2025年幾何拓撲學(xué)試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列哪個空間是流形？A.環(huán)面B.球面C.立方體D.圓柱面2.下列哪個映射是同胚？A.\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\),\(f(x)=(x,0)\)B.\(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\),\(g(x,y)=x+y\)C.\(h:S^1\to\mathbb{R}\),\(h(e^{i\theta})=\cos(\theta)\)D.\(k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\),\(k(x,y)=(x^2,y^2)\)3.下列哪個定理是關(guān)于流形的？A.拉格朗日中值定理B.斯托克斯定理C.微分中值定理D.泰勒定理4.下列哪個空間是緊致的？A.\(\mathbb{R}\)B.\((0,1)\)C.\(\mathbb{R}^n\)D.球面\(S^n\)5.下列哪個映射是連續(xù)的？A.\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\),\(f(x)=\frac{1}{x}\)B.\(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\),\(g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)C.\(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\),\(h(x)=\sin(x)\)D.\(k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\),\(k(x,y)=(x,y^3)\)6.下列哪個空間是可縮的？A.球面\(S^2\)B.環(huán)面\(T^2\)C.立方體D.空間曲線7.下列哪個映射是同倫的？A.\(f:S^1\toS^1\),\(f(e^{i\theta})=e^{2i\theta}\)B.\(g:S^1\toS^1\),\(g(e^{i\theta})=e^{-i\theta}\)C.\(h:S^1\toS^1\),\(h(e^{i\theta})=e^{i\theta}+e^{-i\theta}\)D.\(k:S^1\toS^1\),\(k(e^{i\theta})=e^{i\theta}\cdote^{i\theta}\)8.下列哪個定理是關(guān)于同倫群的？A.拉格朗日中值定理B.斯托克斯定理C.微分中值定理D.布勞威爾不動點定理9.下列哪個空間是可定向的？A.環(huán)面\(T^2\)B.簡單連通空間C.球面\(S^2\)D.空間曲線10.下列哪個映射是同倫等價？A.\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\),\(f(x)=x\)B.\(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\),\(g(x,y)=x+y\)C.\(h:S^1\to\mathbb{R}\),\(h(e^{i\theta})=\theta\)D.\(k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\),\(k(x,y)=(x,y)\)二、填空題（每空2分，共20分）1.空間\(S^1\)的同倫群\(\pi_1(S^1)\)是________。2.空間\(S^2\)的同倫群\(\pi_1(S^2)\)是________。3.空間\(T^2\)的同倫群\(\pi_1(T^2)\)是________。4.空間\(\mathbb{R}^n\)的同倫群\(\pi_1(\mathbb{R}^n)\)是________。5.空間\(\mathbb{R}P^n\)的同倫群\(\pi_1(\mathbb{R}P^n)\)是________。6.空間\(S^n\)的同倫群\(\pi_1(S^n)\)是________。7.空間\(\mathbb{CP}^n\)的同倫群\(\pi_1(\mathbb{CP}^n)\)是________。8.空間\(K(\mathbb{Z},n)\)的同倫群\(\pi_n(K(\mathbb{Z},n))\)是________。9.空間\(B(\mathbb{Z},n)\)的同倫群\(\pi_n(B(\mathbb{Z},n))\)是________。10.空間\(S^n\veeS^m\)的同倫群\(\pi_1(S^n\veeS^m)\)是________。三、計算題（每題10分，共40分）1.證明空間\(S^1\veeS^2\)的同倫群\(\pi_1(S^1\veeS^2)\)是\(\mathbb{Z}\)。2.證明空間\(S^1\timesS^2\)的同倫群\(\pi_1(S^1\timesS^2)\)是\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)。3.證明空間\(T^2=S^1\timesS^1\)的同倫群\(\pi_1(T^2)\)是\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)。4.證明空間\(B(\mathbb{Z},n)\)的同倫群\(\pi_n(B(\mathbb{Z},n))\)是\(\mathbb{Z}\)。四、證明題（每題15分，共30分）1.證明空間\(S^n\)是可定向的當且僅當\(n\)是偶數(shù)。2.證明空間\(S^1\)和\(S^3\)的同倫群\(\pi_1(S^1)\)和\(\pi_1(S^3)\)是不同的。五、綜合題（20分）1.證明空間\(S^1\timesS^2\)的同倫群\(\pi_1(S^1\timesS^2)\)是\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)。---答案與解析一、選擇題1.D-環(huán)面、球面和立方體都不是流形，只有圓柱面是流形。2.C-映射\(h\)是同胚，因為它是一個連續(xù)且具有連續(xù)逆映射的映射。3.B-斯托克斯定理是關(guān)于流形的定理。4.D-球面\(S^n\)是緊致的，而其他選項中的空間不是緊致的。5.B-映射\(g\)是連續(xù)的，因為它是一個多項式函數(shù)。6.C-立方體是可縮的，因為它可以收縮到一個點。7.B-映射\(g\)是同倫的，因為它是一個反向映射。8.D-布勞威爾不動點定理是關(guān)于同倫群的定理。9.C-球面\(S^2\)是可定向的，而其他選項中的空間不是可定向的。10.D-映射\(k\)是同倫等價，因為它是一個恒等映射。二、填空題1.\(\mathbb{Z}\)2.\(\{0\}\)3.\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)4.\(\{0\}\)5.\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)6.\(\{0\}\)7.\(\{0\}\)8.\(\mathbb{Z}\)9.\(\mathbb{Z}\)10.\(\mathbb{Z}\)三、計算題1.證明空間\(S^1\veeS^2\)的同倫群\(\pi_1(S^1\veeS^2)\)是\(\mathbb{Z}\)。-\(S^1\veeS^2\)是一個路徑連通的空間，其基本群由\(S^1\)的基本群決定，因為\(S^2\)是可縮的。因此，\(\pi_1(S^1\veeS^2)\cong\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}\)。2.證明空間\(S^1\timesS^2\)的同倫群\(\pi_1(S^1\timesS^2)\)是\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)。-\(S^1\timesS^2\)的基本群是\(S^1\)和\(S^2\)的基本群的直積，因此\(\pi_1(S^1\timesS^2)\cong\pi_1(S^1)\times\pi_1(S^2)\cong\mathbb{Z}\times\{0\}\cong\mathbb{Z}\)。3.證明空間\(T^2=S^1\timesS^1\)的同倫群\(\pi_1(T^2)\)是\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)。-\(T^2\)的基本群是\(S^1\)和\(S^1\)的基本群的直積，因此\(\pi_1(T^2)\cong\pi_1(S^1)\times\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)。4.證明空間\(B(\mathbb{Z},n)\)的同倫群\(\pi_n(B(\mathbb{Z},n))\)是\(\mathbb{Z}\)。-\(B(\mathbb{Z},n)\)是\(\mathbb{Z}\)的基于\(n\)的類空間，其\(n\)維同倫群是\(\mathbb{Z}\)。四、證明題1.證明空間\(S^n\)是可定向的當且僅當\(n\)是偶數(shù)。-當\(n\)是偶數(shù)時，\(S^n\)是可定向的，因為它的定向?qū)邮侨址橇愕摹?當\(n\)是奇數(shù)時，\(S^n\)不可定向，因為它的定向?qū)邮侨至愕摹?.證明空間\(S^1\)和\(S^3\)的同倫群\(\pi_1(S^1)\)和\(\pi_1(S^3)\)是不同的。-\(S^1\)的基本群是\(\mathbb{Z}\)，而\(S^3\)的基本群是\(\{0\}\)，因此它們的基本群是不同的。五、綜合題1.證明空間\(S^1\timesS^2\)的同倫群