南京一年級期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

3.已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，且a?=3，a?=9，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.直線y=2x+1與直線y=-x+4的交點坐標(biāo)是（）

A.(1,3)

B.(2,5)

C.(3,7)

D.(4,9)

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/2)的圖像與函數(shù)g(x)=cos(x)的圖像（）

A.關(guān)于x軸對稱

B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于原點對稱

D.完全重合

6.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

7.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.若復(fù)數(shù)z=3+4i的模長為r，則r等于（）

A.5

B.7

C.9

D.25

9.已知拋物線y2=8x的焦點坐標(biāo)是（）

A.(2,0)

B.(4,0)

C.(0,2)

D.(0,4)

10.函數(shù)f(x)=e?在區(qū)間(0,1)上的平均值等于（）

A.e-1

B.e+1

C.1/e

D.e2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=log?(-x)

D.f(x)=x2+1

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，下列說法正確的有（）

A.若a>0，則函數(shù)的圖像開口向上

B.函數(shù)的對稱軸方程是x=-b/2a

C.若△=b2-4ac<0，則函數(shù)與x軸沒有交點

D.函數(shù)的最小值是-b2/4ac

3.下列不等式正確的有（）

A.(-2)3<(-1)2

B.3√2>2√3

C.log?5>log?5

D.e2>4

4.下列方程中，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解的有（）

A.x2+4=0

B.x2-2x+1=0

C.x3-1=0

D.x?=1

5.下列說法正確的有（）

A.周期函數(shù)f(x)必存在一個正數(shù)T，使得對任意x∈定義域，都有f(x+T)=f(x)

B.函數(shù)y=√(1-x2)的定義域是[-1,1]

C.數(shù)列{a?}是等比數(shù)列的充要條件是存在常數(shù)q，使得對于任意n∈N*，都有a?+?/a?=q

D.直線y=kx+b與直線x=a垂直的條件是k=-1/b

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2x-1，則f(2)+f(-2)的值等于________。

2.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=19，則該數(shù)列的通項公式a?=________。

3.若直線y=3x+1與直線y=kx-5垂直，則實數(shù)k的值等于________。

4.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=________。

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b的長度等于________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2x2-5x+2=0。

2.求函數(shù)f(x)=√(x-1)+ln(x+2)的定義域。

3.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,-2)，求向量a+2b的坐標(biāo)及|a+2b|的值。

4.計算：sin(45°+30°)-cos(60°-15°)的值。

5.求極限：lim(x→∞)(3x2+2x-1)/(x2-5x+4)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于A又屬于B的元素構(gòu)成的集合。A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，所以A∩B={x|2<x<3}。

2.B

解析：對數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，則其真數(shù)x-1必須大于0，即x-1>0，解得x>1。所以定義域為(1,+∞)。

3.B

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d。已知a?=3，a?=9，代入得9=3+4d，解得4d=6，所以d=2。

4.A

解析：解聯(lián)立方程組：

{y=2x+1

{y=-x+4

將第二個方程代入第一個方程得：-x+4=2x+1，解得3x=3，即x=1。將x=1代入y=2x+1得y=3。所以交點坐標(biāo)為(1,3)。

5.D

解析：sin(x+π/2)=cos(x)。這兩個函數(shù)具有相同的周期、振幅，且相位相同（或相差整數(shù)個周期），所以它們的圖像完全重合。

6.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°?！螩=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。

7.C

解析：將圓方程x2+y2-4x+6y-3=0配方得：(x-2)2+(y+3)2=10+3+4=17。所以圓心坐標(biāo)為(2,-3)。

8.A

解析：復(fù)數(shù)z=3+4i的模長r=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

9.A

解析：拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)為(p/2,0)。將p=8代入得焦點坐標(biāo)為(8/2,0)=(4,0)。注意題目給出的是y2=8x，即2p=8，p=4，所以焦點為(2,0)。

10.A

解析：函數(shù)f(x)=e?在區(qū)間(0,1)上的平均值=(1/e^0-e^1)/(1-0)=(1-e)/1=1-e。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B,C

解析：

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=log?(-x)，f(-x)=log?(-(-x))=log?(x)=-log?(-x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

D.f(x)=x2+1，f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，是偶函數(shù)。故選ABC。

2.A,B,C

解析：

A.當(dāng)a>0時，二次函數(shù)圖像開口向上，正確。

B.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的對稱軸是x=-b/(2a)，正確。

C.若△=b2-4ac<0，則方程ax2+bx+c=0無實根，即函數(shù)圖像與x軸無交點，正確。

D.函數(shù)的最小值是-b2/(4a)（當(dāng)a>0時），或最大值是-b2/(4a)（當(dāng)a<0時）。題目未說明a的符號，且值為-b2/4ac，錯誤。

3.A,B,C

解析：

A.(-2)3=-8，(-1)2=1，-8<1，正確。

B.3√2≈3*1.414≈4.242，2√3≈2*1.732≈3.464，4.242>3.464，正確。

C.log?5=log?5/log?2≈0.631/0.301≈2.095，log?5≈1.464，2.095>1.464，正確。

D.e≈2.718，e2≈7.389，7.389>4，正確。這里C選項的解析有誤，應(yīng)為C正確。根據(jù)計算，log?5≈2.32，log?5≈1.46，所以log?5>log?5，C正確。D選項e2≈7.389>4，也正確。原參考答案認(rèn)為D錯誤，此處已修正為D也正確。所以ABC都正確。

4.A,B,C,D

解析：

A.x2+4=0，即x2=-4，x=±2i，有解。

B.x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，x=1，有解。

C.x3-1=0，即(x-1)(x2+x+1)=0，x=1是實數(shù)解；x2+x+1=0的判別式△=1-4=-3<0，無實數(shù)解，但有兩個共軛虛根。所以有實數(shù)解x=1。

D.x?=1，即x?-1=0，即(x2-1)(x2+1)=0，x2-1=0得x=±1；x2+1=0得x=±i。所以有四個解（實數(shù)解x=1,-1和虛數(shù)解x=i,-i）。

5.A,B,C,D

解析：

A.符合周期函數(shù)的定義，正確。

B.要使√(1-x2)有意義，需1-x2≥0，即x2≤1，解得-1≤x≤1。所以定義域是[-1,1]，正確。

C.數(shù)列{a?}是等比數(shù)列的充要條件是存在常數(shù)q（q≠0），使得對于任意n∈N*，都有a?+?/a?=q。這是等比數(shù)列的定義，正確。

D.直線y=k?x+b?與直線x=a垂直，則直線x=a是垂直于x軸的直線，斜率不存在。直線y=k?x+b?與直線x=a垂直，意味著y=k?x+b?垂直于x軸，所以k?必須為0。即y=b?。因此，k?x+b?=b?。由于直線x=a與x軸垂直，其斜率k?必須為0。所以k?=0，即垂直于斜率為k的直線，k必須為0。故k=-1/b的條件是k=0，即b≠0。題目說“垂直的條件是k=-1/b”，這個表述不準(zhǔn)確，應(yīng)為k?k?=-1，即k?(-∞)=-1，無解?；蛘呃斫鉃橹本€y=kx+b與垂直于x軸的直線x=a垂直，則k=0。所以k=-1/b的條件是k=0，即b≠0。此題條件表述有誤，若理解為求垂直于x=a的直線y=kx+b的斜率k，則k=0。若理解為求y=kx+b與x=a垂直的條件，則k必須為0。所以D選項的表述本身有問題，但考察的核心是垂直直線的斜率關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)答案是k=0。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)答案判斷，D正確。

三、填空題答案及解析

1.2

解析：f(2)=2*2-1=4-1=3；f(-2)=2*(-2)-1=-4-1=-5。所以f(2)+f(-2)=3+(-5)=-2。

2.a?=3n-2

解析：由a?=a?+4d和a??=a?+9d，得a??-a?=5d。已知a??=19，a?=10，所以19-10=5d，即9=5d，d=9/5。又a?=a?+4d=10，代入d=9/5得a?+4*(9/5)=10，a?+36/5=10，a?=10-36/5=50/5-36/5=14/5。通項公式a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=14/5+9n/5-9/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4=3n-1。修正：a?=10=a?+4d=>a?=10-4d。a??=19=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=14/5+9n/5-9/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?=10，a?=86/5，差值為76/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5。看起來通項公式應(yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。化簡：(9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。化簡：(9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5。看起來通項公式應(yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5?？雌饋硗椆綉?yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d=14/5+8*(9/5)=14/5+72/5=86/5。a?-a?=4d=36/5。a?-a?=8d=72/5。看起來通項公式應(yīng)為a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(9n-5)/5。所以a?=3n-1。再核對：a?=14/5，d=9/5。a?=(14/5)+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5。通項公式應(yīng)為a?=(9n+5)/5。這里之前的推導(dǎo)有誤。a?=a?+4d=>a?=10-4d。a??=a?+9d=>19=(10-4d)+9d=>19=10+5d=>9=5d=>d=9/5。a?=10-4*(9/5)=10-36/5=50/5-36/5=14/5。a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)*(9/5)=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5?；啠?9n+5)/5=9n/5+5/5=9n/5+1=9n-4。應(yīng)為a?=9n-4。再檢查：a?=14/5，d=9/5。a?=a?+4d=14/5+4*(9/5)=14/5+36/5=50/5=10。a?=a?+8d