(fā)揮著重要橋梁作用，不僅在平面幾何學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在空間中、物理學(xué)、工程學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域也同樣發(fā)揮著重要的作用．它們通過向量的運(yùn)算，使得我們能夠描述和分析現(xiàn)實(shí)世界中的各種現(xiàn)象和問題．其中數(shù)量積的運(yùn)算就很好的解決了物理中做功的概念，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．向量在空間中還有一種運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果仍是一個(gè)向量，即向量的叉積（外積），記作：．規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量，且與為相反向量；②（為向量與的夾角）；（1）證明：；（2）如圖，已知棱長(zhǎng)均為1的平行六面體，且，計(jì)算的值，并解釋其幾何意義．（3）有一正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四個(gè)平行平面，，，上，且兩相鄰平行平面距離為1，求該四面體的棱長(zhǎng)．

參考答案1．【答案】（1）（2）3【詳解】（1）（2），，，三點(diǎn)共線，，.2．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，，所以，又，所?由正弦定理得，，，代入，得，整理得.由余弦定理得，所以，，，，所以.因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，即，所以，，.故面積的取值范圍為.（2）（i）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?設(shè)為外接圓的半徑，為BC邊上的高.由正弦定理，得，所以，即.由余弦定理，得，解得，所以，.（ii）由，，解得，.因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，又，，所以，所以.因此，，，的值為.3．【答案】（1）2（2）；【詳解】（1）在平行四邊形中，，垂足為，，，解得，故長(zhǎng)為2.（2）①②，且三點(diǎn)共線，，又，則，由可知，展開，化簡(jiǎn)得到聯(lián)立解得，故.4．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1），.（2），又，，所以，解得，所以.（3）,，，，，解得.5．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c共線，所以，解得；（2）因?yàn)?，，又與的夾角為90°，則，解得；（3）因?yàn)?，，所以，，所以向量在向量上投影向量為?．【答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以．又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)共線．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)锽，C，D，P恰好構(gòu)成平行四邊形BCDP．所以，即，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為．7．【答案】（1）（2）【詳解】（1），因?yàn)?，所以，得；?）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上且，所以，所以，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.8．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，則，解得，又因?yàn)?，因此，，即向量、的夾角為．（2）因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以存在實(shí)數(shù)λ使得，即，因?yàn)橄蛄颗c不共線，所以，解得或，因?yàn)橄蛄颗c方向相反，所以，所以.9．【答案】（1）（2）【詳解】（1）在菱形中，易知，，所以.（2）在菱形中，，易知，由，則，即，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.10．【答案】（1）（2）（3）見詳解【詳解】（1）若，則，，再由，可得（2）由題意可得，，．結(jié)合，可得為第三象限角，故，；（3）若，則有，，故．11．【答案】（1）＋（2），【詳解】（1）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，＝，所以＝(＋)＝[(－)＋(＋)]＝＝＋（2）因?yàn)椋?＋)＝[(－)＋(＋)]＝＝＝＋，由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，∴||2＝2＋2＋＝＝，因?yàn)椋援?dāng)λ＝時(shí)，||2有最小值，即||有最小值.12．【答案】（1）（2）【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以；?），，所以，所以向量在向量的投影向量為.13．【答案】（1）9（2）【詳解】（1），，故，解得；（2），，故，解得，所以，.14．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）∵，即，又∵，，∴.∴在上的投影向量為.（2）由（1）知，..（3）∵，，∴，作，，，如下圖所示：，即，，即，，則，故、共線，即，又，故、同向，故.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，即，由余弦定理可得，因?yàn)?，?（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，所以，故.16．【答案】（1）（2）或【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以，，則，所以向量與向量夾角的余弦值為；（2）若點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，則或，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為或.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意，所以，即，...（2）.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意，設(shè)所求為，因?yàn)閱挝幌蛄颗c向量垂直，所以，解得或；故所求為；（2）由題意，因?yàn)?，且與向量垂直，所以，解得，所以，而，從而，因?yàn)?，所以向量在上的投影向?19．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）在銳角中，∵，其外接圓O的半徑為，∴由正弦定理可得：，解得..由題可知，.（2）設(shè)點(diǎn)M為的邊所對(duì)的外接圓的劣弧，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn).由題意及對(duì)稱性可知.故要使取得最小值，只需最小.在圓上，由三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí).∴，即的最小值為.（3）由（1）可知：，.，.又，∴由圓的性質(zhì)可知.又，∴，解得.∴在銳角中，，，，.∴由正弦定理可得：，∴，.在中，由點(diǎn)H是的垂心可得，，.在中，由正弦定理可得，.同理可得，，∴.20．【答案】（1），（2）（3）【詳解】（1）由題意知，，；（2）若，則，所以，可得，即，所以．（3）設(shè)，，因?yàn)?，所以，令，則，，因?yàn)?，，可得，所以的取值范圍是?1．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）在中，由余弦定理知，所以．（2）在中，由正弦定理知，所以．（3）因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，所以，所以．22．【答案】（1）（2）【詳解】（1）在直角梯形中，，，為的中點(diǎn)，所以.（2）由，得，由，得，因此，而，所以.23．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，且，所以，，解?24．【答案】（1）（2）①

②四邊形為梯形，理由見詳解【詳解】（1），，即，則，；（2）①，，，，，與夾角余弦值為；②，，且，四邊形為梯形.25．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，，則，若，則，解得.（2）因?yàn)椋?，則，整理可得，且，則，可得，即，所以.26．【答案】（1）（2）【詳解】（1）在中，由，得，則，而E為中點(diǎn)，則，又，因此，又點(diǎn)共線，于是，所以.（2）由，得，由（1）得，，由，，，得，所以.27．【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，，所以，.（2）因?yàn)?，所以，所?化簡(jiǎn)整理得，又因?yàn)?，所以?所以即，所以.28．【答案】（1）2（2）（3）【詳解】（1）.（2），（3），29．【答案】（1）或；（2）或.【詳解】（1）若，則，故或；（2）若，則，即，則或，若，則，，則，若，則，，則，即或.30．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?、滿足，，且，即，解得，因?yàn)?，?解得.（2）因?yàn)?，，因?因?yàn)?，因此，即與的夾角為.31．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題可知，，，解得（2）由，得，，32．【答案】（1）（2）【詳解】（1）解：由向量，因?yàn)椋?，解得．?）解：由題意得，向量，，由，可得，則，即，解得或，因?yàn)椋?，可得，所以?3．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由與的夾角為，得，所以.（2）由向量與垂直，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，向量與垂直.34．【答案】（1）余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．，見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解【詳解】（1）余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．或者：在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則，，．證明：僅證明，其他同理可證．因?yàn)椋?，即．?）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．或者：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則．證明：法1：當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)A為鈍角，過點(diǎn)A作與垂直的單位向量，則，，，．

因?yàn)椋?，即，即．即，所以．同理可證，所以．法2：當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)A為鈍角．如圖，過點(diǎn)B作邊上的高，

則，即，即，即，即，所以．同理可證，所以．（3）僅證明，其他同理可證．原式等價(jià)于．證明：由正弦定理，得．，所以．35．【答案】（1）；（2）是，；（3）【詳解】（1）∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴.（2）∵三點(diǎn)共線，∴，又∵，∴由（1）知，而不共線，所以，解得，所以為定值.（3），由（2）知，即則令且，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，∴有最小值，最大值，故.36．【答案】（1）60（2）（3）點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，【詳解】（1）解法一：因?yàn)閮牲c(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，所以,

從而，

因此.

解法二：因?yàn)閮牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，所以,

從而，

因此.（2）解法一：由（1）知，，從而可得：.

所以，

可得.

解法二：由（1）知，,由余弦定理得：，所以.

由正弦定理得：,所以得：.（3）由題意可知，的面積是定值，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以只需求的面積的最大值即可.在中，的長(zhǎng)度是定值，故只需求點(diǎn)到直線的距離的最大值，因?yàn)榍€為圓弧，所以當(dāng)點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，從而的面積達(dá)到最大.

連接,因?yàn)?，可?

又因?yàn)?

五邊形的面積為，則有.37．【答案】（1）（2）見詳解（3）.【詳解】（1）因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，又因?yàn)椋謩e為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以，，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因?yàn)橄蛄浚摹巴昝雷鴺?biāo)”分別為，，由（2）得.令，則因?yàn)?，所以，則，又，即，所以，.已知恒成立，即對(duì)恒成立.因?yàn)闀r(shí)，，所以對(duì)恒成立.令，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.38．【答案】（1）2；（2）7；（3）16【詳解】（1）由已知，得，設(shè)的夾角為，由，可得，即，又，所以，所以.（2）設(shè)，則，，設(shè)的夾角為，則，，所以，又，所以.（3）由（2）得，故，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是16.39．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）依題意，，則，因此，所以A,B之間的余弦距離.（2），，，，，，由，得，，，，，，所以M、P之間的曼哈頓距離.（3）設(shè)，由，得，即的軌跡，作出的軌跡圖形，如圖，

當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，取得最大，由圖象知當(dāng)時(shí)，最大，又，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)最小，由對(duì)稱性不妨取，，，所以的最大值為.