14.3角的平分線(xiàn)探究新知角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)的特性是由其與角的兩邊的關(guān)系體現(xiàn)的.我們先來(lái)看角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系.探究如圖，OC

是∠AOB

的平分線(xiàn)，P

是OC

上的任意一點(diǎn)，M，N

分別是OA，OB

上的點(diǎn)，我們研究PM

與PN

的關(guān)系.CABOMNP知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的作法研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.圖中當(dāng)OM

與ON

滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN？知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的作法CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM

≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.反過(guò)來(lái)，如圖，M，N

分別是∠AOB

的邊OA，OB

上的點(diǎn)，OM=ON，點(diǎn)P

在∠AOB

的內(nèi)部，PM=PN.連接OP.知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的作法ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，∴△OPM

≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON.P即點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線(xiàn)上.知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的作法思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線(xiàn)嗎？1先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn).2在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn).3以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過(guò)這個(gè)點(diǎn)的射線(xiàn).作法：如圖，已知∠AOB.(1)以點(diǎn)O

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA

于點(diǎn)M，交OB

于點(diǎn)N.知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的作法ABO(2)分別以點(diǎn)M，N

為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧（想一想為什么），兩弧在∠AOB

的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.MNC(3)作射線(xiàn)OC.射線(xiàn)OC

即為∠AOB

的平分線(xiàn).ABOMN為什么以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧：知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的作法以小于MN的長(zhǎng)為半徑，兩弧無(wú)交點(diǎn)；以等于MN的長(zhǎng)為半徑，不易操作.針對(duì)訓(xùn)練已知：平角∠AOB.求作：∠AOB的平分線(xiàn).ABO【結(jié)論】作平角的平分線(xiàn)的方法就是過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)的方法.知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)探究如圖，OC

是∠AOB

的平分線(xiàn)，點(diǎn)P1，P2，P3，···在OC

上，過(guò)點(diǎn)P1，P2，P3，···分別畫(huà)OA

與OB

的垂線(xiàn)，垂足分別為D1

與E1、D2

與E2、D3

與E3······.分別比較P1D1

與P1E1、P2D2

與P2E2、P3D3

與P3E3······，你有什么發(fā)現(xiàn)？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······猜想：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等已知：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線(xiàn)上.求證：驗(yàn)證這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)CABODEP如圖，OC

是∠AOB

的平分線(xiàn)，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證PD=PE.可以通過(guò)證明△OPD≌△OPE得到PD=PE.知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)CABODEP證明：∵OC

是∠AOB

的平分線(xiàn)，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

提煉歸納：證明幾何命題的一般步驟1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程.必要時(shí)先將命題改寫(xiě)成“如果···那么···”的形式注意可能存在不同情形如圖，∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD=PE.角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角的平分線(xiàn)的性質(zhì)CABODEP知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)幾何語(yǔ)言：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等CABODEP知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)應(yīng)用定理需具備的條件：（1）角的平分線(xiàn)；（2）點(diǎn)在該平分線(xiàn)上；（3）垂直距離.定理的作用：證明線(xiàn)段相等針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，AM是∠BAC的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4，則PE=______.4MBCADEP針對(duì)訓(xùn)練2.如圖，在Rt△ABC中，∠C

=90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC

=8，則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)_____.8ACPB隨堂演練1.如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC

=7，DE

=2，AB

=4，則AC的長(zhǎng)是（）A.6B.5C.4D.3DACDBE隨堂演練2.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E、F，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=______°，BE=_______.60BFGCADEBF隨堂演練教材P50練習(xí)第1題3.如圖，在直線(xiàn)MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB

的內(nèi)部，且點(diǎn)P

到射線(xiàn)OA和OB的距離相等.解：如圖所示：作∠AOB的平分線(xiàn)與MN交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.ABONMP隨堂演練教材P50練習(xí)第2題4.如圖，OC

是∠AOB

的平分線(xiàn)，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.點(diǎn)F，G

分別在OA，O

B上，DF=EG，連接PF，PG.求證PF=PG.CABOGFDEP在△DPF和△EPG中，證明：∵OC

是∠AOB

的平分線(xiàn)，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）.∴PF=PG.隨堂演練教材P50練習(xí)第2題CABOGFDEP隨堂演練5.如圖，BD

是△ABC

的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E．若△ABC

的面積為70，AB=16，DE=5，求BC

的長(zhǎng)．CABDE

隨堂演練CABDEF探究新知交換“角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”

這個(gè)性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論，得到的命題還成立嗎？知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的判定CABODEP猜想：到角兩邊距離相等的點(diǎn)一定在角的平分線(xiàn)上已知：角的內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.求證：驗(yàn)證這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上.知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的判定如圖，P

為∠AOB

內(nèi)部一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，且PD=PE.求證：點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線(xiàn)上.可以通過(guò)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造三角形來(lái)證明.ABODEPC知識(shí)點(diǎn)1角的平分線(xiàn)的判定證明：如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

作射線(xiàn)OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OP，PD=PE，∴△OPD≌△OPE（HL）∴∠AOC=∠BOCABODEPC∴點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線(xiàn)上.如圖，∵P

為∠AOB

內(nèi)部一點(diǎn)，PD⊥OA

于點(diǎn)D，PE⊥OB

于點(diǎn)E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，即OP

平分∠AOB.角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.角的平分線(xiàn)的判定定理知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)幾何語(yǔ)言：ABODEPC位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系歸納總結(jié)所有到角兩邊距離相等的點(diǎn)組成這個(gè)角的平分線(xiàn)1角的平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定的關(guān)系點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上角的內(nèi)部，點(diǎn)到角兩邊距離相等性質(zhì)判定2角的平分線(xiàn)（頂點(diǎn)除外）可以看成到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合.針對(duì)訓(xùn)練1.導(dǎo)入問(wèn)題：在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路交叉處500m.這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處？0200m答：集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在S

區(qū)內(nèi)，公路和鐵路夾角的平分線(xiàn)上，具體位置如圖中點(diǎn)P

所示.P針對(duì)訓(xùn)練2.如圖，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分別為B，E，AB=CE，AB，CE

相交于點(diǎn)F，連接DF.求證：FD

平分∠BFE.教材P51練習(xí)第1題CABDEF針對(duì)訓(xùn)練教材P51練習(xí)第1題CABDEF證明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD=∠CED=90°.在△ABD

和△CED

中，∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠CED，AB=CE，∴△ABD≌△CED（AAS）∴BD=ED.又AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD

平分∠BFE.知識(shí)點(diǎn)2三角形三條角平分線(xiàn)的關(guān)系例

如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等；△ABC

的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).CABMNP點(diǎn)P

到邊AB，BC

的距離相等，點(diǎn)P

到邊AC，BC

的距離相等要證△ABC

的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，只要證點(diǎn)P

也在∠A

的平分線(xiàn)上．CABMNP教材P51例題證明：(1)過(guò)點(diǎn)P

作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM

是△ABC

的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P

在BM

上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.EFDCABMNP教材P51例題(2)由(1)得，點(diǎn)P

到邊AB，CA

的距離相等，∴點(diǎn)P

在∠A

的平分線(xiàn)上.∴△ABC

的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).EFD知識(shí)點(diǎn)2三角形三條角平分線(xiàn)的關(guān)系三角形的三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三條邊的距離相等.三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn).拓展探究到三角形三邊所在直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)一共有幾個(gè)？4個(gè)P1P4P2P3三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)P1；三角形一個(gè)內(nèi)角與另外兩個(gè)角的外角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)P2，P3，P4.針對(duì)訓(xùn)練教材P51練習(xí)第2題如圖，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分線(xiàn)，CG

是△ABC

的外角∠BCE

的平分線(xiàn)，BF，CG

相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P

到三邊AB，BC，CA

所在直線(xiàn)的距離相等；點(diǎn)P

在∠A的平分線(xiàn)上.CABDEFGP針對(duì)訓(xùn)練教材P51練習(xí)第2題CABDEFGPJIH證明：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P

分別作PJ，PI，PH

垂直于三邊AB，BC，AC

所在的直線(xiàn)，垂足分別為J，I，H.∵BF

是∠CBD

的平分線(xiàn)，點(diǎn)P

在BF

上，∴PI=PJ.同理，PH=PI，∴PJ=PI=PH，即點(diǎn)P

到三邊AB，BC，CA

所在直線(xiàn)的距離相等.針對(duì)訓(xùn)練教材P51練習(xí)第2題CABDEFGPJIH(2)由(1)知PH⊥AE，PJ⊥AD，且PH=PJ，∴點(diǎn)P

在∠A

的平分線(xiàn)上.提煉歸納角平分線(xiàn)的性質(zhì)角平分線(xiàn)的判定圖示已知條件結(jié)論OP平分∠AOBPD⊥OA于點(diǎn)DPE⊥OB于點(diǎn)EPD=PEPD⊥OA于點(diǎn)DPE⊥OB于點(diǎn)EPD=PEOP平分∠AOB隨堂演練1.兩塊完全一樣的直角三角板按如圖所示的方式擺放，它們的一組對(duì)應(yīng)直角邊分別在△ABC

的邊AB，AC

上，且這組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M，則點(diǎn)M

一定（）在∠A

的平分線(xiàn)上在AC

邊的高上在AB

邊的中線(xiàn)上以上都正確A

隨堂演練2.

如圖，O

是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)

O

到三邊

AB，AC，BC

的距離相等，即

OF

=

OE

=

OD，若∠BAC

=